第六章图形与变换

第六章图形与变换

第31课图形的轴对称

1. 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做，这条直线就是它的．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点． 2. 图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的．要点梳理轴对称图形对称轴对称轴垂直平分线垂直平分线

3. 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成． 4. 几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．垂直平分轴对称变换

1．理解轴对称、轴对称图形与轴对称变换的关系1．理解轴对称、轴对称图形与轴对称变换的关系 (1)轴对称涉及两个图形，是描述两个图形的位置、形状、大小的关系； (2)轴对称变换是由一个平面图形得到它的轴对称图形； (3)成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由一个图形经过轴对称变换后得到的；一个轴对称图形也可以看做是以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展成的． [难点正本疑点清源]

2．轴对称图形和图形的轴对称之间的区别和联系2．轴对称图形和图形的轴对称之间的区别和联系两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系．两者的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．因此，它是部分与整体、形状与位置的关系，是可以辩证地互相转化的．

1．(2011·无锡)一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是()1．(2011·无锡)一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是() 解析：利用轴对称的定义，直接得出结果．主要考查对轴对称图形的理解．基础自测 D

2．(2011·黄石)有如下图象：①函数y＝x＋1的图象；②函数y＝ 的图象；③一段弧；④平行四边形．其中一定是轴对称图形的有() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个　解析：只有平行四边形不是轴对称图形． C

3．(2011·广州)如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是()3．(2011·广州)如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是() D

4．(2010·泉州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2＝()4．(2010·泉州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2＝() A. 140° B．130° C．110° D．70° 解析：∵∠A＝70°， ∴∠AED＋∠ADE＝110°，由轴对称的性质得 ∠A′ED＋∠A′DE＝110°， ∴∠1＋∠2＝360°－2×110°＝140°. A

5．(2011·菏泽)如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3, AB＝6，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为() A．6 B．3 C．2 D. 解析：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝6，得∠A＝30°，∠ABC＝60°，由折叠的意义，得∠ABE＝∠DBE＝30°. ∴在Rt△BCE中，CE＝＝，BE＝2CE＝2 . ∵∠DBE＝∠A＝∠D＝30°，∴DE＝BE＝2 . C

题型一　识别轴对称图形 【例1】 (2011·淮安)下列交通标志是轴对称图形的是() 题型分类深度剖析 D

探究提高　判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合．若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形．

知能迁移1(1)(2011·内江)下列几何图形中，一定是轴对称图形的有()知能迁移1(1)(2011·内江)下列几何图形中，一定是轴对称图形的有() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：上述几何图形一定是轴对称图形的是扇形、等腰梯形、菱形，故有三个． C

(2)(2011·益阳)小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了(2)(2011·益阳)小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是() 解析：图形A是平行四边行，不是轴对称图形． A

题型二　作已知图形的轴对称图形 【例 2】 (2010·枣庄)在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：下列图形供参考，每画对一个得2分．(画对4个即可)

探究提高　画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形．

知能迁移2　如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；知能迁移2　如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注：①不得与原图案相同； ②黑、白方块的个数要相同)． (1)是轴对称图，又是中心对称图形． (2)是轴对称图形，但不是中心对称图形． (3)是中收对称图形，但不是轴对称图形．

解：设计方案有多种，在设计时注意每一种图案的具体要求．解：设计方案有多种，在设计时注意每一种图案的具体要求． (1)应该既关于中间轴对称，还应该关于中心点对称，有一定的对称及审美要求； (2)可不受中心对称的限制，只要关于轴对称，且黑白数量相等即可； (3)只关于中心对称，则对称的图形对称即可．

题型三　轴对称性质的应用 【例3】如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE＝3，BE＝1，P是AC上的动点，则PB＋PE的最小值是________．解析：连接OP、DE，则PB＝PD，PB＋PE＝PD＋PE≥DE，而在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，∴DE＝5. 故应填5. 5

探究提高　求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短．

知能迁移3　如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，在BC、CD上知能迁移3　如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN的最小周长是_______．　解析：分别画点A关于BC、DC的轴对称点A1、A2，连接A1A2，分别交BC于M，交CD于N，则AM＝A1M，AN＝A2N. ∴△AMN的周长AM＋AN＋MN ＝A1M＋A2N＋MN＝A1A2. 两点之间，线段最短， ∴△AMN的最小周长是线段A1A2的长度． 2

在△AA1A2中，AA1＝2AB＝2，AA2＝2AD＝4，∠A1AA2＝120°.在△AA1A2中，AA1＝2AB＝2，AA2＝2AD＝4，∠A1AA2＝120°. 过A1画A1H⊥AA2，垂足为H. 在Rt△A1AH中，∠A1AH＝60°. ∴AH＝ AA1＝1，∴A1H＝ . 在Rt△A1A2H中，A2H＝AA2＋AH＝4＋1＝5. ∴A1A2＝＝＝2 .

题型四　折叠问题 【例4】 (2010·吉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为() A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm 解析：本题考查矩形折叠问题，据题意，得AE＝A1E，FD＝FD1，AD＝A1D1，从而阴影部分的周长＝CF＋FD1＋CB＋BE＋EA1＋A1D1 ＝CF＋FD＋CB＋BE＋EA＋AD＝2(AB＋BC)＝36(cm)，选B. B

探究提高　折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等形，对应边相等，对应角相等．

知能迁移4(2010·益阳)如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．知能迁移4(2010·益阳)如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G，证明四边形AEGF是正方形； (2)设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

解：(1)∵△ABE与△ABD关于AB对称， ∴△ABE≌△ABD， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠BAE＝∠BAD，AE＝AD. 同理，∠F＝∠ADC＝90°，∠CAF＝∠CAD，AF＝AD. ∴∠EAF＝2∠BAD＋2∠CAD ＝2(∠BAD＋∠CAD)＝2×45°＝90°. ∴四边形AEGF是矩形． ∵AE＝AF＝AD， ∴矩形AEGF是正方形．

(2)在正方形AEGF中，EG＝FG＝AE＝x，∠G＝90°. ∵BE＝BD＝2，CF＝CD＝3， ∴BG＝x－2，CG＝x－3. 在Rt△BCG中，(x－2)2＋(x－3)2＝52，解之，得x1＝6，x2＝－1(舍去)， ∴x＝6.

20．必须利用轴对称变换，求线段之和最小 试题　设M是边长为2的正△ABC的边AB上的中点，P是边BC上的任意一点，求PA＋PM的最小值．学生答案展示当点P为BC中点时，PA＋PM的和最小． ∵M是AB的中点， ∴PM是△ABC的中位线，且AP⊥BC. ∴PM＝ AC＝ ×2＝1，PA＝＝， ∴PA＋PM＝1＋ . 易错警示

剖析　求两条线段之和为最小，应选用线段的垂直平分线、剖析　求两条线段之和为最小，应选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的高作为对称轴来解题．正解作正△ABC关于BC的对称图形△A′BC，M′是M的对称点，故M′是A′B的中点，PM＝PM′， ∴PA＋PM＝PA＋PM′≥AM′. 连接CM′,易知∠ACM′＝90°， ∴AM′＝＝ . 批阅笔记　利用轴对称变换，以BC为对称轴，作出M的对称点M′，连AM′，两点之间，线段最短．

方法与技巧 1. 本章介绍了现实世界中图形对称的形式之一——轴对称． “两个图形成轴对称”是反映图形与图形之间的关系，“轴对称图形”是反映一个图形的特征．轴对称中的对应部分(如对应线段、对应角等)的形状、大小是完全一样的，并且对应点的连线被对称轴垂直平分．我们今后要学到的许多图形都是轴对称图形．在空间中，也存在这样的对称形式，如照镜子、物体和它在水中成的像等，我们习惯上称之为镜面对称．思想方法感悟提高

2. 认识轴对称图形和图形的轴对称之间的区别与联系：两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系．两者的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．因此，它们是部分与整体、形状与位置的关系，是可以辩证地互相转化的．

3. 知识结构

失误与防范 1．判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合；若能找到，则是轴对称图形，若找不到则不是． 2．如果图形是由直线、线段或射线组成的，那么在画出它关于一条直线的对称图形时，只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．

完成考点跟踪训练 31

第六章 图形与变换