复变函数论多媒体教学课件

1. 复变函数论多媒体教学课件 第三节 复变函数 1 复变函数的概念 2 极限与连续 Department of Mathematics

2. 1 复变函数的概念 设在复平面C上以给点集E。如果有一个法则f，使得， 同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为w=f(z)。 注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对应；

3. 复变函数的概念 注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数： 若记 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y) 。 注4、一些标准的记法也可以推广到复变函数的情形。

4. 函数的几何意义: 函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。把集合E表示在一个复平面上，称为z-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为w-平面。从集合论的观点，令 记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的 映射成为

5. 函数的几何意义: 若w=f(z)把E中不同的点映射成A中不同的点，则称它是一个从E到A的双射。 把集E映射成集A。 称 及A分别为 和E的象，而称 和E分别为 及A的原象。

6. 例1： 考虑映射w=z+a。令 z=x+iy，w=u+iv,a=a+ib, 其中x,y,u,v,a和b都是实数。我们显然有： u=x+a,y=y+b, 显然，w=z+a是从z平面到w平面的一双射。如果把z以及它的象作在同一个复平面上，则这个映射是z平面的一个平移。

7. 例2： 考虑映射 其中 解：令 其中 显然，这个映射可以看作是下列函数或映射的复合函数或复合映射： 这表示一个旋转和一个以原点为中心的相似映射。

8. 例3： 考虑映射 解：这一映射可以看作是下列两个映射的复合映射： 把 都作在同一个复平面上。显然，映射 是关于实轴的对称映射，而映射

9. 例3： 把z映射成 ，其幅角与z的幅角相同， 模为 满足 我们把中心在原点、半径为1的圆称为单位圆。于是，映射

10. 例3： 称为关于单位圆的对称映射，对应的点称为关于单位圆的互相对称点。 w=1/z把原点以外的任何点映射为另外一个点。把z及w表示在不同的扩充复平面，并规定 则我们得到一个扩充z平面到扩充w平面的一个双射。

11. 例4： 考虑映射 解：由于 因此，这个映射等价于下面的两个实变映射： 规定：除特别说明外，集E表示简单曲线、区域或闭区域。

12. 结论的证明

14. 注解： 1、几何意义： 2、与重极限的关系： 3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）

15. 复变函数连续性的定义

16. 复变函数连续性与实值函数连续性的关系 注1、初等函数在其有定义的地方连续。 注2、连续函数在有界闭域上的性质也成立。

17. 注解： 1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）； 2、复合运算； 3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。 4、同样我们也可以定义非正常极限。

18. 例5

19. 例6

21. 本节结束 谢谢！ Complex Function Theory Department of Mathematics