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数学归纳法的应用

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  1. 数学归纳法的应用 苍南中学:叶思迁 2005年3月

  2. ■数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中有着广泛的应用。■数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中有着广泛的应用。

  3. 例4、用数学归纳法证明: 42n+1+3n+2(n∈N* )能被13整除。 证明:1)n=1时:4 2×1+1+31+2=91,能被13整除。 2)假设当n=k(k∈N)时, 42k+1+3k+2能被13整除, 当n=k+1时:42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1 多退少补(密诀) ……核心步骤 =16(42k+1+3k+2)-13•3k+2 …………() ∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。 ∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除,即当n=k+1时命题仍成立。 由1)、2)可知,对一切n∈N原命题均成立。

  4. 例5、用数学归纳法证明: x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。 证明:1)n=1时: x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除,命题成立。 2)假设当n=k(k∈N)时有x2k - y2k能被x+y整除, 当n=k+1时 多退少补(密诀) ……核心步骤 =(x2k - y2k)•x2 +y2k(x2 -y2) ………() ∵ (x2k - y2k)和(x2 -y2)都能被x+y整除, ∴()式也能被x+y整除。即:n=k+1时命题也成立 由1)、2)可知,对一切n∈N, x2n-y2n都能被x+y整除。

  5. 例6、求证:当n取正奇数时,xn+yn能被x+y整除。例6、求证:当n取正奇数时,xn+yn能被x+y整除。 证明:1)n=1时:x1+y1=x+y,能被x+y整除,命题成立。 2)假设n=k(k为正奇数)时,有xk+yk能被x+y整除, 当n=k+2时:xk+2+yk+2 =xk•x2 +yk•y2 = xk•x2+yk•x2-yk•x2 +yk•y2 =(xk+yk)•x2 - yk(x2-y2) =(xk+yk)•x2 - yk(x-y)(x+y), ∵以上两项均能被x+y整除,∴xk+2+yk+2能被x+y整除, 即当n=k+2时命题仍成立。 由1)、2)可知,对一切正奇数n,都有xn+yn能被x+y整除。

  6. 平面上有 条直线,任意两条不平行,任意三条不共点. 求证:①共有交点 个 ②构成线段或射线 条 ③把平面分成 部分. 例7

  7. 例8、已知数列{an}中,a1= ,其前n项和 Sn满足: (n≥2),计算S1,S2, S3,S4,猜想Sn,并证明之。 解:S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= . 猜想:Sn= ,下证明之。 证明:1)n=1时由前可知,猜想正确。 2)假设当n=k(k∈N)时有:Sk= , ……… ∴当n=k+1时猜想仍正确。 由1)、2)可知,对一切n∈N猜想均正确。

  8. 例9、 ∴ 当n=k+1时,不等式仍成立。 由1)、2)可知,对一切n∈N ,原不等式均成立。 

  9. 2、证明凸n边形对角线条数为 f(n)= (n4)。 (3、 ) 练习: 1、求证:n3+5n能被6整除。 3、数列{an}和{bn}满足an,bn,an+1成等差数列, bn,an+1,bn+1成等比数列。已知a1=1,b1=2,a2=3, 求a4,b4,并猜想an,bn,用数学归纳法证明。

  10. 小结 数学归纳法的应用(之二): 1、证明整除问题时注意构造的技巧----多退少补,常用增项减项或拆项的方法; 2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况; 3、“归纳、猜想,然后证明其正确性”是一种常用的分析问题、解决问题的方法。 4、证明不等式时常用放缩法。

  11. 作业: 1、仔细体会、琢磨数学归纳法的运用规律及题型特点。 2、完成《创新作业本》中的相关内容