マトロイド不変多項式の基礎

1. マトロイド不変多項式の基礎 今井浩 東京大学理学系研究科情報科学専攻 科学研究費特定領域研究(B)「アルゴリズム工学」 A01班第1回班会議 1999-06-24

2. 本発表の目的 • マトロイド不変多項式基礎の紹介 • D. J. A. Welsh: Complexity: Knots, Colourings and Counting. Cambridge University Press, 1993. の内容紹介 • Tutte多項式関連の他の参考文献 • T. Brylawski and J. Oxley: The Tutte Polynomial and Its Applications. `Matroid Applications’ (N. White, ed.), Cambridge University Press, 1992, pp.123-225. • 本研究グループの研究成果 • 関連サーベイなど • 数理科学7月号 • アルゴリズム工学信学英文D論文誌特集原稿

3. 離散システム不変量論の展開 • グラフ彩色多項式，フロー多項式 • ネットワーク信頼性解析 • 結び目Jones多項式, HOMFLY多項式 • 統計物理: 浸透，Isingモデル • 超平面配置・計算幾何 • 可環代数と組合せ論・計算代数幾何 • … • BDD: 論理設計・検証 (ACM Kanellakis賞 ’99)

4. マトロイド，ランク関数 • 有限台集合E, ρ: 2E→Z　ランク関数 • 0≦ρ(X)≦|X| • ρ(X)≦ρ(Y)(X⊆Y) • ρ(X)+ρ(Y)≧ρ(X∪Y)+ρ(X∩Y) • 行列Aの列ベクトルaiの添字集合E • ρ(X) = ai (i∈X)の張る空間の次元 (X⊆E) • グラフG=(V,E), V: 点集合, E: 枝集合 • ρ(X) = 枝集合Xのグラフの点数 ー 連結成分数 M=(E,ρ) M(A) M(G)

5. 独立，従属性 • X: 独立 ⇔ρ(X)=|X| • X: 従属 ⇔ρ(X)< |X| • X: 基 ⇔ρ(E)=ρ(X)=|X| (極大独立集合) • X: サーキット ⇔ 極小従属集合 • X: spanning ⇔ρ(E)=ρ(X) (基を含む)

6. Tutte多項式 • マトロイド M=(E,ρ) • いくつかの点でのTutte多項式の値の意味(1) • T(M;1,1) = 基の数 • T(M;2,1) = 独立集合の数 • T(M;1,2) = spanning集合の数 • T(M;2,0) = グラフのacyclic orientationsの数 超平面配置のセル数

7. Tutte多項式 • いくつかの点でのTutte多項式の値の意味(2) • T(M;1,0) • グラフで1固定点をソースとしたacyclic orientations数 • 超平面配置の有界なセル数 • (－1)ρ(E)T(M;1,0)=μ(M), MのMoebius関数 • T(M;0,2)=totally cyclic orientationsの数 • (－1)|E|－ρ(E)T(M;0,－3) • 次数3のグラフの3-edge-coloringsの数 • clique数，edge-connectivity, etc.

8. Tutte多項式 • マトロイド M=(E,ρ) • T(M;1,z+1): spanning集合のサイズの母関数 • T(M;z+1,1): 独立集合のサイズの母関数

9. マトロイド複体 定理． 単体的複体がマトロイド複体 　⇔ 基の任意の辞書式順がshelling 組合せ的単体的複体 台集合E, Δ⊆2E • e∈E, {e} ∈Δ • X⊆Y∈Δ → X∈Δ f-, h-ベクトル • fi: サイズ i のX∈Δの個数, f-vector • h（x）: shelling多項式, h-vector, internal activity

10. Tutte多項式から変数変換で得られる不変多項式Tutte多項式から変数変換で得られる不変多項式 • グラフ彩色多項式，フロー多項式 • ネットワーク信頼性解析 • 結び目Jones多項式 • 統計物理: 浸透，Isingモデル, Pottsモデル • 超平面配置，(有界な)セル数 • 線形符号のweight enumerator • Stanley-Reisner環のHilbert関数 • …

11. 彩色多項式(chromatic polynomial) • グラフ G=(V,E) • χ(G;t)=グラフを t 色で塗る仕方の数 • χ(Kn;t)=t(t－1)(t－2)…(t－n+1) • G. D. Birkhoff (1912)：4色問題の代数的取り扱い • Tutte多項式：その一般化 • 特性多項式に対応 k(G): 連結成分数

12. 他の多項式 (1) • フロー多項式 • ネットワーク信頼度 • weight enumerator (A: generating matrix of (n,k) code over GF(q)) • Kauffman bracket polynomial of an alternating link L

13. 他の多項式 (2) • partition function Z of the Ising model with zero external field • partition function ZPotts of the Potts models • Gibbs probability μ of the random cluster model

14. 双対性 M*=(E,ρ*): Mの双対マトロイド • ρ*(X)=|X|ｰρ(E)+ρ(EｰX) • X: M*の基 ⇔ EｰX: Mの基 • X: M*で独立 ⇔ EｰX: Mでspanning • X: M*のサーキット • Mのコサーキット • 部分集合でそれを除くとランクが減るもので極小

15. Tutte多項式と双対性

16. 削除・縮約 M=(E,ρ), e∈E • eの削除 • eの縮約

17. Tutte多項式の展開式

18. Tutte多項式とactivity • マトロイド M=(E,ρ) • i(T): internal activity, e(T): external activity

19. 4 3 9 7 5 1 6 8 2 Internal/external activities (1) • 木T, 枝順： 固定 • 木の枝 e：internal active ⇔ e の基本cutsetで e 最大 • 他の枝 e：external active ⇔ e の基本circuitで e 最大

20. 4 3 9 7 5 1 6 8 2 Internal/external activities (2) internally active • 木T, 枝順： 固定 • 木の枝 e：internal active ⇔ e の基本cutsetで e 最大 • 他の枝 e：external active ⇔ e の基本circuitで e 最大

21. 4 3 9 7 5 1 6 internally inactive 8 2 Internal/external activities (3) • 木T, 枝順： 固定 • 木の枝 e：internal inactive 　 ⇔ e の基本cutsetで e 最大でない

22. 4 3 9 7 5 1 6 8 2 Internal/external activities (4) • 木T, 枝順： 固定 • 木の枝 e：internal active ⇔ e の基本cutsetで e 最大 • 他の枝 e：external active ⇔ e の基本circuitで e 最大 externally active

23. 4 3 9 7 5 1 6 8 2 Internal/external activities (5) • 木T,枝順：internal/external activity i(T)=1,e(T)=1 • 枝 8, 9 の順序を入換え: i=0, e=2

24. activity, shelling, broken circuit complex • 純な単体的複体(simplicial complex)のshelling • 基(ファセット)全体の全順序がshelling： ファセットを順々に１次元低い純な単体的複体を境界として張り付け可能 • マトロイド複体のshellingでのrestriction • 要素順を逆(小さいが勝ち)にしたinternal active要素の補集合 • shelling多項式 = internal activityの母関数 • broken circuit = circuitで最小要素を除去(要素順固定) • broken circuit complex: broken circuitを含まない集合族の複体 • そのshelling polynomial=マトロイドの特性多項式(彩色多項式) • そのファセット: nbc-base, external activity=0のbase

25. 不変量計算の計算量 • Tutte多項式計算：#P完全 • 一部の特別な場合を除いて(T(M(G);1,1), G=Kn,…) • 既存アルゴリズム(Sekine, Imaiの解析) • 基を列挙してinternal/external activities計算して和 • 基列挙アルゴリズム： • internal/external activities: グラフなら線形時間 • graphic, binary, ternary matroid (Sekine, Imai, Iwata, et al.) • 中規模問題でも実際的に解くアルゴリズム！

26. 離散システム不変量計算 ― BDDアプローチ • 2分決定グラフ(Binary Decision Diagram; BDD) • 論理関数を表現するデータ構造 • 変数順重要(有向無閉路グラフ、分岐プログラムの一種) • VLSI CADで多大な成功 • 1999 ACM Kanellakis Theory and Practice賞 R. E. Bryant, E. M. Clarke, Jr., E. A. Emerson, K. L. McMillan • BDDによる離散不変量・数え上げの1つのパラダイムの提示(Sekine, Imai, et al.) • 離散構造活用のトップダウン・出力サイズ依存構成 • 組合せ論を活用したBDDサイズ・幅解析 • 平面分離定理などelimination ordering

27. 符号付きグラフでの展開計算

28. BDDアプローチ

29. グラフのelimination front • G=(V,E), 枝順e1, e2, …, en • i-th elimination front: i 番目までの枝と i+1番目の枝に接続している点の集合 • BDD幅はfrontのサイズのBell数(集合分割数) • G: 平面グラフ • planar separator theoremを再帰的に適用 • n の平方根のオーダのelimination front • BDD幅はこのfrontのサイズのCatalan数

30. 格子グラフでのelimination ordering Elimination front サイズは4以下

31. 点順からの枝順のよさ • 点に順序をつけ，各枝を点対(小さい方から大きい方への)で表現，その辞書式順を枝順 • i番目までの枝を縮約・削除したグラフでi+1番目の枝がcoloopかどうかが簡単に判定可能 • 連結性が保証された場合に，BDDレベルでの2-同型性と同型性が一致

32. elimination order問題点 • Planar separator theoremを再帰的に適用すると，順序でのi番目まで・i+1番目以降の部分グラフの連結性が保持されない • elimination frontのサイズを理論的におさえる際に係数が大きくなる • 格子グラフのような典型例では，両方の部分グラフを連結に保って小さなサイズのfrontを生成できる • 未解決問題： • 一般の平面グラフでelimilation orderで連結性の面でもよい性質を満たすもの

33. 例1. 三重系 例2. K3 ネットワーク信頼度 R(G,p): グラフG=(V,E)の各枝が確率 p で独立に消滅したとき 全体が連結であり続ける確率 (1ｰp)3 +3(1ｰp)2p (1ｰp)3 +3p(1ｰp)2 +3(1ｰp)2p

41. おわりに • アルゴリズム研究の観点から • NP困難問題に対する緩指数時間アルゴリズムの重要性 • elimination order, BDD • 理論的にきちんと解析しにくい • けれども実際に大切なもの • 離散システム研究の観点から • 幾何構造の活用