指數成長與衰減

5.6 指數成長與衰減

5.6 指數成長與衰減 學習目標 • 以指數成長與衰減作為現實生活的模型。第五章　指數與對數函數 P.5-39

指數成長與衰減 • 本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。現實生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間 t的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。第五章　指數與對數函數 P.5-39

指數成長與衰減 • 在上式中 k 為常數，而 y 為 t 的函數，下面即為此方程式的解。第五章　指數與對數函數 P.5-39

指數成長與衰減（證明） • 因為 y 的變化量與 y 成正比，所以顯然 y ＝ Cekt為方程式的解，因為對 y 微分可得 dy/dt ＝ kCekt，再代入方程式也得第五章　指數與對數函數 P.5-39

學習提示 • 在模型 y ＝ Cekt 中，C 稱為起始值，因為當 t ＝ 0 時，y ＝ Cek(0)＝ C(1) ＝ C。第五章　指數與對數函數 P.5-39

指數成長與衰減 • 放射性物質的衰減是以半衰期(half-life) 來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列。鈾 (238 U) 4,470,000,000 年鈽 (239 Pu) 24,100 年碳 (14 C) 5,715 年鐳 (226 Ra) 1,599 年鑀 (254 Es) 276 天鍩 (257 No) 25 秒第五章　指數與對數函數 P.5-40

範例1　放射性物質衰減的模型 • 某樣本中有 1 公克的鐳，試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克？第五章　指數與對數函數 P.5-40

範例1　放射性物質衰減的模型（解） • 令 y 表示在樣本中的鐳物質 (公克)。因為衰減率正比於 y，所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y ＝ Cekt，其中 t 為時間(年) 。已知當 t ＝ 0 時 y ＝ 1，代入模型可得 1＝ Cek(0)以 1 代入 y，0 代入 t 因此 C ＝ 1。因為鐳的半衰期為 1599 年，所以當 t ＝ 1599 時 y ＝ 1/2，再代入模型即可解得 k。第五章　指數與對數函數 P.5-40

所以 k ≈－0.0004335，故指數衰減模型為 y ＝ e－0.0004335t 範例1　放射性物質衰減的模型（解）第五章　指數與對數函數 P.5-40

範例1　放射性物質衰減的模型（解） • 若要求1000 年後的鐳殘留量，將 t ＝ 1000 代入模型，經計算可得 y ＝ e－0.0004335(1000) ≈ 0.648 公克亦即，1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳，此模型的圖形如圖 5.19 所示。第五章　指數與對數函數 P.5-40

範例1　放射性物質衰減的模型（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-40圖5.19

檢查站 1 • 以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰減為 0.4 公克時所需的時間。第五章　指數與對數函數 P.5-40

其實不必像範例 1 使用k的近似 值，可以直接在模型中代入 k的正確值，可得模型這個公式清楚地顯示「半衰期」：當 t ＝ 1599，y 值為 1/2，當t ＝ 2(1599)，y 值為，以此類推。指數成長與衰減第五章　指數與對數函數 P.5-40~5-41

指數成長與衰減 第五章　指數與對數函數 P.5-41

範例2　數量成長的模型 • 研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。 2 天後有 100隻，4 天後有 300 隻果蠅，則 5 天後有幾隻果蠅？第五章　指數與對數函數 P.5-41

範例2　數量成長的模型（解） • 令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t ＝ 2 時，y ＝ 100 和當t ＝ 4 時，y ＝ 300，代入模型 y ＝ Cekt得 100 ＝ Ce2k　和　300 ＝ Ce4k 若要解 k，先解出第一方程式中的 C，再代入第二方程式。第五章　指數與對數函數 P.5-41

範例2　數量成長的模型（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-41

因為，可得 C ≈100/e2(0.5493) ≈ 33。即指數成長模型為 y ＝ 33e0.5493t 如圖 5.20 所示。所以，5 天後果蠅的數量有 y ＝ 33e0.5493(5) ≈ 514 隻範例2　數量成長的模型（解）第五章　指數與對數函數 P.5-41

範例2　數量成長的模型（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-41 圖5.20

代數技巧 • 範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。第五章　指數與對數函數 P.5-41

檢查站 2 • 如果果蠅數量 2 天後有 100隻，4 天後有 400隻，求其指數成長模型。第五章　指數與對數函數 P.5-41

範例3　複利的模型 • 在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在 6 年後增值為兩倍，試問其年利率為何？第五章　指數與對數函數 P.5-41

範例3　複利的模型（解） • 以連續複利計算的銀行帳戶餘額 A 可表示為指數成長模型 A ＝ Pert指數成長模型其中 P 為原始存款值，r 為年利率 (以小數表示) 且t 為時間 (年)。已知 t ＝ 6 時，A ＝ 2P，如圖 5.21 所示，即可解得 r。第五章　指數與對數函數 P.5-42

範例3　複利的模型（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-42 圖5.21

所以，年利率為 或者大約 11.55%。範例3　複利的模型（解）第五章　指數與對數函數 P.5-42

檢查站 3 • 已知以連續複利計算的帳戶餘額在 8 年後恰增值為兩倍，求年利率。第五章　指數與對數函數 P.5-42

指數成長與衰減 • 本節的例子都是使用以 e 為底數的指數成長模型 y ＝ Cekt，此模型其實可以任意數為底數。換言之，模型 y ＝ Cabt 也可以是指數成長模型 (因為該模型可寫成 y ＝ Ce(ln a) bt)。在某些現實生活的例子，不以 e 為底數反而較方便。第五章　指數與對數函數 P.5-42

譬如在範例 1 中，因為鐳的半衰期是 1599 年，所以指數衰減模型可寫成根據此模型，樣本中的鐳的同位素數量在 1000 年後剩下也吻合範例 1 的結果。指數成長與衰減第五章　指數與對數函數 P.5-42

範例4　銷售量模型化 • 在停止全國性電視廣告後的4個月，某製造商發現 MP3 的銷售量從100,000 台減為 80,000 台。若銷售量是以指數衰減來變化，再過4個月後的銷售量為何？第五章　指數與對數函數 P.5-42

範例4　銷售量模型化（解） • 令 y 為 MP3 的銷售量，t 為時間 (月)，並考慮指數衰減模型 y ＝ Cekt 指數衰減模型從已知條件可知當 t ＝ 0 時，y ＝ 100,000，即100,000 ＝ Ce0 第五章　指數與對數函數 P.5-42

所以 C ＝ 100,000。若要解 k，則須利用當 t ＝ 4 時，y ＝ 80,000 的條件，所以範例4　銷售量模型化（解）第五章　指數與對數函數 P.5-43

則，所以此模型為 y ＝ 100,000e－0.0558t 再過 4 個月 (t ＝ 8)，銷售量將衰減為 y ＝ 100,000e－0.0558(8)  64,000 台 MP3 如圖 5.22 所示。範例4　銷售量模型化（解）第五章　指數與對數函數 P.5-43

範例4　銷售量模型化（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-43 圖5.22

檢查站 4 • 根據範例 4 的模型，請問 MP3 的銷售量何時會掉到 50,000 台？ P.5-43

總結 (5.6 節) • 寫出指數成長與衰減的模型，參考範例 1、2、3 及 4。 • 寫出指數成長與衰減模型的準則，參考範例 2、3 及 4。 • 寫出指數衰減模型的生活實例，參考範例 1 和 4。 • 寫出指數成長模型的生活實例，參考範例 2 和 3。 P.5-43

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