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第十二章

第十二章. 傅里叶级数和傅里叶变换. 第一节. 函数的傅里叶级数展开. 一、问题的提出. 非正弦周期函数 : 矩形波. 不同频率正弦波逐个叠加. 二、三角级数 三角函数系的正交性. 1. 三角级数. 谐波分析. 三角级数. 2. 三角函数系的正交性. 三角函数系. 1. 若能展开 , 是什么 ?. 三、函数展开成傅里叶级数. 问题 :. 2. 展开的条件是什么 ?. 1. 傅里叶系数. 傅里叶系数. 傅里叶级数. 问题 :. 2. 狄利克雷 (Dirichlet) 充分条件 ( 收敛定理 ).

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第十二章

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Presentation Transcript

  1. 第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换

  2. 第一节 函数的傅里叶级数展开

  3. 一、问题的提出 非正弦周期函数:矩形波 不同频率正弦波逐个叠加

  4. 二、三角级数 三角函数系的正交性 1.三角级数 谐波分析 三角级数

  5. 2.三角函数系的正交性 三角函数系

  6. 1.若能展开, 是什么? 三、函数展开成傅里叶级数 问题: 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数

  7. 傅里叶系数

  8. 傅里叶级数 问题:

  9. 2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)

  10. 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多. 注意: 解 所给函数满足狄利克雷充分条件.

  11. 和函数图象为

  12. 所求函数的傅氏展开式为

  13. 对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数. 注意: 作法:

  14. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 . 解 所给函数满足狄利克雷充分条件.

  15. 所求函数的傅氏展开式为

  16. 利用傅氏展开式求级数的和

  17. 例 3 试证明： 证

  18. 结论可证.

  19. 四、以2L为周期的傅氏级数 代入傅氏级数中 定理

  20. 则有

  21. 则有 证明

  22. 解

  23. 解

  24. 另解

  25. 五、奇函数和偶函数的傅里叶级数 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定理

  26. 证明 奇函数

  27. 偶函数 同理可证(2) 定理证毕. 定义

  28. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件.

  29. 和函数图象

  30. 观察两函数图形

  31. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.

  32. 六、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 则有如下两种情况

  33. 奇延拓:

  34. 偶延拓:

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