Download
1 / 21
E N D
1. S3 – Teoría de Líneas de Espera Ing. en Sistemas Computacionales
Paul Ramírez De la Cruz
08 feb 2007
2. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 2 Contenido Introducción
Ejemplo
Referencias
3. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 3 Introducción Las colas (líneas de espera) están presentes en muchas de las ocasiones en que requerimos de que se nos preste un servicio
El tiempo que las personas pasan en una fila puede llegar a ser excesivo y ocasionar pérdidas por la inactividad a causa de la espera
La teoría de colas se aplica a otras áreas en donde quienes esperan servicio no son únicamente personas, sino actividades productivas, máquinas, equipo, etc
4. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 4 Ejemplo La sala de urgencias del Hospital General atiende a los pacientes que llegan en ambulancia o en vehículo particular
Las urgencias son atendidas por un médico
Como los pacientes tienden a usar más este servicio que a asistir a una clínica privada, se ha observado que en horas pico (temprano por la tarde) las personas que llegan tienen que esperar turno para ser atendidos
Se desea examinar la conveniencia de asignar un médico más durante las horas pico
5. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 5 Estructura básica de los modelos de colas Los clientes que requieren un servicio se generan a lo largo del tiempo en una fuente de entrada
Estos clientes entran al sistema y con ellos se forma una cola
En determinado momento, se selecciona un miembro de la cola para darle servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de cola
Se proporciona al cliente seleccionado el servicio mediante el mecanismo del mismo
El cliente servido sale del sistema
6. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 6 Fuente de entrada Su principal característica es su tamaño, es decir, el número total de clientes que podría solicitar servicio. A estos se les llama población de entrada
La población de entrada puede ser finita o infinita
Generalmente, la suposición de que la población es infinita facilita algunos cálculos
Se requiere tener en cuenta el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes en el tiempo
7. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 7 Fuente de entrada La suposición usual es que esto ocurre mediante un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llega hasta un determinado momento tiene una distribución Poisson
Esta suposición corresponde con la situación en que las llegadas ocurren de manera aleatoria, pero con una tasa media fija y sin importar cuántos clientes ya están ahí (lo cual equivale a suponer que el tamaño de la fuente de entrada es infinito)
Un supuesto equivalente es que los tiempos de llegada entre los clientes se distribuyen de manera exponencial
Al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas se le llama tiempo entre llegadas
También debe especificarse cualquier supuesto inusual sobre el comportamiento de los clientes, por ejemplo, si se puede perder clientes cuando la fila es muy larga
8. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 8 Cola Es el lugar donde los clientes esperan antes de recibir el servicio
Puede ser de longitud finita o infinita, generalmente se supone esto último
9. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 9 Disciplina de cola Se refiere al método por el cual se selecciona un cliente de la fila para darle servicio
Primero en entrar, primero en salir (first in, first out; FIFO)
Último en entrar, primero en salir (last in, first out; LIFO)
Por jerarquía o prioridad
Aleatorio
10. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 10 Mecanismo de servicio Consiste de una o más estaciones de servicio, con uno o más canales de servicio paralelos, llamados servidores
Si existe más de una estación de servicio el cliente puede recibir el servicio en secuencia o en serie
Al tiempo transcurrido desde el inicio hasta el final de la atención del cliente se le llama tiempo de servicio
Un modelo de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio de cada servidor
Usualmente se supone que son del mismo tipo que las llegadas de los clientes
11. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 11 Medidas importantes en el análsis de líneas de espera El número promedio de clientes en el sistema o en la fila
El tiempo promedio invertido en la cola, o en el sistema
La distribución estadística de los tiempos de llegada y de servicio
La probabilidad de que la fila esté llena o vacía
La probabilidad de que la fila se encuentre en cierto estado (con cierta cantidad de clientes)
12. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 12 Notación La notación utilizada para describir las características de un sistema de colas es la propuesta por David G. Kendall, a mediados del s. XX:
A/B/c
A = Distribución de los tiempos de llegada
B = Distribución de los tiempos de servicio
s = Número de servidores
Los valores comunes para A y B son:
D = Distribución degenerada (constante)
M = Distribución Markoviana (exponencial)
G = Distribución de tipo general (i.e. cualquier otra)
Ejemplo
Un sistema M / M / 1 indica un sistema con tiempos de llegada Markovianos (exponenciales) que tiene un único servidor
Es el modelo de fila más simple
13. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 13 Terminología Estado del sistema = Número de clientes en el sistema
Longitud de la cola = Número de clientes que espera servicio = Estado del sistema – Número de clientes que está siendo servido
N(t) = Número de clientes en el sistema al tiempo t = 0
14. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 14 Terminología Pn(t) = Probabilidad de que haya n clientes en el sistema al tiempo t, dado el número en el tiempo 0
?n = Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema
Si esta tasa es la misma para todo n, entonces se le llama simplemente ?
?n = Tasa media de servicio de todos los servidores por unidad de tiempo. Representa la tasa combinada a la que los servidores ocupados logran terminar sus servicios
Cuando esta tasa es constante para todo valor de n, entonces se le llama ?
15. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 15 Terminología Cuando las tasas de llegada y servicio son constantes para todo valor de n, entonces los tiempos promedio de llegada y de servicio son, respectivamente, 1/? y 1/?
? = ?/s? es la “tasa de tráfico”. Es una medida de “qué tan ocupados” están los servidores. En particular, cuando hay un solo servidor, ? = ?/?
Si ? = 1, la longitud de la fila crece sin control
16. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 16 Applets Cálculo de medidas de una fila http://bradley.bradley.edu/~rf/wait.htm
Simulación de un sistema M/M/1 http://www.uni-koblenz.de/~gi/java/MM1.en.html
17. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 17 La distribución exponencial Se dice que la variable aleatoria (v.a.) X sigue la distribución exponencial con parámetro ?>0 si su función de densidad de probabilidad y función de distribución son
El valor esperado y la varianza de una v.a. exponencial son
18. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 18 Ejemplo El gerente de un nuevo restaurante observa que, en promedio, los clientes llegan a restaurantes similares al suyo a una tasa de uno cada 35 minutos. Si los tiempos de llegada se distribuyen exponencialmente, calcule la probabilidad de observar que el tiempo entre llegadas sucesivas de clientes sea:
De menos de 2 minutos
De más de dos minutos
De entre 2 y 3 minutos
19. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 19 Supuestos básicos de líneas de espera con tiempos de llegada exponencial Axioma 1. Dado el número de eventos (llegadas) durante el intervalo (0,t), al cual denotamos por N(t), el proceso de probabilidad que describe a N(t) tiene incrementos independientes estacionarios, en el sentido de que l probabilidad de un evento que ocurre en el intervalo (t, t+s) depende solamente de la longitud de s
Axioma 2. La probabilidad de que un evento ocurra en un intervalo de tiempo suficientemente pequeño, h > 0, es positiva, pero menor que 1
Axioma 3. En un intervalo de tiempo suficientemente pequeño, h > 0, como mucho puede ocurrir un evento, es decir, P(N(h) > 1) = 0
20. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 20 Modelos de nacimiento puros Se refiere a un tipo simplificado de línea de espera en donde solamente se permite la llegada de clientes, pero no su salida
Creación de actas de nacimiento para bebés que nacieron recientemente
Cuando los tiempos entre llegadas se distribuyen de manera exponencial con parámetro ?, el número de llegadas en un intervalo de tiempo t se distribuye Poisson con parámetro ?t:
21. 08 feb 2007 Teoría de Líneas de Espera 21 Referencias Hillier, Frederick S. & Lieberman, Gerald. Introducción a la investigación de operaciones. McGraw-Hill Interamericana. México 2006
Taha, Hamdy A. Investigación de operaciones. Una introducción. 6ª edición. Prentice Hall. México 1998
Willig, Andreas. A Short Introduction to Queueing Theory. Technical University Berlin, Telecommunication Networks Group. Berlin, Alemania. Julio 21, 1999. http://www.tkn.tu-berlin.de/curricula/ws0203/ue-kn/qt.pdf consultado el 08 feb 2007
