第六节数值积分

第六节数值积分 数值积分是利用被积函数在若干点上的函数值来近似计算定积分的方法。一、梯形求积公式从几何上看，求定积分就是求曲边梯形的面积。最简单的办法，可以用梯形面积近似代替曲边梯形面积。从而有 y y=f(x) y=p1(x) B A f(b) （梯形求积公式） f(a) 实质:用一次插值多项式 O a b x 近似代替被积函数f(x)

二、抛物线求积公式 y=f(x) y C B 我们也可用抛物线下的曲边梯形面积近似代替曲线y=f(x)下的曲边梯形面积。设[a ,b]的中点为c，以a , c , b 为插值节点的二次插值多项式为 y=p2(x) A f(c) f(b) f(a) O a c b x 于是有。经过积分、整理得 (抛物线求积公式) (辛卜森公式) (Simpson)

三、复化求积公式 当积分区间[a ,b]较大时，直接使用上述两种求积公式精度就比较差。通常采用的办法是细分求积区间，譬如取步长把区间[a ,b]分为n等份，分点为 xk=a+kh(k=0,1,2, … ,n) 的近似值Ik ，和值则作为区间[a ,b]上积分的近似值，即然后，对每个子区间[xk-1,xk]使用梯形求积公式或抛物线求积公式，得到此子区间上积分

公式称为复化求积公式特别，复化梯形公式（）为复化辛卜森公式（）为

其中为区间[xk-1,xk]的中点 例利用下表计算积分 xk f(xk)=4/(1+xk2) xk f(xk)=4/(1+xk2) 0 4 5/8 2.87640 1/8 3.93846 6/8 2.56000 2/8 3.76471 7/8 2.26549 3/8 3.50685 1 2 4/8 3.20000

复化辛卜森公式是一种精度较高的求积公式。 四、变步长梯形法则复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用时必须预先给出适当的步长h 。步长太大，精度难以保证；太小，又增大计算量。所以用复化求积公式计算时，我们通常采用变步长求积方法，即把步长逐次减半，在步长逐次减半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至达到所需的精度。下面仅介绍变步长梯形法则。

考虑积分 把区间[a ,b]逐次二等分。设现已把[a ,b]分成n等份，步长为h，分点为 a = x0 ,x1 , … ,xk-1 , xk , … ,xn=b 则由复化梯形公式知：然后在每个子区间[xk-1,xk]上增加一个二分点便将区间[a ,b]分成2n等份，此时步长为，分点为

由于此时区间[a ,b]已分成2n个子区间 步长为h/2，故由复化梯形公式知

即（变步长梯形法则的递推公式）其中Tn为二分前的积分值，求T2n时可作为已知值使用。下面讨论二分过程到何时停止。为此，我们考察变步长梯形法则的误差的事后估计法。可以证明(从略): 故可见,只要 , （注意：）则有

故，当用变步长梯形法则的递推公式 计算定积分时，常用来控制二分过程的结束（称之为事后估计法）。例设试用变步长梯形法则计算积分

表6—2 k k 0 0.9207355 6 0.9460769 1 0.9397933 7 0.9460815 2 0.9445135 8 0.9460827 3 0.9456909 9 0.9460830 4 0.9459850 10 0.9460831 5 0.9460586

布置作业： P219: 1(2). 2(2)( )

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