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1. 了解直接证明的两种基本方法 —— 分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 . 2. 了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法，了

1. 了解直接证明的两种基本方法 —— 分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 . 2. 了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法，了 解反证法的思考过程、特点. 1. 直接证明 (1) 综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 结论 ，这种证明方法叫做综合法 . ②框图表示： ( 其中 P 表示条件， Q 表示要证结论 ). 推理论证. 成立. (2) 分析法

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1. 了解直接证明的两种基本方法 —— 分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 . 2. 了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法，了

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  1. 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了 解反证法的思考过程、特点.

  2. 1.直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的，最后推导出所要证明的 结论，这种证明方法叫做综合法. ②框图表示： (其中P表示条件，Q 表示要证结论). 推理论证 成立

  3. (2)分析法 ①定义：从 出发，逐步寻求使它成立的直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明 方法叫做分析法. ②框图表示： 充分条件 结论

  4. 2.间接证明 反证法：假设原命题，经过正确的推理，最 后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法. 不成立 矛盾

  5. [思考探究] 　　综合法和分析法有什么区别和联系？ 提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程.

  6. 1.设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b大小关系为 () A.a>bB.a<b C.a＝b D.a≤b 解析：a＝lg2＋lg5＝1， ∵x<0，∴b＝ex<1， ∴a>b. 答案：A

  7. 2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、 b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 () A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除 C.a、b不都能被5整除D.a不能被5整除 解析：用反证法证明命题应先否定结论. 答案：B

  8. 3.设a，b∈R，已知p：a＝b；q：( )2≤ ，则p是 q成立的 () A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析：p：a＝b是q：( )2≤ 等号成立的充分条件. 答案：B

  9. 4.已知a，b是不相等的正数，x＝ ，y＝ ， 则x，y的大小关系是. 解析：∵y2＝( )2＝a＋b＝ ＝x2. ∴x<y. 答案：x<y

  10. 5.若a＞b＞c，则 的最小值是. 解析：由a＞b＞c，知a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0， 则 ＝2＋ ≥2＋2＝4. 当且仅当b－c＝a－b，即a＋c＝2b时，等号成立. 答案：4

  11. 综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”.

  12. 已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥ . [思路点拨]

  13. [课堂笔记]　∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz， z2＋x2≥2zx， ∴(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)≥2xy＋2yz＋2zx， ∴3(x2＋y2＋z2)≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx， 即3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1， x2＋y2＋z2≥ 成立.

  14. 1.分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分 析，逐渐地靠近已知. 2.用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是： 为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有 …… 这只需证明命题P2为真，从而有…… … 这只需证明命题P为真. 而已知P为真，故Q必为真.

  15. [特别警示]用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错.[特别警示]用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错.

  16. 已知a>0，求证： － ≥a＋ －2. [思路点拨]

  17. [课堂笔记]要证 － ≥a＋ －2，只要证 ＋2≥a＋ ＋ . ∵a>0，故只要证 ， 即a2＋ ＋4 ＋4≥a2＋2＋ ＋2 (a＋ )＋2，

  18. 从而只要证 2 ≥ (a＋ )， 只要证4(a2＋ )≥2(a2＋2＋ )， 即a2＋ ≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.

  19. 1.适宜用反证法证明的数学命题有： (1)结论本身以否定形式出现的一类命题； (2)关于唯一性、存在性的命题； (3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (4)结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题； (5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推 出结论的线索不够清晰.

  20. 2.用反证法证明问题的一般步骤为： (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否 定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理， 导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理 及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设” 的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立. (结论成立)

  21. [特别警示]　用反证法证明问题时要注意以下二点：[特别警示]　用反证法证明问题时要注意以下二点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的； (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.

  22. 已知a>0，b>0，且a＋b>2，求证： 中至少有一个小于2. [思路点拨]

  23. [课堂笔记]　假设 都不小于2， 则 ≥2， ≥2， ∵a>0，b>0， ∴1＋b≥2a,1＋a≥2b， ∴1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b. 这与已知a＋b>2矛盾，故假设不成立. 即 中至少有一个小于2.

  24. 以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等为载体，考查综合法、分析法、反证法的应用是高考对本节内容的常规考法.09年辽宁高考以立体几何为载体，以解答题的形式考查了反证法的应用，是一个新的考查方向.

  25. [考题印证] (2009·辽宁高考)(12分)如图， 已知两个正方形ABCD和DCEF不 在同一平面内，M，N分别为AB， DF的中点. (1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.

  26. 【解】(1)取CD的中点G，连结MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ .┄┄┄┄┄┄┄(4分) 因为平面ABCD⊥平面DCEF， 所以MG⊥平面DCEF.

  27. 可得MG⊥NG. 所以MN＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄(6分) (2)证明：假设直线ME与BN共面， 则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.┄(8分)

  28. 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.┄┄┄(10分)又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.┄┄┄(10分) 又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立. 所以ME与BN不共面，它们是异面直线.┄┄┄(12分)

  29. [自主体验] 已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝ an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数. (1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列； (3)设Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都是Sn>－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

  30. 解：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有 ＝a1a3，即( λ－3)2＝λ( λ－4)⇔ λ2－4λ＋9＝ λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，∴{an}不是等比数列. (2)证明：∵bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1 ( an－2n＋14)＝－ (－1)n·(an－3n＋21)＝ － bn.又λ≠－18∴b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0，∴ ＝－ (n∈N*).故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－ 为公比的等比数列.

  31. (3)当λ≠－18时，由(2)得bn＝－(λ＋18)·(－ )n－1，于是Sn＝－ (λ＋18)·[1－(－ )n]. 当λ＝－18时，bn＝0，从而Sn＝0，Sn>－12恒成立. 当λ≠－18时，要使对任意正整数n，都有Sn>－12， 即－ (λ＋18)·[1－(－ )n]>－12

  32. ⇔λ< －18. 令f(n)＝1－(－ )n，则 当n为正奇数时，1<f(n)≤ ； 当n为正偶数时， ≤f(n)<1. ∴f(n)的最大值为f(1)＝ . 于是可得λ<20× －18＝－6. 综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn>－12，λ的取值范围为(－∞，－6).

  33. 1.a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关 系中可能成立的是 () A.a>b>cB.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b

  34. 解析：由a2＋c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a＝2，c＝1，可得b＝ ，可知C可能成立. 答案：C

  35. 2.用反证法证明“如果a>b，那么 ”假设内容应是 () A. B. C. 且 D. 或< 解析： 的否定形式为 . 答案：D

  36. 3.要使 成立，则a，b应满足 () A.ab＜0且a＞b B.ab＞0且a＞b C.ab＜0且a＜b D.ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b

  37. 解析：要使 成立， 只要 成立， 即a－b－3 ＋3 ＜a－b成立， 只要 成立， 只要ab2＜a2b成立， 即要ab(b－a)＜0成立， 只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立. 答案：D

  38. 4.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在 平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y” 为真命题的是(填所有正确条件的代号). ①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为 直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z 为直线. 解析：由空间位置关系的判定及性质可知①③④正确. 答案：①③④

  39. 5.方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝ 有唯一 不动点，且x1＝1000，xn＋1＝ (n∈N*)， 则x2010 ＝.

  40. 解析：由 ＝x得ax2＋(2a－1)x＝0.因为f(x)有唯一不动点， 所以2a－1＝0，即a＝ . 所以f(x)＝ ，所以xn＋1＝ ＝xn＋ . 所以x2010＝x1＋ ×2009＝1000＋ ＝ . 答案：

  41. 6.若a、b、c是不全相等的正数， 求证：lg ＋lg ＋lg >lga＋lgb＋lgc.

  42. 证明：要证lg ＋lg ＋lg >lga＋lgb＋lgc成立， 即证lg( )＞lg(abc)成立， 只需证 ＞abc成立，

  43. ∴ ≥abc＞0(*)成立. 又∵a、b、c是不全相等的正数， ∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立.

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