第十二章动量定理

第十二章动量定理 沈阳建筑大学侯祥林

第十二章动量定理 第十二章引言 §12-1 动量与冲量 § 12-2 动量定理动量定理例题 §12-3 质心运动定理质心运动定理例题

第十二章动量定理 用质点动力学微分方程分析质点系动力学问题，可以逐个质点列出动力学基本方程，联立求解困难。用动力学普遍定理，即：动量定理动量矩定理动能定理从不同侧面提出质点和质点系的运动变化与其受力之间的关系，尤其求解质点系动力学问题，很方便。 ×

§12-1 动量与冲量 机械运动量的度量  动量物体之间的机械运动的相互传递： • 球拍击球； • 铁锤打击锻件； s • 物体在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。 • 例如：枪弹质量虽小，但速度很大，对障碍物可以产生很大的冲击力； • 轮船靠岸时，速度虽小，但质量很大，操纵稍有疏忽，足以将船撞坏。 ×

量纲动量的单位，在SI 国际单位制中为: • 用质点的质量与速度的乘积，来表征质点的这种运动量。 • 质点动量定义为：质点的质量与速度的乘积；记为mv。 • 动量是矢量； • 方向：与质点速度的方向一致。 • 大小： mv • 质点系动量: • 质点系内各质点动量的矢量和 n为质点数；mi为第i个质点的质量，vi 为质点的速度。矢量和又称为主矢: 质点系的动量等于质点系动量的主矢。 ×

质点系动量分析 由质点系质量中心（简称质心）C的矢径为：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。质点系的动量反映出其全部质点随同质心一起平动的一个侧面。 ×

细杆质心的速度： 细杆动量为：滚轮动量为：滚轮动量为：长为l、质量为m的均质细杆，在平面内绕O点转动，角速度为ω 方向与vC相同。均质滚轮，质量为m，质心速度为vC 方向与vC相同。均质滚轮，质量为m，以角速度为ω定轴转动，质心速度为0 ×

力在某段时间内的积累作用效果  冲量物体在力的作用下引起的运动变化：（1）与力的大小和方向有关；（2）与力作用时间的长短有关。例如人们推车厢沿铁轨运动，当推力大于阻力时，经过一段时间，可使车厢得到一定的速度；如改用机车牵引车厢，那么只需很短的时间便能达到人推车厢的速度。 ×

当作用力为常量时，用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用，定义为冲量。当作用力为常量时，用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用，定义为冲量。 1）常力的冲量：作用力与作用时间的乘积。表示为： 2）变力的冲量：作用力F(t)在作用时间dt内的元冲量 Fdt 在时间t内的矢量积分。表示为：国际单位制中冲量的单位：N . s 冲量的量纲：冲量与动量的量纲是相同 ×

§ 12-2 动量定理 1. 质点的动量定理质点动量定理的微分形式: 上式积分，积分上、下限取时间由0到t，速度由到v0到v，得: ×

2. 质点系的动量定理 根据质点的动量定理: 将n个方程两端分别相加 ×

质点系质点相互作用的内力总是大小相等、方向相反地成对出现，相互抵消质点系质点相互作用的内力总是大小相等、方向相反地成对出现，相互抵消由质点动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和 ×

质点系动量定理的微分形式 质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和质点系的内力不能改变质点系的动量 ×

动量定理是矢量式，在应用时在直角坐标系取投影形式动量定理是矢量式，在应用时在直角坐标系取投影形式微分形式投影积分形式的投影 ×

应用动量定理解题的步骤 • 1）取研究对象 • 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； • 3）运动分析，表达动量； • 4）应用质点或质点系动量定理的微分形式和积分形式列出运动和力关系 • 5）求解未知力，然后应用质心运动定理求未知力。 ×

例 1 一个网球质量为 0.125 kg, 飞来的初始速度为v0=2.5j-2k m/s, 球拍施加变力为F=1.0 ti N，作用时间为 0.5s后，网球飞回，求飞出时的速度。解： 1) 取网球为研究对象 2）力分析外力有重力mg , F 3）运动分析网球初始动量： s 网球末动量： 4）质点动量定理 ×

选题 ×

例 2 电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为m1，转子质量为m2，如图所示。设定子的质心位于转轴的中心O1，由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e。已知转子匀速转动，角速度为ω。求基础的支座反力。解： 1) 取电动机外壳与转子组成质点系 2）受力分析外力有重力m1g , m2g ,基础的反力 FxFy ,Mo 3）运动分析机壳不动，质点系动量就是转子的动量，大小：动量方向如图 ×

4）由动量定理的投影式 代入上式，解出基础的反力 ×

静反力：电机不转时，基础只有向上的反力； 动反力：电机转动时的基础反力；附加的动反力：动反力与静反力的差值选题 ×

例3 水流流经截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的，流动是稳定的。qv.为流体在单位时间内流过截面的体积流量，ρ为密度，求流体对管壁的作用力。 • 解： • 1) 从管中取出所研究的两个截面aa 与bb之间的流体作为质点系。 • 设经无限小的时间间隔dt，这一部分流体流到两个截面a1a1与b1b1之间。 • 质点系在时间dt内流过截面的质量： 2) 作用于质点系上的外力有：均匀分布于体积aabb内的重力P，管壁对于此质点系的作用力F，以及两截面aa和bb 上受到的相邻流体的压力Fb和Fa。 ×

3) 时间间隔dt内质点系动量的变化 4)应用动量定理 ×

如图为一水平的等截面直角形弯管。当流体被迫改变流动方向时，对管壁施加有附加的作用力。如图为一水平的等截面直角形弯管。当流体被迫改变流动方向时，对管壁施加有附加的作用力。它的大小等于管壁对流体作用的附加动反力。流速很高或管子截面积很大时，附加动压力很大，在管子弯头处应该安装支座选题 ×

3. 质点系动量守恒定律 • 如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变 ×

例： • 在静水上有一只不动的小船，人与船一起组成一个质点系。当人从船头向船尾走去的同时，船身一定向船头方向移动。 • 子弹与枪体组成质点系。在射击前，动量等于零。当火药在枪膛内爆炸时，子弹在内力作用下获得向前的动量，同时气体压力使枪体获得向后的动量（反座现象）。枪在水平方向没有外力时，这个方向总动量恒保持为零。 ×

例4. 一个3 kg的炮弹以初始速度为v0=150 m/s,α=600, 在yz平面，在弹道峰点爆炸，分为两块弹片，其中1 kg的弹片在 t=35s时打到x=50m，y=2500m的地面。求： 2 kg的弹片落地位置；解：从炮弹打出到它达到最高点时间 1 kg的弹片从最高点到它落地经过时间 ×

略去重力，炮弹在爆炸前和爆炸后的动量在x，y， z方向守恒 ×

选题 ×

解：1) 取物块和小球为研究对象 2) 其上的重力以及水平面的约束反力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。细杆角速度：即细杆铅垂时，小球相对于物块的最大的水平速度： ×

物块绝对速度 3) 根据动量守恒条件 4) 物块的速度选题物块有向右的最大速度 ×

§12-3 质心运动定理 • 1. 质量中心质心的直角坐标投影式 • 质点系质心位置质心是质点系的一个特定点，在力的作用下，质心随质点系运动而运动。将质点系的质量集中在质心做为一个质点，此质点的动量就等于质点系的动量。 ×

2. 质心运动定理 质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积，动量定理微分形式可写成：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（即等于外力的主矢）。这个结论称为质心运动定理。 ×

质心运动定理说明：质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。质心运动定理说明：质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。 • 在爆破山石时，土石碎块向各处飞落，在尚无碎石落地前，所有土石碎块为一质点系，其质心的运动与一个抛射质点的运动相同，这个质点的质量等于质点系的全部质量，作用在这个质点上的力是质点系中各质点重力的总和。 • 根据质点的运动轨迹，可以在采取定向爆破时，预先估计大部分土石块堆落的地方。 ×

在汽车的发动机中，气体的压力是内力，虽然这个力是汽车行驶的原动力，但它不能使汽车的质心运动。在汽车的发动机中，气体的压力是内力，虽然这个力是汽车行驶的原动力，但它不能使汽车的质心运动。 • 汽车启动的原因：汽车发动机中的气体压力推动气缸内的活塞，经过一套机构转动主动轮，若车轮与地面的接触面足够粗糙，地面对车轮作用的静滑动摩擦力FA-FB 是使汽车的质心改变运动状态的外力。 • 如果地面光滑，或FA克服不了汽车的阻力FB，那么后轮将在原处转动，汽车不能前进。 ×

质心运动定理说明：质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。质心运动定理说明：质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。质心运动定理在自然轴上的投影式为：质心运动定理在直角坐标轴上的投影形式为： ×

质心运动守恒定律 如果作用于质点系的所有外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置始终保持不变。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴上的速度投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。 ×

应用质心运动定理解题步骤 • 1）取质点和质点系为研究对象； • 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； • 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； • 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； • 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速度，然后应用质心运动定理求未知力。 • 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点的运动规律相同。 ×

例6 均质曲柄AB长r，质量为m1，假设受力偶作用以不变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2，质心在点C。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的最大水平分力Fx。解：1) 选取整个机构为研究的质点系。 2) 作用在水平方向的外力有Fx和F 3) 计算质心的坐标对时间取二阶导数得到质心的加速度在x轴上的投影 ×

4) 质点运动定理在x轴上的投影式 选题 ×

例 7 电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为m1，转子质量为m2。设定子的质心位于转轴的中心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e。已知转子匀速转动，角速度为ω。求基础的支座反力。(质心定理）解：1) 取电动机外壳与转子组成质点系 2）力分析：重力m1g , m2g ,基础的反力 FxFy ,Mo 3）计算质心坐标和质心加速度 ×

4）质心运动定理 ×

例8 如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1，船长l，水的阻力不计。求船的位移。解： 1）取人与船组成质点系 2）因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影等于零， 3）质心在水平轴上的坐标保持不变。 4）取坐标轴如图所示。在人走动前，质心的坐标： ×

第十二章 动量定理