电磁场理论电子教案 ( 第一章场论 )

电磁场理论电子教案 (第一章场论) 制作者：李志刚辽宁科技大学电信学院

§1.1矢量分析 §1.1.1 矢量场和标量场一、基本概念只有大小没有方向的量，也称为数量。 1、标量：既有大小又有方向的量，也称为向量。 2、矢量： 3、场：如果空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定的值，我们就说在这空间里确定了该物理量的场。场是一个标量或矢量的位置函数（空间），即场中任意一个点都有一个确定的标量值或矢量。场由场源产生，分为源点和场点。

4、标量场： 在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。 5、矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。二、矢量描述方式矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。文字，单位矢量，各坐标轴分量。

三、场图 1、意义：研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义，使抽象的概念具体化。使原来看不见的东西现在看的见了。 2、标量场的场图表示对于标量场，用等值面图（或者等值线）表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。即其数学表达式为：H(x,y,z)=const。

3、矢量场场图表示 对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。四、结论：借助标量和矢量，特别是标量线和矢量线可以形象地将场的特性描绘出来。

§1.1.2 矢量代数 一、求和差 1、作图法：遵循四边形法则 2、分量法：二、求点积 1、公式： 2、特点：

三、求矢积 1、公式： 2、特点：四、矢量代数的微分公式

一、方向导数的概念（顾名思义，就是一个物理量在各方向的变化率）一、方向导数的概念（顾名思义，就是一个物理量在各方向的变化率）从标量场u(x,y,z)中任一点M0出发，引一条射线L，在L上任取一点M，用L表示M0到M的距离，则u＝u(M)-u(M0)。当沿着L，M→M0时，的极限存在，则称此极限值为函数u(M)在点M0处沿 L方向的方向导数，记为 §1.2 标量场的梯度 §1.2.1 方向导数二、方向导数的物理意义是标量场函数u(M)在一点M0处沿某一方向L对距离的变化率，它反映了函数u(M)沿L方向增减快慢的情况。

三、方向导数的计算公式 在直角坐标系中，设标量函数u(x,y,z)在点M0（X0,Y0,Z0）处可微，则函数u在点M0处沿L方向的方向导数存在。表达式为其中（α，β，γ为该射线分别与x,y,z轴的夹角，cosα,cosβ,cosγ为L方向的方向余弦）。

L方向的单位矢量表示为： 即：。即L方向的方向余弦是L方向的单位矢量在相应的坐标轴上的投影。如令矢量，则对于，令θ表示矢量与单位矢量之间的夹角，根据矢量点积的计算式可得。随着L方向的变化，θ发生变化，方向导数值也随之变化。当L方向与方向一致时，方向导数达到最大，最大的方向导数为G（G为矢量的模）。 §1.2.2 标量场的梯度（Gradient）一、梯度定义

如果在标量场中任一点M处，存在矢量 ，其方向为场函数u(x,y,z)在M点处变化率最大的方向，其模|G|是这个最大变化率的值，则称矢量为标量场u(X,Y,Z)在点M处的梯度。表示方法为：gradu= §1.2.2 标量场的梯度（Gradient）二、梯度物理意义标量的梯度表示了标量u增加率的最大值及方向。由梯度的定义和物理意义可以得出梯度是一个矢量。

算子本身并无意义，而是一种微分运算符号，同时有被看作是矢量。它既是一个矢量,又对其后面的量进行微分运算（二重包括转变矢量和进行一阶微分）。因而矢量微分算符符合矢量的标量积和矢量积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再做微分运算。对于u，先分三个方向分量，然后再对X,Y,Z分别求偏导数。由此可见，标量函数的梯度是在空间某点矢量函数沿三个坐标轴方向变化率的矢量和，亦即梯度是标量场的最大空间变化率矢量。梯度方向是其变化率最大的方向，它的模或其大小表示该函数的最大空间增加率。三、梯度的计算公式

四、小结 • 梯度运算是分析标量场的工具。梯度是描述标量场中任一点函数值在该点附近增减性质的量。标量场的每一点都有一个梯度，如果我们把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来，就得到一个矢量场，称为由此数量场产生的梯度场。标量场的梯度是矢量场。

§1.2.3 梯度与方向导数的关系 一、两者关系 ①梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。 ②标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影。 §1.2.4 梯度的运算公式 • 一、gradC=0 (C为常数)常数即向任何方向都不发生变化，其导数（变化率）为零 • 二、grad(Cu)=Cgradu • 三、grad(u±v)=gradu±gradv • 四、grad(uv)=ugradv+vgradu

课堂回顾 一、方向导数的概念和计算公式；二、标量场梯度的概念和计算公式；※ 三、方向导数和梯度的关系。※

§1.3 矢量场的通量和散度 §1.3.1 矢量场的通量一、面元矢量 1、定义在双侧曲面选定某一侧。选定了一侧的双侧曲面称为定向曲面。定向曲面上很小的面积单位称为面积元，考虑到向内和向外，给面积元定义一个方向就称之为面元矢量，它有以下两种情况：图1.3.1 a 开表面面元图1.3.1 b 闭合表面面元

矢量沿一有向曲面的面积分为通过 的通量，记做若Φ＝，则有  = 0 (无源) < 0 (有负源)  > 0 (有正源) 二、通量 1、定义 2、物理意义：矢量通过闭合面的通量是反映闭合面内源性质的物理量。图1.3.2 矢量场的通量

在矢量场 中，围绕P点做一闭合面，所围体积为ΔV，若垂直穿过闭合面的通量与ΔV之比的极限存在，则该极限称为矢量场在P点的散度。即散度(divergence) 二、散度的物理意义：矢量的散度是通量的体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。设矢量场的各分量在闭合曲面S 所围区域内有一阶连续偏导数，则有或 §1.3.2散度和散度定理一、散度定义：三、散度定理（高斯公式：Gauss公式）

§1.3.3散度定理示意图

1、div(C )=Cdiv( ) (C为常数) 2、div( ± )=div ±div 3、div(u )=udiv +gradu · （u为线性函数）四、散度表示法 1、哈密尔顿算子：两重运算，分别是求微分和变矢量运算。将这个算子与一个标量结合，将其定义为该标量场的梯度。同样，当用这个算子与矢量相结合时，可以认为是两个矢量之间的运算，矢量之间运算分两种情况，点积和叉积。这里就将哈密尔顿算子与一个矢量的点积定义为矢量的散度。五、矢量计算公式六、结论 1、通量是描述一个闭合面内整体源性质的物理量 2、散度是描述一个闭合面内某一点的源性质的物理量七、散度的运算公式

课堂回顾 一、掌握通量的定义；二、掌握散度和散度定理；※ 三、掌握散度计算公式。※

§1.4矢量场的环量和旋度 §1.4.1 矢量场的环量一、定义：矢量沿空间有向闭合曲线L的线积分，称为矢量按所取方向沿曲线L的环量。数学公式为：二、物理意义矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。从图中可以看出，当矢量A沿曲线L的弯曲程度越大，即沿曲线L的分量越大，则积分值越大，所以环量表示绕线旋转趋势的大小。

三、环量面密度 1、定义：过点P作一微小曲面dS，它的边界曲线记为dL，面的法线方向与曲线绕向满足右手螺旋法则。当dS点P时，存在极限 2、结论：由上式可以看出，当积分路径取不同的路径，其环量密度不同。我们此时要关注环量面密度的何种问题？

§1.4.2 矢量场的旋度 一、定义：若在矢量场A中一点M处存在矢量R，它的方向是A在该点环量面密度最大的方向，它的模就是这个最大的环量面密度，则称矢量R为矢量场A在点M的旋度。记为rotA（rotation）或者记为CurlA，且有二、物理意义矢量的旋度是环流面密度的最大值，方向与面元的取向有关，即为得到最大极限值时面元矢量S的法线方向。

例1-4-1 已知 =a( ),a为常数,求rot 三、计算公式

设矢量场 的分量在空间区域中有一阶连续偏导数，闭合回路为曲面的边界，与成右手螺旋关系，则四、斯托克斯定理（Stokes）证明思路：用定义构造特殊曲面分矩形消多余项

五、结论： 旋度在曲面法线方向的投影就是沿法线方向的环量面密度（与梯度、散度哪个性质相似）。将此面密度进行面积分就得到这个曲面上的环量，也就是矢量沿曲面边界的线积分。斯托克斯定理的意义在于给出了闭合曲线积分与面积分的等价互换关系。（一重积分和二重积分）

课堂回顾 一、掌握环量的定义；二、掌握旋度概念和斯托克斯定理；※ 三、掌握旋度计算公式。※

阶段小结：已经学习了三个重要的基本概念。（三个度）阶段小结：已经学习了三个重要的基本概念。（三个度）梯度、散度和旋度。梯（度）子要散（度）架，请把螺丝旋（度）紧。梯度：针对标量场，求标量场各点的最大变化率大小及其方向散度：针对矢量场，求闭合面通量体密度。揭示极小闭合面内（即空间各点）场的发散源的情况。旋度：针对矢量场，求环量最大面密度。揭示场的旋涡源的情况。

哈密尔顿算子定义为： §1.5 哈密尔顿算子及矢量恒等式 §1.5.1 哈密尔顿算子一、在直角坐标系中定义：它是一个矢量形式的微分算子，兼有微分运算和矢量运算的双重作用。它本身既不是一个函数，又不是表示某个物理量，它表示的只是一种运算。当它以一定方式作用于空间函数（标量函数或矢量函数）时，所得的矢量或标量空间函数才具有一定的意义。

二、哈密尔顿算子的作用规则 1、算子直接作用于标量函数，得矢量函数 2、以点积方式作用于矢量函数，得标量函数 3、以叉积方式作用于矢量函数，得矢量函数三、结论：算子具有矢量的形式，但不是完整的矢量，故A与A不同。前者为一个标量，后者为一个算子。

²＝·＝（ ）•（）＝ 1、当需要求一个矢量函数的散度，而该矢量函数又是一标量函数的梯度时，就会用到此算子，即 §1.5.2、拉普拉斯算子（Laplace）在场的研究中，还常常用到二阶微分算子²（或者用△表示），称其为拉普拉斯算子。一、定义二、应用场合 2、拉氏算子做为一个整体，也可以作用于矢量函数，即

§1.5.3 算子常用运算公式 三、▽╳（▽u）=0（标量场的梯度场为无旋场）四、▽·（▽╳A）=0（矢量场的旋度场为无散场）

八、▽·（A╳B）=(▽╳A)·B - A·(▽╳B) 九、A╳（B╳C）＝(A·C)B-(A·B)C

§1.6 亥姆霍兹定理 一、定理内容位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。说明：当边界条件一定时，如果区域内任一点的散度和旋度已被确定，则该点的向量被唯一确定。

二、定理证明（何种方法？） 证明：先假设对于矢量场F在某点处存在两个不同的解F1和F2都满足亥姆霍兹定理条件，则有▽•F1＝▽•F2，▽╳F1＝▽╳F2 移项合并得：▽•（F1－F2）＝0，▽╳（F1－F2）＝0 设F3=F1－F2，则有：▽•F3＝0，▽╳F3＝0 在边界上已知矢量的法线分量或者已知矢量的切线分量，即在边界点已知矢量的切线分量或者法线分量，因为此时只有一个确定的值，所以在该点有F1n=F2n，或者F1t=F2t，但F1和F2没有相等关系，写成向量形式为F3•en＝0或者F3╳en＝0

（1）针对第一种边界条件，若已经条件为F3•en＝0，则根据▽╳F3＝0，可以设F3＝▽。将其代入▽•F3＝0中，有▽²＝0，即满足拉氏方程。（原因？）（1）针对第一种边界条件，若已经条件为F3•en＝0，则根据▽╳F3＝0，可以设F3＝▽。将其代入▽•F3＝0中，有▽²＝0，即满足拉氏方程。（原因？）将上式代入恒等式▽•（▽）＝▽²＋|▽|²,有▽•（▽）＝|▽|²，在整个场域内积分，并利用散度定理，得得▽＝0，因此有F3＝0，即F1=F2 即F被唯一确定。

（2）针对第二种边界条件，若已知▽╳F3＝0（证明过程同上）（2）针对第二种边界条件，若已知▽╳F3＝0（证明过程同上）结论：亥姆霍兹定理表明，在一定的边界条件下，空间矢量场由它的散度和旋度唯一地确定。换言之，对于一个矢量场，若它是无旋场，则它的散度不能处处为零（为何？），否则这个场就不存在；若矢量场是无散场（散度处处为零），则矢量场的旋度也不能处处为零。

§1.7 常用坐标系中的有关公式 一、直角坐标系 1、基本概念

2、算子公式

二、圆柱坐标系 1、基本概念单位矢量：线段元：说明在方向的分量为一段弦，在微元情况下，弦长等于弧长。弧长＝rd 面积元：体积元：dV＝rddrdz 说明面积为rdαdr，高度为dz

三、球坐标系 1、基本概念单位矢量：，，线段元：dl＝dr +rdθ +rsinθdф 方向直接为dr；在方向的分量弦长，等于弧长为rdθ；在方向的分量为ρdф，又因为ρ＝rsinθ,所以分量＝rsinθdф 面积元：dS＝r²sinθdθdф +rsinθdrdф +rdrdθ 体积元：dV＝r²sinθdrdθdф 说明面积为r²sinθdθdф，高度为dr

场标量场矢量场标量(函数) 矢量(函数) 方向导数(标量) 梯度(矢量) 旋度(矢量) 通量(标量) 散度(标量) 环量(标量) 包围单位体积闭合面通量最大环量面密度最大方向导数散度定理旋度定理高斯公式斯托克斯公式场论知识结构图

场论中重要公式 • 一、标量场 • 1、方向导数： • 2、梯度： • 二、矢量场 • 1、通量： • 2、环量： • 3、散度：＝ • 4、旋度： • 5、矢量场基本方程 • ① 高斯公式微分形式（散度定理）： • ②斯托克斯公式微分形式（旋度定理）：

电磁场理论电子教案 ( 第一章 场论 )