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第 1 2 讲 教育和增长：附加人力资本的索罗模型

高级宏观经济学导论 : 增长和商业周期. 第 1 2 讲 教育和增长：附加人力资本的索罗模型. 导言. 索罗模型的稳态预测 , 蕴含了如下的回归方程 : 其中 应该大约在 ½ 左右 . 86 个国家的横截面 OLS 估计为 : 这个方程有很多好的性质，但是 的估计值相对于模型预测值太大（考虑不确定性后也是这样） . 看起来 , 和 在现实生活中对于 的作用大于索罗模型稳态的理论预测. 索罗模型的收敛预测 , 蕴含了如下的回归方程 : 90 个国家横截面 OLS 估计为 :.

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第 1 2 讲 教育和增长：附加人力资本的索罗模型

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  1. 高级宏观经济学导论: 增长和商业周期 第12讲 教育和增长：附加人力资本的索罗模型

  2. 导言 • 索罗模型的稳态预测,蕴含了如下的回归方程: 其中 应该大约在 ½ 左右. 86 个国家的横截面OLS估计为:这个方程有很多好的性质，但是 的估计值相对于模型预测值太大（考虑不确定性后也是这样）.看起来, 和 在现实生活中对于 的作用大于索罗模型稳态的理论预测.

  3. 索罗模型的收敛预测,蕴含了如下的回归方程:90 个国家横截面OLS估计为:

  4. 我们有如下两个估计的收敛速度: • 理论值: 至少为 ! • 实证值:给定 的估计值 和 ，这意味着实证结果并没有与收敛性相矛盾, 但是现实中的收敛比索罗模型预测的要慢.

  5. 人力资本 • 是否有方法修正索罗模型同时解决这两个实证问题? • 是的: Mankiw, Romer, Weil: ”A Contribution to the Empirics of Economic Growth”, QJE, 1992 (MRW). • 回忆一下索罗模型的收敛速度是: . 更大的 导致更小的 : 资本积累需要时间. 如果我们能够增加 … 不过 , 因为劳动收入份额大约为 . • 如果存在另一种资本，其自身产出弹性为 ，与物质资本积累方式相同, 不过，其收入份额增加给工人, 那么: • 收敛变得更慢 (因为 ) 同时 ”劳动份额” 仍然是 (因为仅仅有份额, , 不会归于工人).

  6. 人力资本: 劳动力训练方面积累的存量: 教育, 上期生产和收入等. • 假设人力资本与物质资本积累方式相同 : 每年中 GDP 的一个固定比率用于人力资本投资. 那么, 人力资本积累就会与物质资本积累相同的方式影响收敛速度. • 人力资本不能与工人分离. 我们可以将一个人与计算机分离, 但是不能与他的教育分离. 因此, 人力资本回报属于工人. 这使得 ”劳动收入份额” 不变，即使一种新的资本在积累. • 看起来人力资本能够帮助解决索罗模型的收敛问题.

  7. 对于索罗模型的稳态预测怎么样? • 考虑物质资本投资率上升 (目前称为 ). 通过人所共知的渠道，这增加了稳态时候的人均资本和人均收入. • 当人力资本投资也有一个固定比率的时候, 人均收入更高意味着人均人力资本投资更多，最后，稳态的时候具有更多的人力资本. 因为人力资本的生产性，人均收入将超过没有人力资本的时候. • 看起来, 人力资本也可以帮助解决投资率对于 人均 GDP 的问题. • 因此, 引入人力资本可以帮助解决索罗模型的所有实证问题. • 进一步，增加人力资本本身也是对模型的一个改进，因为，根据直觉，工人的技能一定是一种重要的投入要素.

  8. 包含人力资本的索罗模型 • 与索罗模型的微观世界或多或少地相似. • 同样的参与人: 一个代表性厂商和一个代表性消费者 (一个可能存在的政府部门). • 不过， 厂商在生产中使用人力资本，同时 • 消费者也积累人力资本. • 产出用于消费，物质资本投资或者人力资本投资. 仍然只有一个生产部门. • 同样的市场: 产出和 物质资本与劳动(服务).

  9. 没有人力资本服务的单独市场，因为人力资本与劳动相连，其服务销售不能与劳动分离.没有人力资本服务的单独市场，因为人力资本与劳动相连，其服务销售不能与劳动分离. • 劳动市场交易的服务不再是”原始劳动”的人-年, 而是附加了人力资本的人-年. 实际工资是原始劳动补偿和人力资本回报的组合. • 工人的数量, 劳动力, 是 . 每个工人拥有相同的人力资本, . 经济中的人力资本总量为 • 原始劳动投入, , 不能脱离人力资本投入单独变化. 人力资本投入, , 与 成比例, 因为，每个工人拥有 . 这是与物质资本的一个重要不同. • 我们现在可以描述经济中的新要素.

  10. 包含人力资本的生产函数 • 规模报酬不变，对于 : 复制观点. • 人均生产函数: • 如果计算劳动的边际产品, 我们需要考虑工人伴随着人力资本, . 因此, , 而不是 , 应该看做给定的，当我们对于 进行微分的时候.

  11. 回想 资本和劳动的回报率分别计算如下: • 可以看出 和 : 工人得到了人力资本回报. • 和往常一样, 实证观察表明 , 不过也有 (可能不太稳健) , 或者更大: 美国制造业的平均或者最低工资率.

  12. 消费者资本积累 • 和前面一样, 的每一个消费者无弹性供给一个单位的劳动，同时 • 消费者数量增长率为常数, , • 所有的物质资本, , 只要 就会进行供给. • 类似于一般的索罗模型, 代表性消费者需要给定 时候决定 , 这决定了 . • 但是，现在消费者也需要决定如何配置总储蓄, , 分别进入物质资本总投资 ,和人力资本总投资 .

  13. 给定 和 :对于物质资本和人力资本，我们假设了相同的折旧率 • 对于 和 的限制为: • 我们假设消费者考虑的结果产生了标准的索罗假设: • 因此

  14. 附加人力资本的完整索罗模型 • 参数: • 给定 模型决定序列

  15. 运动规则 • 定义: • 从 我们得到 • 重新写下资本积累方程: • 两边除以 得到:

  16. 代入 得到 转移方程: • 运动法则: 关于 和 的两维一阶差分方程. 给定 和 决定了 和 . • 没有简单的图形方式描绘收敛向稳态的过程. 我们将要表明: • 存在良好定义的稳态. • 数值模拟表明对于合理的参数值将收敛到稳态. • 收敛对于稳态周围的线性近似依然成立.

  17. 两边减去 和 , 得到 索罗方程: • 这是另一种表示运动法则的方式. • 每个都有一个索罗方程的解释: • 左手边是人均资本增加量. • 右手边包括人均有效劳动投资和人口增长、技术增长和折旧的资本替换.

  18. 稳态 • 在稳态, : • 解出 和 产生稳态值: • 将这些代入 得到:

  19. 那么,从 , 稳态增长路径: • 取对数产生: • 对于如下变量的弹性: • 为 , 在索罗模型中为 . 现在大约为 1, 以前大约为 ½. • 为 , 这大约为1. • 为 , 在索罗模型中为 , 现在大约为 -2, 以前大约为 -½. 这些特征正是我们推测和希望的.

  20. 对于稳态的实证 • 上述方程表明如下的回归方程: • 我们利用 , 和 的跨国数据. 呢?

  21. 77国横截面OLS估计: • 非常大的 , 但是更重要的, 和 意味着: • 当 , 有 . 这位于95%的置信区间内. • 如果 我们应该有 . 这恰好位于估计值的两个标准差之内! • 或者: • 一个相当好的估计! 即使我们假设所有国家的 都一样.

  22. 稳态的结构政策 • 和 对于 的效果与索罗模型在性质上 相同, 不过 数量效果 更强、更现实. 同时 比 有更强的效果! • 的效果与 的效果相同. 黄金规则:

  23. 政府应该通过补贴教育促进教育投资 (直到黄金律)吗? • 注意: 这在很多西方发达国家是现实发生的. • 同时注意: 实证表明人力资本投资 (至少) 和物质资本投资一样重要. • 这意味着物质资本投资补贴和人力资本投资补贴一样好还是一样不好? • 来自福利经济学的一般观点:当（且仅当）私人决策不能导致最优社会后果时候干预. • 政府补贴应该来自对于市场失灵的补救.

  24. 一些市场不完美指出应该进行补贴: • 信贷市场不完美 (逆向选择问题) • 保险市场不完美 (道德风险问题) • 外部性. • 不完美的私人信息. • 另一个教育补贴的动机来自于收入分配, 例如补偿不利的财产继承.

  25. 收敛 回忆索罗方程: • 从这个方程组可以定义稳态: , , 这也意味着一个人均收入的稳态增长路径, . • 索罗方程也意味着: • 我们利用这些构造:

  26. 附加人力资本索罗模型的相图

  27. 相图中的比较分析 • 增加向上移动 . 最初, 仅仅有 增加, 然后 也开始上升. • 如何影响 和 ? 增长率跳跃!

  28. 稳态的稳定性 • 在前面我们看到模型的稳态预测与实证结合良好，同时提供了有趣的政策含义. 同时稳态展现了平衡增长: • 和 是常数 和 增长率为常数, . • 增长率也是常数, . • 是常数. • 不过我们还不知道模型是否意味着向稳态的收敛. 我们将: • 利用数值模拟表明收敛. • 利用稳态点附近的线性近似表明收敛的分析解. 这同时给出了模型真实预测的收敛方程. 计算收敛速度, 检验收敛方程, 估计现实中的收敛速度.

  29. 模拟 • 令 和 . • 在稳态: 和 . • 初始点为 和 , 利用转移方程模拟: • 结果如下面的相图:

  30. 线性近似 • 写下转移方程的一般形式:其中 和 . • 在“稳态”附近线性化第一个方程: • 利用 得到:

  31. 两个方程的线性化系统:

  32. 从 我们得到 . 第一个方程乘以 第二个方程乘以 , 两个方程相加: • 图形表明收敛: 当 .

  33. 收敛速率 • 重写上面的差分方程得到: • 在索罗模型中, 收敛速度是 . • 根据实证观察( 等), 应该大约为 2.5% (在索罗模型中为 5%). 这是引入人力资本的一个动机: 降低理论预测的收敛速度.

  34. 检验收敛方程，估计 • 与索罗模型中同样的差分方程意味着同样的解: • 代入 和 得到 收敛方程:

  35. 收敛方程表明回归方程: • 80个国家横截面的OLS估计为: • . 代入 和 得到 . 不确定性: 95% 的置信区间是从 0.8% 到 2.3%. • 进一步, 和 可以意味着: 和 . • 图形说明收敛过程:

  36. 无条件 • 依赖于 和 n • 依赖于 和 n

  37. 结论 • 附加资本的索罗模型与实证吻合相当完善, 其稳态预测和收敛预测都是这样, 即使我们假设所有国家的技术水平和技术增长率相同. • 这使得我们对于政策含义有了信心! • 不过, 重要的参数没有解释, 例如 和 。 • 具体来看, 技术进步率, , 决定了长期人均 GDP 增长率的变量没有得到解释: ”我们几乎理解了所有事情，但是也几乎什么也没有理解!”. • 这些批评性观点指向了内生增长理论.

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