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多変数の関数と偏微分

多変数の関数と偏微分. 多変数の関数. R n の実関数 n 個の実数 x 1 ,..., x n が決まると一つの実数が決まる f ( x 1 ,..., x n ). 経済学の例 りんごの需要がりんごの価格 p だけでなく、みかんの価格 q と所得 Y に依存する・・ D ( p,q,Y ) 財がたくさんあって、各価格が p 1 ,..., p n, 所得が Y のとき、各財の需要は D 1 ( p 1 ,..., p n , Y ) ,..., D n ( p 1 ,..., p n, Y ). R n から R m への関数 ( 写像 ).

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多変数の関数と偏微分

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Presentation Transcript

  1. 多変数の関数と偏微分

  2. 多変数の関数 • Rnの実関数 n個の実数x1,..., xnが決まると一つの実数が決まる f(x1,..., xn) • 経済学の例 • りんごの需要がりんごの価格pだけでなく、みかんの価格qと所得Yに依存する・・ D(p,q,Y) • 財がたくさんあって、各価格がp1,..., pn,所得がYのとき、各財の需要はD1(p1,..., pn ,Y) ,..., Dn(p1,..., pn,Y)

  3. RnからRmへの関数(写像) • Rnの実関数をm個並べる nの実数x1,..., xnが決まるとm個の実数が決まる f1(x1,..., xn) ,..., fm(x1,..., xn)

  4. 2変数の関数の図示 • 2変数のときは、等高線や等圧線を描くことができる。 一般的にはレベル曲線 経済学では無差別曲線

  5. レベル集合 無差別曲線の上の部分

  6. 準凹関数 • レベル集合が凸集合 凸集合 凸集合でない

  7. 多変量の関数の例 • 線形関数 • アフィン関数(一次関数) • 線形代数で扱う

  8. Cobb Douglas関数 対数を取る 対数が線形

  9. Cobb Douglas生産関数 単位の取り方でA=1に標準化できる 資本と労働の投入を二倍にしたとき生産が2倍

  10. 一次同次関数と0次同次関数 一次同次関数 k次同次関数 0次同次関数

  11. 一次同次の生産関数 • F(ax1,....axn)=aF(x,.... , x) • 生産プロセスを何倍にでも、あるいは、何分の1にでもできる • 規模に対して、収穫一定(constant return to scale)

  12. 需要関数の0次同次性 • すべての財の価格と所得が2倍になっても経済状態は変わらない→各財の需要は変化しない

  13. 効用関数の序数性 • 序数的・・・どちらがいいかのみ意味がある • 基数的・・・大きさ自体に意味がある。 序数的なら の比較と の比較は同等 より一般的に の比較は同等

  14. Cobb-Douglas 効用関数と対数線形効用関数の同値性 対数線形のほうが使いやすい

  15. レベル集合の不変性 レベル曲線・無差別曲線も変化しない

  16. CES関数 Cobb Douglasの一般化 1次同次

  17. 線形 コッブ・ダグラス ロピタル・ルールを用いる

  18. ロピタル・ルール

  19. 補足

  20. レオンチェフ形

  21. 各型のレベル曲線(等量曲線) －∞< σ <1 σ=－∞ σ=1 CESは、Constant Elasticity of Substitutionで、代替の弾力性が一定の意味

  22. 偏微分(Partial derivative) • 多変数の関数で、他の変数を定数として、一つの変数のみについて、微分する • dのかわりに∂を 使う

  23. 極限は上から取っても下から取っても一致 • そうでないときは、偏微分できない(偏微分不可能である ) 関数としては偏導関数

  24. 一次近似 • 一方向

  25. 一次近似 • すべての方向 • 略して全微分表現

  26. 一次近似が成立しない例

  27. 全微分(可能) • すべての方向でいい近似

  28. 比較静学 • 未知数が、未知数と同じだけの方程式で決まっているとき、その未知数以外の方程式の変数がちょっとだけ変化したとき、未知数がどんなふうにちょっと変化するかを考える問題 • 全微分(一次近似)して、連立方程式を解く

  29. 例　生産関数 生産関数 資本の投入 労働の投入

  30. 限界生産物 資本の限界生産物 労働の限界生産物 一単位投入を増やしたとき産出がどれだけ増えるか 独立変数を省略

  31. 生産関数の全微分 資本の限界生産物 ß両辺を全微分

  32. 変化率と弾力性による表現 ß両辺をY=Fで割る 変化率 時間についての変化率と似ているが違う

  33. 変化率と弾力性による表現（2) 変化率を変化率で割ったもの 弾力性・・ 生産の資本に対する弾力性

  34. 変化率と弾力性による表現（3) Rochester ハット 慣れれば本能的に瞬時に出る

  35. Cobb-Douglousのケース

  36. 偏微分の積の公式 • 以下では、微分可能性などは仮定 2変数 多変数

  37. 合成関数微分の公式(チェイン・ルール) • パスを全部通す • dと∂のどちらを使うかは、文脈による

  38. チェイン・ルールの例1

  39. チェイン・ルールの例2

  40. パスを全部通す例

  41. 上の例の導出

  42. 例2Cobb Douglas 生産関数の時間微分 Cobb Douglas生産関数 KとLで微分 KとLともに時間の関数だとする tで微分

  43. 両辺の対数を取る 数IIIを少しやっていると見た瞬間にわかる

  44. 一般の生産関数 とパラレルに

  45. 例3　オイラーの法則

  46. オイラー法則

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