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LA DERIVADA. INCREMENTOS Y TASAS. El calculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original. Incremento.

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la derivada

LA DERIVADA

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

incrementos y tasas
INCREMENTOS Y TASAS
  • El calculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

incremento
Incremento
  • Definición: Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 – x1, se denomina incremento de x y se denota por Δx

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 1
Ejemplo 1
  • El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen de ventas q (en litros por dia) esta dado por

q = 500(150-p)

Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento de 120¢ a 130¢

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

slide5
Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1 para x2, tenemos x2 = x1 + Δx. Usando este valor de x2 en la definición de Δy, obtenemos

Δy=f(x1 + Δx) - f(x1)

Dado que x1 puede ser cualquier valor de x la ecuación se puede escribir como

Δy=f(x+ Δx) - f(x)

En forma alternativa

y+Δy=f(x+ Δx)

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 2
Ejemplo 2
  • Dada f(x)=x2, calcule Δy si x = 1 y Δx=0,2

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 3
Ejemplo 3
  • En el caso de la funcion y = x2, determine Δy cuando x=1 para cualquier incremento de Δx

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 4
Ejemplo 4
  • De nuevo considere la función y = x2 y determine Δy para los valores generales de x y Δx

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

tasa de cambio
Tasa de cambio
  • La tasa de cambio promedio de un función f sobre un intervalo de x a x + Δx se define por la razón de Δy/ Δx. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 6
Ejemplo 6
  • Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante esta dado por C(x)=20000+40x y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas esta dado por R(x)=100x-0.01x2. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra producida.

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

limites
Limites
  • Sea f(x) una función que está definida en todos los valores de x cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el limite de f(x) cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con solo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos, escribimos:

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 11
Ejemplo 1
  • Si f(x) = (x2-9)/(x-3), evalué lim f(x)

x3

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 21
Ejemplo 2
  • Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos el resultado

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo 31
Ejemplo 3
  • Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos el resultado

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

la derivada1
LA DERIVADA
  • Ejemplo

Durante el periodo de 10 años de 1970 a 1980, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la formula

P(t)=1+0,03t+t2

En donde P está dado en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de 1970.

Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1975

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy/dx, se define por

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcula la derivada de una función se denomina diferenciación

Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto.

La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se denota por uno de los simbolos siguientes

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ejemplo
Ejemplo
  • Calcule la derivada de 2x2+3x+1
  • Calcule dy/dx para la ecuación cubica

y=Ax3+Bx2+Cx+D

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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Calcule dy/dx si y = x2 +x1/2

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

analisis marginal
Analisis Marginal
  • Suponga que el fabricante de cierto articulo descubre que a fin de producir x de estos articulos a la semana, el costo total en dolares esta dado por C=200+0.03x2. Por ejemplo si se producen 100 articulos a la semana, el costo esta dado por C=200+0.03(100)2=500. El costo promedio por articulo al producir 100 articulos es 500/100=5
  • Si el fabricante considera cambiar la tasa de produccion de 100 a 100+Δx unidades por semana, en donde Δx representa el incremento en la produccion semanal

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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El costo es

C+ΔC=200+0,03(100+Δx)2

=200+0,03(10000+200Δx+ Δx2)

=500+6 Δx+0,03 Δx2

Por consiguiente, el costo extra determinado por la produccion de los articulos adicionales es

ΔC=(C + ΔC)- Δx

ΔC =500+6 Δx+0,03 Δx2-500

ΔC=Δx+0,03 Δx2

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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En consecuencia, el costo promedio por articulo de las unidades extra es

ΔC / Δx= 6+0,03 Δx

¿Cual seria el costo promedio si se pasa de 100 a 150 unidades?

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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El costo marginal se define como el valor limite del costo promedio por articulo extra cuando este numero de articulos extra tiende a cero. Asi se puede pensar que el costo marginal es como el costo promedio por articulo extra cuando se efectua un cambio muy pequeño en la cantidad producida

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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Ejemplo
  • En el caso de la funcion de costo

C(x)=o.001x3-0.3x2+40x+1000

Calcule el costo marginal cuando x=50, x=100 y x=150

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C(x) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total C(x) dividido entre el numero de los artículos producidos

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

ingreso marginal
Ingreso Marginal
  • Si R(x) denota el ingreso en dolares por la venta de x articulos, definimos el ingreso marginal como la derivada R’(x)

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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Ejemplo
  • Si la funcion de ingreso marginal esta dada por

R(x) =10x-0,01x2

  • Evalue el ingreso marginal cuando x =200

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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Determine el ingreso marginal cuando x=300 si la ecuacion de la demanda es

x=1000-100p

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

utilidad marginal
Utilidad marginal
  • La utilidad marginal representa la utilidad marginal adicional por articulo si la produccion sufre un pequeño incremento

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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La ecuacion de demanda de cierto articulo es

p+0.1x=80

La funcion del costo es

C(x) = 5000+20x

Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y tambien en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades.

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA