吉林大学远程教育课件

1. 吉林大学远程教育课件 离散数学 (第十二讲) 主讲人: 杨凤杰 学 时：64

2. 第三章 谓词逻辑 §3.1 谓词逻辑的基本概念 3.1.1 谓词和量词 命题逻辑研究的基本元素是命题。 命题是有真假意义的一句话，而 对这句话的结构和成分是不考虑 的。 因此，用这样简单的手段，很多思维过程不能在命题逻辑中表达出来。 例如，逻辑学中著名的三段论： 凡人必死 张三是人 张三必死 在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。

3. 因为，如果用P代表 “凡人必死” 这个命题，Q代表 “张三是人”这 个命题，R代表 “张三必死”这个 命题，则按照三段论，R应该是P 和Q的逻辑结果。但是，在命题 逻辑中， R却不是P和Q的逻辑结果，因为 公式 PQR显然不是恒真的，解释 {P，Q，R}就能弄假上面的公式。

4. 发生这种情况的原因是：命题逻 辑中描述出来的三段论，即PQR， 使R成为一个与P，Q无关的独立命题。 因此，取解释时，可将P，Q取真， R取假，从而弄假公式PQR。 但是， 实际上命题R是和命题P，Q有关系的， 只是这种关系在命题逻辑中无法表示。因此，对 命题的成分、结构和命题间的共同特性等需要做 进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研究的问题。 为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引 进谓词的概念。在谓词演算中，可将命题分解为 谓词与个体两部分。例如，在前面的例子“张三 是人”中的“是人”是谓语，称为谓词，“张三”是 主语，称为个体。

5. 定义3.1.1 可以独立存在的物体称为 个体。（它可以是抽象的，也可以是 具体的。） 如人、学生、桌子、自然数等都可以 做个体。在谓词演算中，个体通常在 一个命题里表示思维对象。 定义3.1.2设D是非空个体名称集合，定义在Dn 上取值于{1，0}上的n元函数，称为n元命题函数 或n元谓词。其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。 一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元 谓词描述两个或多个个体间的关系。0元谓词中 无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括 命题逻辑。

6. 于是，用谓词的概念可将三段论 做如下的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。 则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三) 那么，在命题逻辑的基础上，仅仅引进 谓词的概念是否就可以了呢?下面的例子 说明，仅有谓词还是不够的。例如我们 想得到 “命题”P的否定 “命题”，应该就 是“命题”P。

7. 但是， P=(H(x)M(x)) =(H(x)M(x)) =H(x)M(x) 亦即，“命题”P的否定 “命题”是 “所有人都不死”。这和人们日 常对命题 “所有人都必死”的否 定的理解，相差得实在太远了。其原因在于，命题P的确切意思应该是： “对任意x，如果x是人，则x必死”。 但是 H(x)M(x)中并没有确切的表示出 “对任意x”这个意思，亦即H(x)M(x)不是一个命题。因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进 “对任意x”这个语句，及其对偶的语句 “存在一个x”。

8. 定义3.1.3语句 “对任意x”称为 全称量词，记以x；语句 “存在 一个x”称为存在量词，记以 x。 这时，命题P就可确切地符号化如下： x(H(x)M(x)) 命题P的否定命题为： P=(x(H(x)M(x))) =x(H(x)M(x)) 亦即 “有一个人是不死的”。这个命题确实是 “所有人都要死”的否定。

9. 有了谓词和量词的概念，就可以 建立起谓词逻辑了。三段论的三 个命题，在谓词逻辑中是如下这 样表示的： P：x(H(x)M(x)) Q：H(张三) R：M(张三) 以后可以证明：在谓词逻辑中，R是P和Q的逻辑结果。

10. 设G(x)是一元谓词，任取x0D， 则G(x0)是一个命题。于是xG(x) 是这样一个命题 “对任意xD， 都有G(x)”。故对命题xG(x)的 真值做如下规定是自然的。 xG(x)取1值对任意xD，G(x)都取1值； xG(x)取0值有一个x0D,使G(x0)取0值。 类似地，xG(x)是命题 “存在一个x0D， 使得G(x0)成立”。对命题xG(x)的真值规 定如下： xG(x)取1值有一个x0D,使G(x0)取1值； xG(x)取0值对所有xD，G(x)都取0值。

11. 对于一个谓词，如果其中每 一个变量都在一个量词作用 之下。则它就不再是命题函 数，而是一个命题了。但是， 这种命题和命题逻辑中的命 题毕竟有所不同。因为终归这种命 题里还有变量，当然这种变量和命题函数中的变量还有区别。因此，使用量词时应注意以下几个问题 1.量词的论域，即D中都有那些元 2.在多重量词时,应注意量词的顺序； 3. 量词的作用域。

12. 3.1.2 改名规则 定义3.1.4 在一个由谓词，量词， 逻辑联结词，括号组成的有意义 的符号串 (实际是指下一节将严 格定义的公式)中，变量的出现说 是约束的，当且仅当它出现在使用这个变 量的量词范围之内；变量的出现说是自由 的，当且仅当这个出现不是约束的。 例如， x(P(x，y)Q(x，z))R(x)。 从左向右算起，变量x的第一，第二次出 现是约束的，第三次出现是自由的；变量 y，z的出现是自由的。

13. 定义3.1.5 变量说是约束的， 如果至少一个它的出现是约束的； 变量说是自由的，如果至少一个 它的出现是自由的。 由定义可以看出一个变量可以既 是约束变量又是自由变量。 例如，上例中的x既是约束变量，又是自 由变量；y，z只是自由变量。 显然，xG(x)与yG(y)的真值一样， xG(x)与yG(y)的真值一样，亦即，谓 词逻辑中的命题的真值，与命题中的约束 变量的记法无关。这就引出了谓词逻辑中的改名规则。

14. 在由谓词，量词，逻辑联结词， 括号组成的有意义的符号串 (实际是下节定义的公式)中， 我们可将其中出现的约束变量 改为另一个约束变量，这种改 名必须在量词作用区域内各处以 及该量词符号中实行，并且改成的新约束 变量要有别于改名区域中的所有其它变量。 显然改名规则不改变原符号串的真值。

15. 例如，对于x(P(x，y)Q(x，z))， 可改名为u(P(u，y)Q(u，z))。 但下面的改名都是不对的： a. u(P(u，y)Q(x，z)) b. x(P(u，y)Q(u，z)) c. u(P(x，y)Q(x，z)) d. y(P(y，y)Q(y，z)) e. z(P(z，y)Q(z，z)) 因此，在谓词逻辑中的一个表达式里，我们总可以通过改名规则，使得该表达式中所有的约束变量都不是自由变量，于是所有的自由变量也都不是约束变量了。以后的讨论，我们总是在这种假定下进行。