数学史概论

1. 数学史概论 主讲： 徐泽林 天津师范大学数学科学学院 http://tjnuihs.nease.net/index.htm/ zelinxu@Sohu.com

2. 第四章 印度与阿拉伯的数学 §4.1印度数学 4.1.1 印度文明概述 4.1.2 古代《绳法经》中的数学 4.1.3 “巴克沙利手稿”与零号 4.1.4 “悉檀多”时期的印度数学 §4.2阿拉伯数学 4.2.1 阿拉伯帝国的兴起 4.2.2 阿拉伯的代数 4.2.3 阿拉伯的三角学与几何学 §4.3中国与印度、阿拉伯的数学交流 4.3.1 丝绸之路 4.3.2 中印数学交流 4.3.3 中阿数学交流

3. §4.1印度数学 4.1.1 印度文明概述 4.1.2 古代《绳法经》中的数学 4.1.3 “巴克沙利手稿”与零号 4.1.4 “悉檀多”时期的印度数学 (一）阿耶波多 （二）婆罗摩笈多 （三）马哈维拉 （四）婆什迦罗 返回目录

4. 4.1.1 印度文明概述 古代印度文明是世界主要文明之一，位于亚洲南部次大陆，包括今天印度河与恒河流域的印度、巴基斯坦、孟加拉、尼泊尔、斯里兰卡、不丹、锡金等国。 印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗毗荼(Dravidians)人的哈拉帕(Harappa)青铜文化，大约到了公元前1500年左右，中亚游牧民族雅利安（Aryans）人入侵印度，征服了达罗毗荼人。公元前1400至公元前1000年，雅利安人向东扩张，控制了恒河流域。公元前500年前后，恒河下游的摩揭陀国统一印度北方。大约在公元前7世纪形成了婆罗门教，随后在公元前5~6世纪前后有又出现了佛教和蓍那教。公元前518年波斯帝国侵占印度，使印度成为其一个辖区。公元前327年，马其顿王亚历山大大帝在灭波斯帝国后入侵印度河上游地区，建立莫尔雅帝国(Maurya Empire)，并立即扩张到全印度以及中亚西亚的一些地区。公元前321年旃陀罗笈多（护月王，BC321~BC297）赶走马其顿人，推翻难陀（Nanda）王朝，建立孔雀王朝，从而再次统一印度北方，恢复到印度人自己的统治时代。除公元前304年的西亚的塞流西（Seleucid）王国入侵并很快媾和外，孔雀王朝国势强盛，至阿育王（Aaoka, BC268~232年在位）达到极盛。此时东印度河流域在摩揭陀国的难陀王朝统治下基本统一。至公元前187年,孔雀王朝为巽加(Sunga)王朝所取代。 公元前165年前后被匈奴人击败西迁的大月氏人，于公元1世纪在中亚建立贵霜帝国，很快占领印度北部的广大地区。公元320年左右，摩揭陀国的另一旃陀罗 笈多一世建立笈多王朝(Gupta,320~535)统治北印度，印度进入封建社会时代。

7. 从5世纪始，印度文明又不断受到其它民族的侵占，先是5世纪的白匈奴人入侵，继而阿拉伯人于711年攻占印度河下游的信德；到了10世纪，信奉伊斯兰教的突厥人建立的迦色尼(Ghaznavid)王朝和古尔（Ghurid）王朝 (阿富汗）先后统治印度，不久印度进入德里苏丹国时期。13、14世纪又遭受蒙古人的侵扰，成吉思汗后裔建立的帖木儿帝国于1398年攻入印度，后于16世纪在印度建立了莫卧儿帝国。18世纪以后，莫卧儿帝国国势危弱，常受波斯、阿富汗等国的侵掠，后来英国人乘虚而入，1757年印度沦为英国殖民地，最终莫卧儿帝国于1857年灭亡。 史前印度(公元前600年以前) 史前印度最重要的文化为印度河流域文化(又称哈拉帕文化)和恒河文化。印度河流域文化是青铜时代的文化，存在于公元前2350～前1750年间。成熟于公元前2200～前2000年，最为主要的城市有哈拉帕和摩亨佐·达罗，消逝于公元前1750年左右 。但是哈拉帕文化在古吉拉特、拉贾斯坦及北方邦北部等仍有遗留。 恒河文化昌盛于公元前1800～前600年间，为印度著名的吠陀时代。吠陀时代分前期和后期，前期即梨俱吠陀时期，约在公元前1800～前1000年；后期约在公元前1000～前600年。前期经典很少提到家庭， 社会仍局部落性质；后期部落社会分解为4个瓦尔纳的社会。4个瓦尔纳中首陀罗为最低层，吠舍为中层，刹帝利和婆罗门为上层。

8. 古代印度(公元前600～公元800) 古代印度的历史特征在于瓦尔纳制的确立及其向种姓制度的转化，部落社会的同化及其向国家的转化，授地制的兴起及其向封建制的转化，佛教由盛而衰，以及新婆罗门教的兴起及其向印度教的转化。 佛陀时期(前6～前2世纪) 从吠陀时代末期(前600)到摩揭陀国孔雀王朝的400多年的佛陀时期，是继印度河文化城市繁荣之后的第二次城市繁荣时期。在这时期里，释迦牟尼创立了佛教，大雄创立了耆那教。据佛教文献记载，公元前6世纪初，印度有16个国家。其中主要的有摩揭陀、迦尸、祇萨罗、跋祇、俱卢、般遮罗和犍陀罗等。在这个时期的大国里，瓦尔纳的等级制取代了部落制。国君和武士成为刹帝利，祭司和教师成为婆罗门，农户和纳税者成为吠舍，服务于以上3个等级的劳动者则成为首陀罗。 孔雀王朝时期(前322～前185) 摩揭陀王国孔雀王朝的奠基人是与佛陀同时的频毗婆罗。在孔雀王朝中，唯有国王有权拥有常备军和接受贡奉。国王权力标志着刹帝利对婆罗门长期斗争的胜利，但婆罗门在孔雀王朝仍然拥有大权。在阿育王统治期间，印度古代奴隶制君主专制的集权统治达到顶峰。

9. 外族入侵时期(公元前200～公元200) 孔雀王朝灭亡以后，西北印度不断有外族入侵。先是中亚的大夏希腊人在公元前2世纪初侵入印度西北部。接着又有安息人、塞种人、大月氏人的入侵。其中最重要的是贵霜帝国在印度的统治。在丘就却建国后，国势日强，侵入印度，灭大夏在印度的残部。在阎膏珍、迦腻色伽统治时期，继续入侵印度，从印度西部到恒河流域中部均归入贵霜帝国的版图。在迦腻色伽的支持与庇护下，大乘佛教在印度兴起。小乘佛教流行于锡兰、缅甸等地。 萨塔瓦哈纳时期(公元前100～公元200) 萨塔瓦哈纳王国300年的历史使德干文化与北方文化互相结合。那里的国王最早把土地授予婆罗门，并且对部落地区实行军事统治。 笈多王朝时期(320～540) 笈多王朝崛起于贵霜废墟。奠基于275年，统治印度北部和西部约120年。王权缩小，官职己经世袭。外贸不断萎缩。种姓种类和不可接触者的名目都有所增多。偶像崇拜在寺庙里日益普遍。当时文化灿烂，两大史诗(《罗摩衍那》和《摩诃婆罗多》)，迦梨陀娑的《沙恭达罗》剧本和较早的《往世书》均在策多王朝时编成，此外还编纂了一些法书。在艺术方面，中印度的阿旃陀石窟壁画丰富多彩，代表这个时期艺术的成就。

10. 戒日王时期(606～647) 戒日王是古代印度最后的一个著名皇帝。当时，外贸萧条，货币短缺。政体沿袭发多，但更加分散。都城从华氏城迁曲女城，即从一外贸城市迁至一军政要地。戒日王死后，北印度表面统一的局面又告结束。 古代南印度(公元前200～公元750) 在南印度几乎每个国家都有几个藩属，每个藩属都有自己的军队、自己的行政系统和收税机关。最南部分国家的历史，从l世纪开始。古代南印度分为两个历史时期： 第一时期是公元前200～公元300年； 第二时期是300～750年。 8世纪时,阿拉伯人侵入印度的信德地区,不久即被当地居民击溃。此后印度处于封建割据状态。11世纪初,伽色尼王国的马哈茂德入侵;12世纪后期,古尔王国控制了北印度。

11. 穆斯林统治下的印度(1200-1761) 1206年,古尔王国驻印度的总督顾特卜-乌德-丁。艾伯克自立为苏丹,建立奴隶王朝,开始了长达300余年的德里苏丹时期。期间王朝屡有更迭,,最重要者为卡尔吉王朝和图格鲁克王朝。这一时期形成了中央集权的穆斯林政治体系,引进了伊斯兰文化。 在南印度,14世纪出现了两个强国,穆斯林统治的巴赫马尼王国(1347-1527)和印度教徒统治的维查耶那加尔王国(1336-1640)。1526年,巴伯尔率军占领德里,建立莫卧尔帝国(1526-1761)。从此,印度的不同教派,分散的村社走上了民族统一的道路,成为当时世界上最富有,最强大的国家之一。 帝国最杰出的皇帝是阿克巴和奥朗则布。阿克巴英勇善战,东征西讨,统一了次大陆大部分地区,在行政,司法,财政,宗教等方面进行了改革。奥朗则布推行极端的伊斯兰教政策,长期对外战争导致了帝国的衰落。奥朗则布死后,帝国开始解体,信奉印度教的马拉特人迅速崛起,成为左右莫卧尔帝国的势力。

12. 莫卧尔王朝 莫卧尔王朝是蒙古人建立的。 帖木儿攻占德里，主要是为了掠夺，并没有建立统治。建立统治的是他的第五代孙巴布尔。巴布尔机智、勇敢、力气过人，他的奶奶是成吉思汗的一个亲戚，这样，他继承了成吉思汗和帖木儿两方面的血统。相传他曾在5分钟内单独一人凭打斗并杀死5个敌人，两天之内骑马飞驰160英里，为了与人打赌曾两次游泳横渡恒河。巴布尔几次率兵征战，打败德里苏丹军队。1526年，即巴布尔22岁时，以一支12000人的精锐骑兵部队，击败了土尔其人依卜拉欣君王的10万大军，杀死数千名俘虏，占领德里，建立了莫卧尔王朝。在印度所有外来的统治者中，莫卧尔王朝可以说是最伟大的一个王朝，它的行政统治较完备，各宗教的关系以及中央与地方政权的关系较融洽，经济和文化也出现了空前的繁荣。这个王朝给印度注入了伊斯兰教文化因素，使印度进入了一个新时代。巴布尔是一个出色的文学家，留下一部文笔优美的回忆录，死时47岁。 莫卧尔帝国到了阿克巴大帝（1542——1605年）时代达到鼎盛。阿克巴雄才大略，可与古代的阿育王相媲美。“阿克巴”意即“最伟大的”，是印度对他的称呼。他的原名叫穆罕默德。他是巴布尔的孙子，有着顽皮、好动、勇敢、机智的天性，喜欢做各种危险的运动。他是一个优秀的骑士，喜欢玩马球，并发明了会发光的马球以便夜间也能进行这项运动。他学会了如何驾驭凶悍的象群，并随时准备外出猎取狮子与老虎。他14岁那年，被伊斯兰教教士请去，用弯刀砍掉一俘虏的首级，由此得到了伊斯兰教武士头衔——“异教徙的刽子手”。他不爱读书，宫廷请了许多有学问的教师来教他读书，但都遭到他的拒绝。

13. 18岁时他已获得了全部的统治大权。他继承了他祖父的热忱与贪婪，向外扩展疆界，经历一连串的残忍苦战，征服了次大陆大部，建立了一个空前庞大的帝国。印度的历史长河流淌到16世纪中叶，又出现一个平静而宽阔的区段，这就是统一强盛的莫卧尔王朝时代。到阿克巴逝世时，莫卧尔帝国的版图已包括：北自克什米尔南至哥达瓦利河上游，西起喀尔东到布拉马普特拉河的广大地区。1566年，帝国首都迁至阿格拉。阿克巴建立了一套行之有效的官僚制度和法律制度，行政管理要比德里苏丹时期出色得多。在他统治时期，政府对全国的土地重新丈量和分类，并根据土地类型按新税制征税。这些作法增加了政府的税收，也在一定程度上促进了社会经济的发展。帝国经济繁荣，宫廷生活豪华，此时的印度再次跻身于当时世界富强国家之列。在文化上，莫卧尔王朝虽推行伊斯兰教，但为了统治广大印度教徙，统治者也大量任用印度教徙，因而阿克巴的宗教政策是相当宽容的。他试图为他的帝国制订一种独立的意识形态，推行一种以皇帝为最高神明的新宗教。他有一句名言：“一切宗教都有光，而光总带有或多或少的阴影。”据说他还吸收各宗教的精华，创造了一个叫“神一教”的世界宗教。这个宗教虽没有流行开来,但他对宗教的宽容态度影响了他以后的统治者,也促进了两大宗教的融合。他虽然是个文盲皇帝，但后来他承认了书籍的价值。他治世时，注意收集各种图书资料，建立了一个规模不小的图书馆。这些资料包括许多优秀文学作品的底稿和绘画作品。在他统治的时代，诗人、画家、建筑家、雕刻艺术家都享有很高的地位，常常被赠送大批皇家的物品。他亲自监督印度教史诗《摩诃婆罗多》的翻译。他自己不能读书，只能靠他人读给他听。他经常找那些深奥难懂的书卷来研究，由此获得了渊博的知识，最后，他竟成了一位爱好文学与艺术的文盲学者。在他的提倡和保护下，文学、艺术、绘画、音乐等，每一种艺术都出现了繁荣。

14. 阿克巴大帝死后，其子贾汉杰即位，继续推行阿克巴的政策。在从阿克巴大帝到其孙子沙贾汉的大约100年间内，帝国版图又有所扩大。但到了莫卧尔王朝的奥朗则布皇帝（1658——1707年）治世时期情况有了变化。奥朗则布生性拘谨，对伊斯兰教极为虔诚。他推行偏狭的宗教政策，毁坏印度教神庙来改建清真寺，致使各地怨声载道，战乱不断，各地独立势力增强，帝国出现衰落。1707年奥朗则布死，王朝又经历了几个君主，但时间都很短。这时的莫卧尔帝国实际控制的范围已经很小，后来仅限于德里王宫周围的一小片地区。最后，在马拉提人的打击下，帝国彻底瓦解了。阿克巴大帝死后，其子贾汉杰即位，继续推行阿克巴的政策。在从阿克巴大帝到其孙子沙贾汉的大约100年间内，帝国版图又有所扩大。但到了莫卧尔王朝的奥朗则布皇帝（1658——1707年）治世时期情况有了变化。奥朗则布生性拘谨，对伊斯兰教极为虔诚。他推行偏狭的宗教政策，毁坏印度教神庙来改建清真寺，致使各地怨声载道，战乱不断，各地独立势力增强，帝国出现衰落。1707年奥朗则布死，王朝又经历了几个君主，但时间都很短。这时的莫卧尔帝国实际控制的范围已经很小，后来仅限于德里王宫周围的一小片地区。最后，在马拉提人的打击下，帝国彻底瓦解了。 英帝国的殖民统治和印度的民族主义运动(1500-1947) 17世纪,英,荷,法,丹麦等国先后建立了东印度公司,竞相在印度建立商站。经过激烈的角逐,法国最后失去优势,英国殖民者加快了吞并印度的步伐。1757年,克莱武在普拉赛战役中大败印度军队。此后英国以孟加拉为基地向各地扩张。经瓦伦。黑斯廷斯登记人总督的努力,英国在1818年已经完全控制了恒河中下游地区和印度南部地区。英国殖民者之所以取胜,主要是由于印度社会处于分裂混乱状态。武器装备落后。 19世纪头30年里,康华里,本廷克等人实行了政治,经济,军事改革,并在同缅甸,阿富汗的战争中扩大了领土。英国的殖民统治给印度人民带来了深重的灾难。传统手工业被摧毁,农民陷入极度贫困状态.印度成为英国的原料产地和商品倾销市场。英国的殖民统治迫使印度人民做出了反应:罗姆拉罕。拉伊奠定了印度教现代化的基础;1857年-1859年底民族大起义,是英国对印度的统治权力从东印度公司转移到皇家手里。 英国在印度的势力虽达到了顶峰,印度的民族主义运动也应运而生。1885年12月印度国民大会党在孟买举行成立大会。会议要求在英属印度进行选举,实行议会,行政,司法,教育等项的改革。1905年印度人民反对寇松总督分裂孟加拉的政策,民族主义者提出了”自治”,”自产”口号。与此同时,伊斯兰教联盟宣布成立。

15. 1906年,明托总督着手进行改革。1909年,在国大党的年会上,国大党分裂为以提拉克为首的激进派和以卡莱为首的稳健派。1908年-1910年,孟加拉的恐怖活动进一步发展。1911年,英国乔治五世宣布孟加拉重新合并。第一次世界大战爆发后,哈丁总督宣布印度参战,得到国大党,土邦王公的支持。 1916年,国大党重新统一。经过提拉克和真纳的努力,国大党与伊斯兰教联盟达成了勒克瑙协定。1918年,印度事务大臣蒙塔古和总督切姆斯福德提出了一份关于部分自治的报告,但在第一次世界大战结束后,英国背弃了实现改革的诺言,加紧镇压印度人民。 1919年4月13日,制造了阿姆利则血案。这一事件使印度人民从英国统治的忠诚支持者转变为民族革命者。以圣雄甘地为领袖的国大党开始采取不合作政策,发动了全国规模的不合作运动。其目的在于迫使英国殖民当局同意印度”自治”。与此同时,甘地还努力促进印度教徒和伊斯兰教徒的团结,积极支持阿里兄弟发动的”基拉发运动” 。 1922年乔里-乔拉事件发生后,甘地终止了不合作和平抵抗运动。1927年英国议会指派”西蒙委员会”在印度考察蒙塔古-切姆斯福德体制(“双头政治”)的实施情况。受到印度各党派的坚决抵制。1928年,国大党温和派莫蒂拉尔。尼赫鲁在印度各党派会议上提出一部宪法草案,要求取得自治地位。 1930年秋,在伦敦开始了讨论印度改革的圆桌会议,几经周折,英国才在1935年通过了<印度政府法案>,1936年举行了第一次选举,,国大党在5各省取得胜利。第二次世界大战爆发后,总督林利斯戈宣布印度对德国作战。这次参战没有得到民族主义领袖的支持。1940年伊斯兰教联盟的拉合尔年会通过一项决议,要求建立一个穆斯林独立国家。1942年,甘地提出英国殖民者退出印度的口号。

16. 第二次世界大战结束后,印度争取独立运动空前高涨。国大党和伊斯兰联盟在对印度未来的宪法,议会选举,政府组成等问题上发生了分歧。甘地和贾瓦哈拉尔。尼赫鲁坚持印度的统一。而真纳则坚决要求成立单独的穆斯林国家—巴基斯坦。他还宣布1946年8月16日为”穆斯林直接行动日”,从而导致了”加尔各答大屠杀” 。 1947年2月,英国首相艾德礼宣布:最迟不晚于1948年7月将权力让与印度人。同年4月,总督蒙巴顿向伦敦提出了一项计划,其核心是让印度人民选举的代表来决定是否分裂自己的祖国。这项计划为国大党和伊斯兰教联盟所接受。1947年8月15日,印度正式独立,并分列为印度和巴基斯坦两个自治领。 印度数学的数学发展可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期，史称河谷文化；随后是吠陀时期；其次是悉檀多时期。由于河谷文化的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少。 返回

17. 4.1.2 古代《绳法经》中的数学 印度数学最早有文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》当中，年代很不确定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世纪，最晚至公元前3世纪。吠陀即梵文veda，原意为知识、光明，《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上。不同流派的《吠陀》大都失传，目前流传下来仅有7种，这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》（Sulva sūtrus,又译成绳法经），有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值： 此外还用到= 3.004和 的近似值。在关于正方形祭坛的计算中取 由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度用算术方法给出求解公式。 耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过流传一些公元前5~2世纪的注释。其中出现了许多计算公式，如圆周长 , 弧长 等。 返回

18. 4.1.3 “巴克沙利手稿”与零号 公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可考资料非常少，值得庆幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地区发现了这一时期的，书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利（Bakhshali）手稿”。 其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程。特别值得注意的是该书使用了一些数学符号，如减号，将“12 7” 记成“12 7”，出现了10个完整的十进制数码，用点表示0： 在数学中，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”概念，又表示位值制记数法中的“空位”，而且是数域中最基本的一个元素，可以与其它数一起运算，同时还表示正负数的分界点。有一种流行的说法，认为印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”（梵文Sūnya）有关，这种说法没有明确的根据，不过这种意义的确较早地出现于印度文明中。“0”作为记数法中的“空位”，在位值制记数方式的文明中不可缺少，只不过各种文明采取不同的方式，大部分文明没有引入数码而以空位表示，如巴比伦的契书、宋元以前的中国筹码记数等，印度人和玛雅人采用了符号，玛雅20进位制中的零用表示。公元前7~8世纪，印度人就普遍使用十进位值制记数法，婆罗米(Brahmi)文字中出现过9个数码，梵文中都出现过，零最初也是用空格表示，后用点表示. 用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明，它最早出现于9世纪的瓜廖尔(Gwalior)地方的一块石碑上，大约在11世纪，10个完整印度数码臻于成熟。印度人不仅把“0”视作记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个特殊的数。公元773年，印度数码传入阿拉伯国家，后来欧洲人通过阿拉伯人接受了，成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。这种印度数码与记数法成为近世欧洲科学赖以进步的基础。 返回

20. 4.1.4 “悉檀多”时期的印度数学 悉檀多（梵文siddhanta，原为佛教因明的术语，笈多）时代是印度数学的繁荣期时期，其数学内容主要是算术与代数，而且明显受到希腊数学的影响，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多（Aryabhata I, 476~约550）、婆罗摩笈多（Brahmagupta，598~665）、马哈维拉(Mahavira, 9世纪)和婆什迦罗（BhaskaraⅡ，1114~约1185）等。 A (一）阿耶波多 现今所知有确切生年的印度最早数学家是阿耶波多，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》（499）传世。该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应，成为今天的习惯，同时他以半径的1/3438作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始。他还给出了第一象限内间隔为345'的正弦差值表。印度第一个正弦表是在年代距阿耶波多不远的天文著作《苏利耶历数全书》(Sūrya Siddhānta,佚名,约5世纪)中出现的。 C  B 阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程 整数解，首先对a，b使用辗转相除法得到系列商{ q1 , q2 , q3 , …, qn }, 以及相应的余数系列：{ r1 , r2 , r3 , …, rn = 0 },依法则：

21. 计算, 得到 的渐近分数序列： 有 于是 是不定方程的特解。 ， ， ， （二）婆罗摩笈多 婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。他把0作为一个数来处理，9世纪马哈维拉和施里德哈勒接受了这一传统。婆罗摩笈多对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则。他曾利用色彩名称来作为未知数的符号，并给出二次方程的求根公式。婆罗摩笈多最突出的贡献是给出佩尔(Pell)方程的一种特殊解法，为“瓦格布拉蒂”。他的方法首先选择适当的整数k与k'，分别找出ax2 + k = y2和ax2 + k ' = y2的解(, )与(', ' )，再做所谓“瑟马萨”（samāsa）的组合，得到： ，为ax2 + kk' = y2的解。

22. 取 k = k’ , 若a2 + k = 2，则 是ax2 + k2 = y2的解。于是 婆罗摩笈多进一步指出，只要在k = 1，2，4的条件下，求得ax2 + k = y2的一组解(, )，就可得出ax2 + 1 = y2无穷组解。 婆罗摩笈多在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15的正弦函数表，给出下面的插值公式： ， 这样就得到ax2 + 1 = y2的解： ， 。 （其中h = 15, x  1，sin(h)与2sin(h)分别表示一、二阶差分） 婆罗摩笈多正弦差分表 角度 正弦线 一阶差 二阶差 0 0 39 -3 15 39 36 -5 30 75 31 -7 45 106 24 -9 60 130 15 -10 75 145 5 90 150

23. 婆罗摩笈多在几何方面的杰出成果是获得了边长为a，b，c，d的四边形的面积公式：婆罗摩笈多在几何方面的杰出成果是获得了边长为a，b，c，d的四边形的面积公式： 实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点，后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式。12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑。 [ p = (a + b + c + d )/2 ]。 （三）马哈维拉 7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣。如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生的改变。耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》（The Ganita-Sāra-Sangraha of Mahāvīrācārya）可以说是一部系统的数学专著，全书有九个部分：（1）算术术语，（2）算术运算，（3）分数运算，（4）各种计算问题，（5）三率法（即比例）问题，（6）混合运算，（7）面积计算，（8）土方工程计算；（9）测影计算。基本是对以往数学内容的总结和推广，书中给出了一般性的组合数公式 ，而且给出椭圆周长近似公式： 。因其有很多问题和方法与中国《九章算术》相同或相近，从而有人认为他受到过《九章算术》或中国其它算书的影响。 与马哈维拉同时代的施里德哈勒（Sridhara, 9世纪）撰写的《计算概要》（Ganita-Sara）也是一本日用数学著作，内容基本与马哈维拉的《计算方法纲要》一致。

24. （四）婆什迦罗 婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作，他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》。关于《莉拉沃蒂》书名，有一个美丽动人的传说，称莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字（Līlāvatī，原意是美丽的意思），占星家预言她终身不能结婚，也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日，他把一个底部有孔的杯子放入水中，从孔中慢慢渗入水的杯子沉没之时，也就是他女儿的吉日来临之际。女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想颈项上一颗珍珠落入杯中，正好堵塞了漏水的小孔，杯子也停止了继续下沉，这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁。婆什迦罗为了安慰女儿，把他所写的算书以她名字命名，以使她的名字随同这本书流芳百世。该书后来在莫卧儿帝国的帝王阿克巴（Akbar,1556~1605在位）的授意下，由菲济（Fyzi）译成波斯文。这个传说来源于菲济的记载。 《莉拉沃蒂》共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书有点和中国元末以后的算书类似，很多数学问题用歌谣的形式给出。《算法本源》主要是算术和代数著作。 什迦罗和其他印度数学家一样，对不定方程持有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对于，婆什迦罗首先选择适当的整数k，找出ax2 + k = y2的一组特解(, )，即a2 + k = 2，另外再找一个整数m，使（1，m）是ax2 +（m2 -a）= y2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到

25. 满足ax2 + k (m2 -a）= y2, 即 ， 最后根据“库塔卡”方法，可以找到m使km+ , 并且使m2 -a 最小。计算 ， ， ， 则（1，1）是方程ax2 + k1 = y2的解。用1，1，k1代替，，k，重复做上面的演算，若干次后就得到ax 2 + p = y2的特解（其中p = 1，2，4），再根据婆罗摩笈多的方法得到ax2 + 1 = y2的无穷个解。 婆什迦罗能够熟练地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如 和 的无理数的平方根。 由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特色。与其算术和代数相比，印度人在几何方面的工作显得十分薄弱，最具特色与影响的成就是其不定分析和对希腊三角术的推进。 返回

26. §4.2阿拉伯数学 阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8~15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，包括穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。 4.2.1 阿拉伯帝国的兴起 4.2.2 阿拉伯的代数 4.2.3 阿拉伯的三角学与几何学 返回目录

27. 4.2.1 阿拉伯帝国的兴起 公元629年（唐贞观三年），伊斯兰教创始人穆罕默德攻取麦加，两年后统一阿拉伯半岛。接着他和继承者以“右手拿可兰经，左手拿刀”通过武力迅速扩张，不久即建立了横跨欧、亚、非三洲的大食帝国，成为中东地区的政治、经济、文化中心。 早期这些阿拉伯的游牧民族文化落后，有许多是目不识丁，可是就在穆罕默德的伊斯兰教《圣训》中明确的教导：“要寻求学问，即使它远在中国”下，阿拉伯人对别的种族和教派是宽大的，并容许异教徒自由活动，因此许多希腊人、波斯人、印度人、犹太人和基督徒的学者和他们合作建立起伊斯兰的文明及文化。 帝国是以哈里发为最高执政者，他兼有军、政、教三权。先后出现了奥米雅王朝（迁都于大马士革，公元661年—750年）和阿拔斯王朝（迁都于巴格达，公元750年—1055年），到755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国，东部王国以巴格达为首都，西部王国以西班牙的哥尔多华（Cordova）为首都。

30. 罗马人占领埃及之后就把阿历山大城的图书馆放火烧掉。秦末项羽攻占咸阳也把藏有春秋、战国许多文献资料的阿房宫一把火焚烧，可是阿拉伯人却保留和吸收被征服地区的文化遗产。罗马人占领埃及之后就把阿历山大城的图书馆放火烧掉。秦末项羽攻占咸阳也把藏有春秋、战国许多文献资料的阿房宫一把火焚烧，可是阿拉伯人却保留和吸收被征服地区的文化遗产。 阿拉伯人所征服的叙利亚、埃及、美索不达美亚、伊朗、印度等都是世界文化发达较早的地区，这些文化遗产大多数被阿拉伯人接受并保存下来。 例如他们占领了印度就把印度学者请到巴格达传播印度文化。公元773年，印度天文学家将印度的天文学及数学书籍译成阿拉伯文。印度的数字及记数法也在这时候传入阿拉伯。 阿拉伯的几个哈里发都重视教育及注意培养科学人材。在阿拉伯西班牙,教育十分普及,几乎每一个人都会写字，学者极受尊重。大学教育更是发达，科尔多华、赛维利亚、托勒多、马拉加和格拉那达等城，都有规模庞大的综合性大学。是当时西方学术教育中心都市。教学科目有算术、几何、物理、天文、生物、医学、哲学、法学、伦理学等。 建立学术研究机构，图书馆和天文台。阿尔—马门比代的“智慧宫”是继亚历山大博物馆以后世界上最大的学术研究机构。在各地建立的清真寺一般都设有图书馆和学校。巴格达、设拉子（Shiraz）、莫夫、科尔多华都有独立的图书馆。在穆斯林西班牙就有70座公共图书馆，藏有从各地搜集来的珍贵书籍。

31. 就以哈干姆二世时来说吧！科尔多华的图书馆藏书达60多万册，比哈干姆晚四个世纪的查理五世建立巴黎国家图书馆，只搜集了900册书,而且其中1/3是关于宗教的强得多。就以哈干姆二世时来说吧！科尔多华的图书馆藏书达60多万册，比哈干姆晚四个世纪的查理五世建立巴黎国家图书馆，只搜集了900册书,而且其中1/3是关于宗教的强得多。 政府组织人力从事古希腊文化遗产的整理和翻译工作。在翻译中有校订,有的被增补,还有的被注释,于是大量的古代文化遗产获得新生。 被翻译的古典著作中包括欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯、梅耐劳斯、海伦、托勒密和丢番图等著名学者的数学和天文著作。（见右图） 在8世纪末期，印度数学家及天文学家婆罗门笈多（Brahmagupta）的著作便被译成了阿拉伯文。后来,印度的数学知识不断地传入了伊斯兰各国。

33. 在“智慧宫”与花拉子米同时的著名翻译家就有11位，其中一位被尊称为“翻译家长老”的胡纳安·伊本·依斯哈克就熟练地掌握希腊、叙利亚、阿拉伯和波斯四种语言，翻译著作上百部。在“智慧宫”与花拉子米同时的著名翻译家就有11位，其中一位被尊称为“翻译家长老”的胡纳安·伊本·依斯哈克就熟练地掌握希腊、叙利亚、阿拉伯和波斯四种语言，翻译著作上百部。 古希腊人的原著，也主要通过阿拉伯人的译述而传入西欧和中欧的。西方正是通过这些译本才了解古希腊文化遗产。而且有些古希腊著作，还出有阿拉伯文译本流传下来。 唐朝和阿拉伯帝国的势力在中亚互相接触，曾引起冲突，公元751年，两国在西土耳其斯坦的怛罗斯城（今臻俄吉尔吉斯境内）发生军事战争，唐朝的统帅是归化的朝鲜族高仙芝，他的军队受大食（阿拔斯王朝）与诸国的夹击，唐军大败，有一万多人被俘，在被俘的士兵中有不少造纸、纺织等各行各业的工匠，于是这些人被移到中亚细亚的撒马尔罕建立阿拉伯人第一家造纸厂。 8世纪末在巴格达建立造纸厂，据说还招有中国造纸工人。随后造纸业在大马士革也发达起来，纸张输至欧洲各地，造纸术先后输入欧洲各国。 返回

34. 4.2.2阿拉伯的代数学 (一）花拉子米《代数学》 阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。花拉子米(Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi，约783~850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》（al-Kitāb al-mukhta sar fī hisāb al-jabr wa'l-muqābala）（约820年前后）一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响。阿拉伯语“Al-jabr”, 意为还原移项，“a'l-muqābala”即对消之意，传入欧洲后，到十四世纪“Al-jabr”演变为拉丁语“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。《代数学》的内容主要是算术问题，尽管所讨论的数学问题比丢番图和印度人的问题简单，但讨论一般性解法而比起丢番图的著作更接近于近代初等代数。《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数） 这三者组成。接着分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论“平方等于根”的方程，即ax2 = bx型方程；第二章讨论“平方等于数”的方程，即ax2 = b型方程；第三章讨论“根等于数”的方程，即一次方程 ax = b；第四、五、六章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：x2 + px = q, x2 + q = px, x2 = px + q, 都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式

35. x2 + px + q = 0，这样，花拉子米相当于获得一般的求根公式 每一问题求出正根x后，花拉子米又求出根的平方x2。他明确指出，二次方程可能有两个正根，也可能有负根，但他不取负根与零根。 在以上六章内容之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。如对方程 x2 + 21 = 10x求解过程的证明如下： 图1 图2 花拉子米分两种情讨论。 当x < 5时，以x为边作正方形ABCD，延长BC至L，使BL = 5，再延长BL至P，使LP = 5，同样，延长AD至E，使AE = 5，再延长至H，使EH = 5；以EH为边长作正方形EHGF，以LF为边长作正方形LFMN，（如上图），

36. 若记矩形DCLE、ELPH、LFMN、MNPG的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2 + a + b = 10x, 这样a + b = 21。 由于a = (5x)x = d, 于是c = 52b  d = 52 21，即 那么，LC = FM =2，故 当x > 5时，以x为边作正方形ABCD，在边BC上截取BL = 5，延长LC至G，使LG = 5，以LG为边长作正方形LGNF，以LC为边长作正方形EFMD，（如图2），若记矩形FLCM、MCGN、EFMD 、DMNP的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2 + b + d = 10x, 这样 b + d = 21。 由于a = c + d = 5 (x5) ， 于是c = 52b  d = 52 21，即 那么，LC = FM =2，故 花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有初等代数性质，不过，在使用代数符号方面，相对丢番图和印度人的工作有了退步。花拉子米用几何方式证明代数解法的传统被阿拉伯其它数学家所继承，这种几何证明方式的来源今天尚不清楚，它似乎来源于希腊人的传统，但更接近于中国宋元数学中的“条段法”。

37. 花拉子米的另一本书《印度计算法》（Algoritmi de numero indorum）也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。尽管在8世纪印度数码和记数法随印度天文表传入阿拉伯，但并未引起人们的广泛注意，正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来，更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码。该书在欧洲传播后，“Algoritmi”也演变为“Algorithm”。 花拉子米的数学工作为艾布·卡米勒（Abu Kamil，约850~930）所继承，此人被称作“埃及的计算家”，可能是埃及人。他的《计算技巧珍本》的传播和影响仅次于花拉子米的《代数学》，许多数学问题也采自于花拉子米的书，他把埃及、巴比伦式的实用代数与希腊式理论几何结合起来，也常常用几何图示法证明代数解法的合理性。其另一著作《论五边形和十边形》包括几何和代数两方面的内容，关于四次方程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。 (二）奥马海亚姆与三次方程 波斯人奥马海亚姆（Omar Khayyam，1048?~1131）是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人，他曾得到塞尔柱统治者马利克沙（Malik-shah,1055~1092）的重用，受命在伊斯法罕（今伊朗境内）天文台负责历法改革工作，制定了精密的哲拉里历。他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》（简称《代数学》）一书中，其中有开平方、开立方算法，根据奥马自己所说，这些方法来源于印度算法，但后人将其与印度的相关方法相比较，发现相去甚远，倒与中国的宋元时期的增乘开方法十分接近，而且在取 实数根的近似分数时，采用与秦九韶、朱世杰相同的公式 该书对代数学发展的最杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。 。

38. 希腊人门奈赫莫斯（Menaechmus,约BC360）为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，实际上它与三次方程x3 = 2a2相联系。阿基米德在解用平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致一个三次方程：x2(a  x) = bc2。他利用两条圆锥曲线 y(a  x) = ab和ax2 = c2y的交点来求解。阿基米德的传统启发了阿拉伯数学家，一些人也采取这种方式解三次代数方程。奥马海亚姆首先对不高于三次的代数方程分为25类（系数为正数），找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几何解法，例如解 x3 + ax = b，首先将其化为x3 + c2x = c2d，（这里c2= a， c2d = b，按照希腊人的数学传统，a、b是线段，c2为正方形，c2d为长方体），方程x3 + c2x = c2d的解就是抛物线x2= cy与半圆y2 = x(d  x) 交点的横坐标x。他首先画出正焦弦为c的抛物线，再画出直径为d的半圆（如下图），过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解。这一创造，使代数与几何的联系更加密切。可惜在1851年以前，欧洲人并不了解奥马海亚姆的这种解析几何方法。 P Q x S d  xR

39. 在求高次方程的数值解上，晚期的纳西尔·丁（Nasir-Eddin,1201~1274）和阿尔·卡西（Al-Kashī,?~1429）都给出了开高次方的一般性算法。阿尔·卡西是蒙古帖木儿时代撒马尔罕天文台负责人，他在《算术之钥》中还给出了用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的“开方作法本源图”十分相似，而且所介绍的两种造表方法之一，与杨辉算书所录贾宪“增乘方法求廉草”完全一致。《算术之钥》中还有“契丹算法”（即盈不足术，当时的历史学家称中国为契丹al-Khataayn）和“百鸡问题”，后来传入欧洲。阿拉伯人代数学确切的来源并不清楚，除印度、亚历山大里亚的希腊数学外，应当还有中国数学的影响。在求高次方程的数值解上，晚期的纳西尔·丁（Nasir-Eddin,1201~1274）和阿尔·卡西（Al-Kashī,?~1429）都给出了开高次方的一般性算法。阿尔·卡西是蒙古帖木儿时代撒马尔罕天文台负责人，他在《算术之钥》中还给出了用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的“开方作法本源图”十分相似，而且所介绍的两种造表方法之一，与杨辉算书所录贾宪“增乘方法求廉草”完全一致。《算术之钥》中还有“契丹算法”（即盈不足术，当时的历史学家称中国为契丹al-Khataayn）和“百鸡问题”，后来传入欧洲。阿拉伯人代数学确切的来源并不清楚，除印度、亚历山大里亚的希腊数学外，应当还有中国数学的影响。 在使用数学符号方面，与丢番图相比阿拉伯人退步了，阿拉伯数学家没有继承丢番图的做法，始终用语言叙述他们的解法。

40. 4.2.3 阿拉伯的三角学与几何学 由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》（Almagest）、梅尼劳斯的《球面论》(Sphaerica)等古典著作。 天文计算的需要，阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编造。9世纪的海拜什·哈西卜(Al-Hasīb, 764?~870?)在印度人的基础上制定间隔为15'的60进制正弦表，并且还编制了间隔为1的正切表。正切、余切函数的引入，导源于古代的立竿测影，中国唐代一行在编制的《大衍历》中，所立“九服晷影”就是关于不同地理纬度处晷影、漏刻长度的表格算法，其中用到了与正切表等价的影长数表，可视为最早的正切表。艾布·瓦法(Abū'l-Wafā, 940~997?)在哈西卜的基础上进一步编制出间隔为10'的正弦表和正余弦表，特别是比鲁尼(Al-Bīrūnī, 973~1050)利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。 马拉盖天文台

41. 对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼（al-Battānī, 858?~929）作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。其《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果。在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切。他称正弦为jība，来源于阿耶波多的印度语术语jīva, 拉丁语译作sinus, 后来演变为英语sine；称正切为umbra versa, 意即反阴影；余切为umbra recta, 意即直阴影；后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克（1561~1656）的《圆的几何》(1583)一书中。而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abū‘l-Wafā, 940~997?)最先引入的。 阿尔·巴塔尼还发现了一些等价于下列公式的三角函数关系式： 巴塔尼（ 858?-929） , , ， , 。 以及球面三角形的余弦定理：cosa = cosb cosc + sinb sinc cosA.

42. 艾布·瓦法和比鲁尼(Al-Bīrūnī, 973~1050)等人进一步丰富了三角学公式。艾布·瓦法曾在巴格达天文台工作，其重要的天文学著作《天文学大全》继承并发展了托勒玫的《大汇编》,尽管它在天文学方面没有什么超越托勒玫的创造，但其三角学方面的成就足以彪炳史册。其中除一些精细的三角函数表外，还证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理，证明了平面和球面三角形的正弦定理。比鲁尼曾经得到马蒙（Ma‘mun）哈里发的支持，在乌尔根奇建造天文台并从事天文观测，是一位有146多部著作的多产学者，其《马苏德规律》一书，在三角学方面有一些创造性的工作，他给出一种测量地球半径的方法,

43. 他的做法首先用边长带有刻度的正方形ABCD（如图4.4a）测出一座山高他的做法首先用边长带有刻度的正方形ABCD（如图4.4a）测出一座山高 （其中 ），再于山顶T处悬一直径SP可以转动的圆环MPNS（如图4.4b）， 从山顶T 观测地平线上一点I，测得俯角OTI = ，由于 ，，得到 ，从而算出地球半径 ， ， M S 。比鲁尼算得1子午线长为106.4-124.2公里。 T P T N H G A I F O D B C E G 图4.4a 图4.4b

44. 比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式。后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sin1的值。阿尔·卡西首先求出sin72和sin36的值，以求sin12 = sin（7236）的值，再用半角公式求sin3的值，由三倍角公式得出sin3=3sin1 4sin31，即sin1是三次方 程sin3=3x 4x3的解，阿尔·卡西用牛顿叠代法： ，（x1 = sin3）求出sin1的近似值。 如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变。1201年纳西尔·丁出生于伊朗的图斯，生活于十字军和蒙古人的侵占时代，是一位知识渊博的学者。由于蒙古伊儿汗帝国的君主旭烈兀十分重视科学文化，纳西尔·丁受到他的礼遇，他建议在马拉盖建造大型天文台得到旭烈兀的允许和支持，其后他一直在这里从事天文观测与研究。他的天文学著作《伊儿汗天文表》（1271）是历法史上的重要著作，其中测算出岁差51"/每年。其《天文宝库》对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型，对后世天文学理论的形成具有一定的启发作用。他的《论完全四边形》是一脱离天文学的系统的三角学专著，是三角学成为一门独立于天文学的纯粹数学分支。所谓完全四边形，即指两两相交的平面上的四条直线或球面上的四条大圆弧所构成的图形。该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(C为直角)： cosc = cosa cosb ; cosc = ctgA ctgB ; cosA = cosa sinB ; cosA = tgb ctgC ; sinb = sincsinB ; sinb = tga ctgB .

45. 并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形。指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角的一个重要标志。纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪的欧洲三角学传播与发展有着非常重要的作用。并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形。指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角的一个重要标志。纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪的欧洲三角学传播与发展有着非常重要的作用。 与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的,例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式sin2 + cos2=1作代数运算而求解，而不是利用几何关系的推算，这是一种进步。他们和印度人一样，用弧的正弦而不用双倍弧的弦，正弦（或半弦）的单位取决于半径的单位。 与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，他们的几何学工作显得薄弱，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。他们主要受欧几里得、阿基米德、阿波罗尼乌斯、海伦和托勒玫等人的影响，希腊几何学对阿拉伯数学的严格性产生一定的作用。他们曾经对《几何原本》作过评注，其第五公设引起了他们的注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari，约830)、著名学者塔比·伊本·库拉(Thabit ibn Qurra, 约826~901)、伊本·海塞姆(Ibn al-Haytham,965~1040?)、奥马·海亚姆以及纳西尔·丁等人。 奥马·海亚姆在其《辨明欧几里得公设中的难点》（1077）中，试图证明平行公设。其做法是，作DA和CB同垂直于AB，且令DA = CB，构造一个四边形ABCD。首先证明ADC = BCD。实际上直角三角形△ABD ≌△ABC（两直角三角形的两直角边对应相等）。从而有AC = BD，CAB = DBA，ADB = BCA，OA = OB，OC = OD，BCA = ADB，这样可得ADC = BCD。它们的大小存在三种情形：(1)直角；(2)钝角；(3)锐角。他用反证法，说明了后两种情形所出现的矛盾，等价于证明了第五公设。他在证明过程中，实际上引用了与第五公设等价的假设：两条直线如果越来越近，那么它们必定在这个方向上相交。

46. 奥马·海亚姆的证明被纳西尔·丁所继承，西尔·丁在他的两种《几何原本》译注中都讨论了平行公理，其《令人满意的论著》一书是关于平行公设研究的专著。对于奥马·海亚姆的四边形，他也通过证明ADC = BCD = 90，以推出第五公设。为此，纳西尔·丁也用反证法考虑：若BCD为钝角，则可作CE⊥DC，有CEA CBA = 90，为钝角，故又可作EF⊥AB，同理EFD为钝角，显然BC CE（直角三角形的直角边与斜边）。如此一直作下去，有BC CE EF FG GH HI…，这些折线向左越来越大，最后必然大于DA，于是出现矛盾。若BCD为锐角，按照这种方式做，同样也出现矛盾。从而证明了ADC = BCD = 90。 D J H F C C D A B A 图2 I G E B 图1 实际上，纳西尔·丁的证明没有考虑到折线向左延展过程中，越来越密，以至永远不能超过AB的中点，更不用说到达DA边了。17世纪英国数学家华里司（J.Wallis,1616~1703）再次研究了纳西尔·丁的这一证法。 阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。

47. §4.3中国和印度阿拉伯的数学交流 4.3.1 丝绸之路 4.3.2 中国与印度的数学交流 4.3.3 中国与阿拉伯世界的数学交流

48. 4.3.1 丝绸之路 中国人最早懂得养蚕，蚕的饲料是桑。在古老的传说是说黄帝的元妃螺祖教大家养蚕抽丝织衣服。黄帝是距今至少四千五百年前的人物。人们在浙江吴兴钱山漾的遗址，发现了距今五千年左右的苧布，还出土有一段丝带和一小块绢片，因此这传说还是有一些根据。 到了公元前14世纪的殷代，养蚕织丝有一定的规模。在河南安阳殷代都城的废墟发现过维妙维肖的用玉刻的七节蚕的随葬品，在山东益都殷代的大墓里，也有像真蚕的玉蚕。 在殷代已能织出非常美丽的具有菱形花纹的暗花绸，这叫做“绮”的高级丝织品。甲骨文中的“丝”字，每边有三根丝互相交织起来，就是丝线；甲骨文中的“帛”字，代表了丝织物。 在公元前5世纪之后，中国有花纹的丝服被印度人、波斯人、希腊人写进他们的经典和见闻录中。波斯帝国成立在公元前558年，极盛时版图东起印度河流域，西北至巴尔干的色雷斯，西南至埃及。在波斯宫廷里当侍医的希腊人克泰西斯，第一次在欧洲的文献中提到和北印度人一起的赛里斯人。“赛里斯”这个字是从“赛尔”变来，“赛尔”的原音也是绮，以后“赛里斯”成了希腊人、罗马人对中国的称呼。 在公元前4世纪后期，阿育王用不到40年的时间统一印度半岛建立了强大的孔雀帝国。在公元前320年,印度孔雀王朝梅陀罗笈多王的大臣憍底里耶写了一本《政争论》，其中提到“憍奢耶和来自中国的成捆绮”。 “丝绸之路”是古代横贯欧亚大陆的交通大动脉，它发自中国中原地区，通过西域的漫长道路而达欧洲。一般认为是由西汉的张骞首先开辟的。

49. 公元前177年，匈奴在冒顿单于统治下，向分布在阴山以西的月氏人进攻，驱赶他们向西边迁徙到天山以北的地方。月氏民族西迁的消息，一直到公元前138年,才传到汉武帝刘彻。汉武帝于是派张骞出使西域（主要指今中亚地区），联络西部民族如大月氏、乌孙等，联合汉朝发起对匈奴的东西夹击。公元前177年，匈奴在冒顿单于统治下，向分布在阴山以西的月氏人进攻，驱赶他们向西边迁徙到天山以北的地方。月氏民族西迁的消息，一直到公元前138年,才传到汉武帝刘彻。汉武帝于是派张骞出使西域（主要指今中亚地区），联络西部民族如大月氏、乌孙等，联合汉朝发起对匈奴的东西夹击。 张骞带了100个随从离开长安，一进入河西走廊，就被匈奴抓走，关了10年才逃出匈奴，到了大宛、康居和大月氏（伊朗东北部）。 张骞在大夏（巴克特里亚，今阿富汗北部）见到中国产品邛竹杖、蜀布，问大夏人从何处得来，回答是从身毒（Hindu印度）买来。可见中国西南早已与印度有来往。 张骞在大月氏停留了一年之后，就从西域南道回中国，在回中国的路上又被匈奴扣留一年，后来乘匈奴内乱逃回中国，他在西域的时间前后13年，出发时一百多人，回来只剩下两人。 《史记·大宛列传》记载张骞死后，“西汉始筑令居以西，初置酒泉郡以通西北国、因益发始抵安息（伊朗高原）、奄蔡（里海东北）、黎轩（罗马）、条支（在伊朗西南波斯湾沿岸）、身毒国（印度）。而天子好宛马，使者相望于道。 诸使外国一辈大者数百、少者百余人，……汉率一岁中使多者十余，少者五六辈，远者八九岁，近者数岁而返。……其吏卒亦辄复盛推外国所有，言大者予节，言小者为副，故妄言无行之徒皆争效之。其使皆贫人之子，私县官赍物，欲贱市以私其利外国。” 《史记》短短几句为我们描绘了在通向西方的南北道路上，两千多年前使者商旅，熙来攘往，一次出动多者数百，少者百人，那满载货物的驼队马帮，以及匆忙赶路的中外使臣，构成“丝绸之路”的壮观图景。

50. 罗马帝政时期从奥古斯都（公元前27年—公元14年）执政开始，罗马帝国征服了整个地中海,帝国的东部边界沿着幼发拉底河上游和亚美尼亚、安息国接壤。罗马帝政时期从奥古斯都（公元前27年—公元14年）执政开始，罗马帝国征服了整个地中海,帝国的东部边界沿着幼发拉底河上游和亚美尼亚、安息国接壤。 那时中国的商队，从敦煌或新疆出发，经常到美索不达米亚及叙利亚（罗马帝国东部）去做买卖。中国人也把罗马叫着“大秦”，意思是“极西的国家”。 公元97年，在西域经营的班超，派了叫甘英的使者，带着礼物，去寻找到罗马的路径，甘英从现在新疆库车西南的托和鼐出发，顺利地穿过中亚、西亚的广大地区，来到安息的西界，准备渡海，经海路到红海去。可是波斯船长却欺骗了他：“海水广大，往来者逢善风三月乃得度，若遇迟风，亦有二岁者，故入海人皆齐三岁粮。海中善使人思土恋慕，数有死亡者。”意思是：这条海路难走，遇上好风，也要三个月才行。风信不利，也有走到二年才到。要带到三年的口粮才能对付。在大海上航行，使人容易得到思乡病，常常因而死亡。 这些话使到甘英不能到达大秦，但是再次巡历了二百年前西汉使者所走过的“丝绸之路”。甘英使大秦失败而回,二十余年后,有罗马的魔术师经海路辗转到印度，缅甸，后由西南陆道来到洛阳献艺。 大秦到了公元166年，正式遣使，从东南海路前来中国。后汉书·西域传》记载这件事！“（大秦）其王常欲通使于汉，而安息欲以汉赠彩与之交市，故遮阂不得自达。至恒帝延熹九年（公元166年），大秦王安敦遣使自日南徼外献象牙、犀角、瑇瑁，始乃一通焉。其所表贡，并无珍异，疑传者过焉。” 从汉到唐的一千多年间，“丝绸之路”虽几经中断，但基本上是畅通的，沿着这条道路保持着大规模的经济贸易交往，而伴之而来的是科技文化的交流。《史记·大宛列传》记载：“自大宛以西至安息，……其地皆无丝漆，不知铸铁器，乃汉使亡卒降,教铸作他兵器.”而大宛的汗血马、花蹄牛、驼鸟；中、西亚的石榴、胡桃（核桃）、胡豆（蚕豆）等，毛布毛毯、象牙、犀角、瑇瑁也传入中国。