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2.3 多项式的最大公因式

2.3 多项式的最大公因式. 多项式的最大公因式是多项式理论的一个重要组成部分 . 要掌握最大公因式的概念 , 会求两个或多个多项式的最大公因式 , 并能熟练运用互素多项式的性质以及判断两个多项式互素的充要条件. 2.3.1 最大公因式. 如果. 满足. 以下两个条件，则称 是 的一. 个 最大公因式 ：. （ i ）. （ ii ）对于 , 如果. 注记：. 2.3.2 最大公因式的存在性及其求法.

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2.3 多项式的最大公因式

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  1. 2.3多项式的最大公因式 多项式的最大公因式是多项式理论的一个重要组成部分. 要掌握最大公因式的概念, 会求两个或多个多项式的最大公因式, 并能熟练运用互素多项式的性质以及判断两个多项式互素的充要条件.

  2. 2.3.1 最大公因式 如果 满足 以下两个条件，则称 是 的一 个最大公因式： （i） （ii）对于 ,如果

  3. 注记：

  4. 2.3.2 最大公因式的存在性及其求法

  5. 定理2.5的证明中用来求最大公因式的方法，叫做 辗转除法． 例2.4 设

  6. 若仅求 ，为了避免辗转相除时出现 为非零常数． 注记: 分数运算,可用一个数乘以除式或被除式，这是因为 　 和 具有完全相同的 因式，即 在辗转相除的过程当中也可以这样做!

  7. ，则　 取　 ，有 取　 ，也有 取　 ,也有 注记: （1）定理 2.6中的 不唯一. 例如，设 （2）定理 2.6的逆命题不成立.

  8. 例2.5 设

  9. 2.3.3 多项式的互素 由定义，两个多项式互素当且仅当它们的公因式只有零次多项式.

  10. 多项式的互素具有以下性质：

  11. i) ii) 若 ， 2.3.4 最大公因式概念的推广 进一步，F上的多项式d(x)如果满足条件

  12. 2. 注记： 1.　　　　　　　　　 的最大公因式一定存在.用 表示最高次项系数为1的最大公因式．

  13. 2.3.5 多个多项式的互素. 注意: 当n(n>2)个多项式 互素时，它们不一定两两互素，即未必有

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