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공리 집합론 ( Axiomatic Set Theory)

공리 집합론 ( Axiomatic Set Theory). 칸토어( G. Cantor) 집합론 (원시적인 형태) 공집합 { }, {1, 2777771}, {{}, {1}} … x  A: x 는 A 의 원소이다. A  B: A 는 B 의 부분집합이다. A B, AB A = {x: x 는 소크라테스를 읽은 한국인} A = {x: P(x)} 는 집합이다. . 러셀의 모순( Rusell ’ s Paradox). N  N

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공리 집합론 ( Axiomatic Set Theory)

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Presentation Transcript

  1. 공리 집합론 (Axiomatic Set Theory) • 칸토어(G. Cantor) 집합론 (원시적인 형태)공집합 { }, {1, 2777771}, {{}, {1}} …x A: x는 A의 원소이다. A B: A는 B의 부분집합이다. AB, AB • A = {x: x는 소크라테스를 읽은 한국인}A = {x: P(x)}는 집합이다.

  2. 러셀의 모순(Rusell’s Paradox) • N  N • C = {x: x는 x x를 만족하는 집합}C가 집합이라면 C  C 이라면 C C C C 이라면 C  C즉 모순이다.

  3. 체르멜로 프랜켈(Zermelo-Fraenkel) • 공리집합론 클래스 도입, 집합은 클래스의 원소가 되어야 한다. • A ∋ A_1 ∋ A_2 ∋ A_3 ∋ A_4 ∋….는 존재하지 않는다. • 공리들

  4. 수학의 기초로서의 집합론 • 모든 수학적 관계는 집합들의 관계로 이해해야 한다. • A, B 집합, A와 B의 관계란 AxB의 부분집합을 말한다. • 함수, 순서등이 이렇게 표현된다. • 정수, 실수, 더하기, 곱하기 • 군,환,모듈,체, 유클리드공간, 비유클리드공간…..

  5. 칸토어의 수 (Ordinal) • 0 = {}, 1={{}}, 2={{},{{}}}, …. • A+1 = A {A} 내부에 순서가 정해져 있다. •  = {0,1,2,3,4, ….} • 더하기 곱하기를 정할 수는 있다. (문제가 많음) • +1 = {0,1,2,3,4,…..,} 2= {0,1,2,3,…., , +1, +2, …} 2 = {0,1,2,3, …, , +1, +2, …, 2, …, 3, …, …., n,…}

  6. Cardinal • Card(R) > Card(Q) = Card(Z) • 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ……2, 2/2,2/3,2/4,2/5,…..3, 3/2, 3/3,3/4,3/5,….. • RA1=0.0011245…A2=1.2341567…A3=0.5746000…………대각수에서 각 digit을 한 개씩 바꾼 수는 리스트에 없다.

  7. 초한수 • aleph0, aleph1, aleph2, ….. aleph0 + aleph1 = alph1,…. • 2aleph0 = aleph1? …..(연속체가설) P(A) = 2A 로 정의됨 • 칸토어 (p. 82 II) Card A < Card P(A)

  8. Card A < Card P(A) • A의 원소 -> P(A)의 원소y -> A(y)={a, c, d} ⊂ Az -> A(z)={a, c, d, e} ⊂ At -> A(t) = {a, b, c, d} ⊂ A…. • U = {x| x ∉ A(x)} • w -> U • w가 U의 원소라면 w ∉ A(w)=U w가 U의 원소가 아니라면 w ∊ A(w) = U즉 모순이다.

  9. 힐베르트 계획(Hilbert Program) • 힐베르트(1862-1943) 수학의 공리화 • 공리체계의 완전성을 주장: 즉 수학적으로 제대로 만들어진 질문은 답이 있다. • 예: 삼각형의 각의 합은 180도이다. • Godel에 의해서 충분히 복잡한 공리체계는 항상 결정불가능인 명제가 존재한다는 것이 보여졌다.

  10. 괴델정리 • 정수와 덧셈, 곱하기등이 있는 어떠한 공리체계도 결정이 불가능한 명제가 있다. (2nd order logic) Godel, Escher, Bach 저자 D. Hofstadter(Pulitzer Prize)

  11. Epimenides paradox • The following sentence is false.The preceding sentence is true.

  12. Richard Paradox • 자연수가 가질수 있는 모든 성질들의 정의를 나열한다. 즉 성질 1개 <-> 자연수 • 어떤자연수가 그자연수가 가르치는 성질을 가지지 않는 경우 리차드수라한다. • N을 리차드 성질에 해당하는 자연수라하자. • 그러면 N이 리차드 <-> N은 리차드가 아니다. • 모순이다 • 이것은 잘못되었다. 왜냐하면 리차드성질은 리스트에 없기때문이다.(meta-mathematical) • 괴델정리는 이러한 어려움이 없다.

  13. (*) 이쪽에서 별표를 부친 명제는 증명 불가능이다. • 이 명제는 참또는 거짓이다. 거짓이라면 이 명제는 증명가능이고 즉 참이다. 즉 이 명제는 참이다. • 이 명제가 참이라면 이명제는 증명불가능이다. • 즉 참이지만 증명이 불가능이 명제가 존재한다.

  14. 괴델정리Godels proof (New York Univ. Press 2001) • 모든 명제는 산술의 문제로 바꿀수 있으며 명제의 증명도 산술화 된다. (괴델산술화) • 만약 모든 명제가 참 또는 거짓이며 그에 대한 증명이 항상존재한다고 하자. • 모든 명제와 증명을 나열하자. (y의 괴델수 17) • ∃x Dem(x, z) 괴델수 z인 명제의 괴델수 x증명 • sub(y, 17, y) y가 괴델수인 공식의 17변수를 y의 괴델수로 치환 • ~(∃x) Dem(x, sub(y, 17, y)) 괴델수를 n • ~(∃x) Dem(x, sub(n, 17, n)) 은 증명불가능(sub(n, 17, n)은 이 공식의 괴델수)

  15. 현대 논리학의 탄생 • Proof theory, Model theoryTarski, Robinson, Cohen(연속체 가설의 결정 불가능성) • Computability theoryChurch, Turing, Kleene

  16. 언어와 문법 (languages, grammar) • 과거의 문법: 법률처럼 조직되어 해서 안될일들의 망라 Syntactic structure, grammar • 언어의 역사, 진화연구 (과학적 접근)Saussure, Boas, Bloomfield • Chomsky의 생성문법 • 정규 문법 <-> finite state automata (computer 의 일종)

  17. 언어와 문법 (languages, grammar) • 과거의 문법: 법률처럼 조직되어 해서 안될일들의 망라 Syntactic structure, grammar • 언어의 역사, 진화연구 (과학적 접근)Saussure, Boas, Bloomfield • Chomsky의 생성문법 • 정규 문법 <-> finite state automata (computer 의 일종)

  18. 언어와 문법 (languages, grammar) • 과거의 문법: 법률처럼 조직되어 해서 안될일들의 망라 Syntactic structure, grammar • 언어의 역사, 진화연구 (과학적 접근)Saussure, Boas, Bloomfield • Chomsky의 생성문법 • 정규 문법 <-> finite state automata (computer 의 일종)

  19. 생성(영)문법 • <sentence> -> <subject><predicate> • <subject> -> <noun phrase> • <noun phrase> -> <noun> • <noun phrase> -> <noun><conjunction><noun> • <conjunction> -> and • <noun>-> Jack • <noun> -> Jill

  20. <predicate> -> <verb><prepositional phrase> • <propositional phrase> -> <proposition><article><noun> • <preposition> -> up • <article> -> the • <noun> -> hill • Jack and Jill ran up the hill

  21. S(sentence) -> DNP(noun phrase) VP (verb phrase) • VP -> V(verb) DNP • PP (prepositional phrase) -> P(preposition) DNP • DNP -> DET NP • DNP -> DNP PP • NP -> A(adjective) NP • N -> NP • The womans runs to the big car

  22. Formal grammar G=(N,T,P,S) • N finite set of nonterminal symbols • T terminal symbols (N, T disjoint) • P productions 생성자 • S sentence symbol 문장기호 • P의 원소 aAb -> awb (A = S or nonterminal symbol, w ∊ (N∪T)*

  23. 언어(language)L(G) = {w∈T*: S =>* w} • G N={A}, T={a,b} S -> A, A -> aAb, A-> abS => A => aAb => aaAbb => aaabbbL(G) = {akbk: 모든 k ≧1} • G1 N={A, B, C}, T={a, b,c} P: S -> A, A -> aABC, A-> abC,CB -> BC, bB-> bb, bC -> bc, cC->cc • L(G1) = {akbkck: 모든 k ≧1}

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