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Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes

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Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes. Des enjeux complémentaires. Acquérir des outils mathématiques… Etre capable de les utiliser dans différents domaines, en autonomie Préparer la suite des apprentissages (collège…) Développer des compétences générales. Plan.

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des enjeux compl mentaires
Roland Charnay - 2007Des enjeux complémentaires

Acquérir des outils mathématiques…

Etre capable de les utiliser dans différents domaines, en autonomie

Préparer la suite des apprentissages (collège…)

Développer des compétences générales

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Roland Charnay - 2007Plan

Etat des lieux : quelques données sur les acquis des élèves

Analyse des difficultés

Pistes pour l’action pédagogique

quelques donn es
Quelques donnéesEtat des lieux

Roland Charnay - 2007

slide5
Roland Charnay - 2007

Evaluation sixième 2004

  • Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés).
  • Deux domaines particuliers de difficultés
    • le calcul mental
    • la résolution de problèmes
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Roland Charnay - 2007

Calcul mental – Evaluations CE2 et 6e

2004 : 28 % d'échec aux "questions de base"

priorit au calcul mental parmi tous les moyens de calcul
Roland Charnay - 2007Priorité au calcul mentalparmi tous les moyens de calcul

sous ses 2 aspects

  • Mémoriser des résultats et des procédures
  • Construire des résultats
la r solution de probl mes
La résolution de problèmes

Roland Charnay - 2007

evaluation 6 e 2003
Roland Charnay - 2007Evaluation 6e - 2003

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y a-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %

Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %

slide10
Roland Charnay - 2007

Procédures possiblesProblème des photos

  • Division par 6
      • Division (CM1)
  • Essais de produits par 6
      • Table de multiplication (CE2)
  • Addition de 6 en 6
      • Addition (CE1)
  • Schématisation des pages et des photos
      • Dénombrement (CP)
une question
Roland Charnay - 2007Une question

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…

ne pensent-ils pas…

n’osent-ils pas…

ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question?

comparaison internationale pisa 2003 deux points faibles caract ristiques
Roland Charnay - 2007Comparaison internationale (PISA 2003)Deux points faibles caractéristiques

"Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peudisponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants".

Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles".

Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006

slide13
Roland Charnay - 2007

Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure :

Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches.

Un exemple

julie va 6 e
Roland Charnay - 2007Julie (éva 6e)

Julie a acheté pour un goûter :

deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune

quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune

un sac de brioches.

Elle a payé 56 F.

Quel est le prix du sac de brioches ?

8 F x 6 F = 54 F

Le prix du sac de brioches est 2 F.

sch ma d analyse sommaire
Roland Charnay - 2007Schéma d’analyse sommaire
  • Connaissances
  • en lecture
  • sur le contexte
  • mathématiques
    • sens des notions
    • raisonnement
    • calcul
  • Connaissances
  • sur ce qui est attendu
  • sur ce qui est permis
  • sur ce qui marche souvent
  • sur "l'accueil" des erreurs
a la bonne place va ce2
Roland Charnay - 2007A la bonne place (éva CE2)

300

400

500

600

300

309

400

367

500

582

600

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

apprendre ce qu est chercher
Roland Charnay - 2007Apprendre ce qu’est chercher

Un mot à double sens

Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées

Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur

slide20
Roland Charnay - 2007

Exemples en GS

Exemple 1 : Résolution à l'aide du matériel

  • 24 objets, 6 pochettes
  • mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette
  • Contrainte supplémentaire : il doit y avoir tous les types de pochettes
  • Autre contrainte : même nombre d'objets dans chaque pochette

Exemple 2 : Résolution à l'aide du matériel

  • Trouver toutes les répartitions de 12 objets dans 3 pochettes
slide21
Roland Charnay - 2007

Aide à la prise de conscience du comportement de chercheur et de stratégies efficaces

  • Narration de recherche
    • Rédiger un compte-rendu de sa recherche, en décrivant toutes les idées, toutes les pistes, y compris celles qui n'ont pas abouti (IREM de Montpellier)
    • Faire des mathématiques, chest accepter de tâtonner, de faire des hypothèses, d'essayer, de se tromper, de corriger, de recommencer…
  • Mise en commun
    • Comprendre et discuter d'autres démarches
  • Synthèse sur des stratégies efficaces
    • Faire une hypothèse, la tester (pour voir)
    • Faire un schéma (pour comprendre, pour chercher)
    • Déduire de l'information d'un essai
    • Systématiser des essais…
aider l appropriation du probl me
Roland Charnay - 2007Aider à l’appropriation du problème

Plusieurs supports de présentation

Vécu

Dessin, schéma, document

Oral

Ecrit

Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est peu favorable, dans la phase d’apprentissage

slide23
Roland Charnay - 2007

Dix dans la boîte (Cap maths CP)

- deux joueurs

- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.

slide24
Roland Charnay - 2007

Dix dans la boîte : 3 problèmes

  • Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup
      • Plusieurs solutions… dont les nombres
  • Connaître le contenu de la boîte
      • Vers l’addition
  • Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant
      • Vers le complément
slide25
Roland Charnay - 2007

ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation

Situation réelle

Favorise l’appropriation de la situation et du problème

Anticiper

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une procédure

Oblige à élaborer des procédures

limiter les r f rences possibles des indices ext rieurs au probl me
Roland Charnay - 2007Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème.

Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

Se méfier des aides « de surface »

exploiter la diversit des proc dures
Roland Charnay - 2007Exploiter la diversité des procédures

Favoriser la diversité

Exploiter la diversité

Aider au progrès des élèves

correction ou mise en commun
Roland Charnay - 2007Correction ou mise en commun ?

Correction

Aboutir au corrigé, à LA solution

Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible

Mise en commun

Inventorier les « résolutions »

Débattre de leur validité

Les comparer

Conséquence : la diversité est possible

trace crite
Roland Charnay - 2007Trace écrite ?

Pas de trace écrite cette fois-ci

Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève

Un montage de différentes « résolutions » correctes

aider progresser
Roland Charnay - 2007Aider à progresser…

Prise de conscience au cours de la mise en commun

Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes

Choix des variables

Exemple : 250 passagers, 240 adultes

Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions »(ici validation expérimentale)

accorder un autre statut l erreur
Roland Charnay - 2007Accorder un autre statut àl'erreur

Se tromper est « normal », dans la phase d'apprentissage

Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée

On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

un exemple en calcul mental
Roland Charnay - 2007Un exemple en calcul mental

Question : calculer "6 fois 15"

Réponse sur l'ardoise : 36

Analyse (hypothèse confirmée par l'explication de l'élève)

L'élève a calculé 6 x 5 = 30 et 6 x 1 = 6,

puis 30 + 6 = 36

travail possible
Roland Charnay - 2007Travail possible

Faire expliciter la procédure utilisée

Pourquoi est-on sûr que cette réponse est fausse (sans refaire le calcul) ?

Parce que chest plus grand que 6 x 10

Faire expliciter (éventuellement de plusieurs manières) une procédure correcte qui s'appuie sur une décomposition de 15

exemples d explicitations
Roland Charnay - 2007Exemples d'explicitations…

Oralement

15 chest 10 + 5, pour avoir 6 fois 15, il faut prendre 6 fois 10 et 6 fois 5

Oralement, avec appui sur un dessin

6 fois ça

et 6 fois ça

Essentiellement par le dessin (ou matériel, doigts)

et retour sur la proc dure erron e
Roland Charnay - 2007Et retour sur la procédure erronée

Quel calcul réalise-t-on en faisant 6 fois 5 plus 6 fois 1 ?

Explications du même type que précédemment (oral, dessin…)

la culture math matique chest
Roland Charnay - 2007La culture mathématique, chest …

Des connaissances

Des connaissances utilisables (donc qui ont du sens)

Des connaissances cohérentes (reliées entre elles)

La capacité à les utiliser pour justifier

L'initiation à une pratique "mathématisante"