Álgebra

1. y El poder generalizador de los SIMBOLOS Álgebra

2. “La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años” Veamos la siguiente situación: ¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?

3. OBJETIVOS • Conocer conceptos básicos de algebra: • Término Algebraico: • Coeficiente Numérico • Factor Literal • Grado • Signo • Expresión Algebraica • Clasificar expresiones algebraicas • Operar con expresiones algebraicas

4. Contenidos • Definiciones 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas 1.4 Términos semejantes 2. Operaciones algebraicas 2.1Adición y sustracción (Reducción de Términos Semejantes)

5. 1. Definiciones 1.1Término Algebraico • Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. • Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”. Coeficiente Grado Numérico 23x5y8 Factor Literal 5 + 8 = 13

6. 5p, 2q Ejemplos: mn3p, 3a4b, 7 Obs: 1) 1x=x

7. 9x7 – 4 5y 1) 2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q 3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2 1.2Expresión algebraica • Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción. Ejemplos:

8. 1.3 Clasificación: Monomio • Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: 1) 36x5, 2) 8ab3, 3) 73p4q2 Polinomio • Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

9. 1)Binomio: Polinomio que consta de dos términos. Ejemplo: 2m3n4 + 7ab 2)Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7 3) Polinomio o Multinomio: Polinomio que consta de más de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3x – 2y + 3yx – 4z + 6

10. 1.4 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: 7m3n 2m3n - Los términos y son semejantes. 3p2 - Los términos y NO son semejantes. 9p5

11. 2. Operaciones algebraicas 2.1Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece inalterable. Ejemplo: mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p = – 3mn5p

12. Ejercitemos lo aprendido: Reducir los términos semejantes: 1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x = 2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

13. 2.2Multiplicación: El producto se hace término a término y (coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales) • Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 6a ∙ 3ab = 18a2b • Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) = 10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4

14. Polinomio por Polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2 = 6x2 + 7xy + 2y2

15. (x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21 1. Ejemplo: ¿Cómo se resuelve correctamente? =x² + 10x + 21 (Reduciendo términos semejantes)

16. (ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común. • Producto de binomio con factor común: Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2 (3x + 4)∙(3x + 2) = Desarrollando... = 9x2 + 18x + 8

17. Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 (y - 4)∙(y + 2) = Desarrollando... = y2 – 2y - 8

18. (I +II)2 = I2 + 2*I*II + II2 (I - II)2 = I2 – 2*I*II + II2 2.1 Productos Notables Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. • Cuadrado de Binomio:

19. a 2 a a b a 2 b b b a b b a b a Ejemplo: (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:

20. (a + b)∙(a – b) = a2 – b2 • Suma por su diferencia: Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x)2 – (6y)2 (5x + 6y)∙(5x – 6y) = = 25x2 – 36y2

21. (I + II)3 = I3 + 3*I2*II + 3*I*II2 + II3 (I - II)3 = I3 – 3*I2*II + 3*I*II2 - II3 • Cubo de binomio:

22. Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 (3x – 2y)3 = Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

23. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc • Cuadrado de trinomio: Ejemplo: (2x + 3y + 4z)2 = ? Aplicando la fórmula... = (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) Desarrollando... = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

24. 2.4Factorización Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. • Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: Al descomponer... 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y 2xy + 4xy2 – 6x2y = (El factor común es : 2xy) = 2xy(1 + 2y – 3x)

25. Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: Factorizar: xz + xw + yz + yw = Agrupando... = (xz + xw) + (yz + yw) Factorizando por partes... = x(z + w) + y(z + w) Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... = (z + w)(x + y)

26. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) • Diferencia de cubos: Ejemplo: 8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3 Aplicando la fórmula... = (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 ) Desarrollando... = (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

27. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) • Suma de cubos: Ejemplo: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

28. Reconocer productos notables: Ejemplos: 1) 36a2 – 81y2 = (6a+ 9y)(6a– 9y) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) x2 + 5x + 6 = (x+ 2)(x+ 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común..

29. x2 + x - 20 (x + 5)(x – 4) = x2 - 25 (x + 5)(x – 5) (x – 4) (x – 4) = (x – 5) (x – 5) 2.5División Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: 1) Si x2 – 25  0, entonces Factorizando... Simplificando... Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:

30. (a + b)2 1 (a + b)(a + b) 1 = : : a2 - b2 a - b (a + b)(a – b) a - b (a + b) 1 = : (a – b) a - b (a + b) a - b ∙ = (a – b) 1 2) Si a  b y a  - b, entonces Factorizando y simplificando Dividiendo: = (a + b)

31. 3. Mínimo común múltiplo(m.c.m.) • Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: 3x5y2, 18x2yz6y9y3 El m.c.m. entre: es:18x5y3z6 Ejemplo 2: x4y2z3 , x2y , xy6z El m.c.m. entre: es:x4y6z3

32. Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: x2 + x x2 + 2x +1 y (x +1)2 x(x +1) Factorizando... x(x +1)2 m.c.m. :

33. 4. Máximo común divisor (M.C.D.) • Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: 3x5y2, 18x2yz6y9y3 El M.C.D. entre: es:3y Ejemplo 2: a4b2, a5bcya6b3c2 El M.C.D. entre: es:a4b

34. Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x2 + x x2 + 2x +1 y Factorizando... (x +1)2 x(x +1) (x +1) M.C.D. :

36. P: edad de mi padre Q: mi edad Ejercitemos ¿Cómo se resuelve correctamente? • “La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q • aumentada en 5 años” se puede expresar como Sea: Luego, el enunciado se puede expresar como P = 3(Q + 5)

38. Responsables: Prof. Isaías Correa M Prof. Rodrigo González P.