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§ 2.4 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数

第 2 章. § 2.4 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数. 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪. ( 含导数 的方程 ). 1. 隐函数的导数. 若由方程. 则称此. 可确定 y 是 x 的函数 ,. 函数为 隐函数. 由. 表示的函数 , 称为 显函数. 可确定显函数. 例如 ,. 可确定 y 是 x 的函数 ,. 但此隐函数不能显化. 隐函数 求导方法 :. 两边对 x 求导. 确定的隐函数. 例 1 求由方程. 在 x = 0 处的导数. 解 方程两边对 x 求导. 得.

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  1. 第2章 §2.4 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

  2. (含导数 的方程) 1. 隐函数的导数 若由方程 则称此 可确定 y 是x的函数 , 函数为隐函数. 由 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数 例如, 可确定 y 是 x的函数 , 但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对x求导

  3. 确定的隐函数 例1 求由方程 在 x = 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故

  4. 例2 求椭圆 在点 处的切线方程. 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即

  5. 的导数 . 例3 求 解 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x求导 这种先在函数y=f(x)两边取对数, 然后利用隐函 数求导法求出y的导数的方法称之为对数求导法.

  6. 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 说明: 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 注意:

  7. 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 两边对x求导

  8. 2. 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 则 关系, 可导, 且 时, 有 时, 有 (此时看成 x是y 的函数 )

  9. ※注 设 是 的反函数, 在y 的某邻域内单调可导,

  10. 例5 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向. 解 先求速度大小: 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则

  11. 抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 速度的方向 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 高度 达到最高点的时刻 抛射最远距离 落地时刻

  12. 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 若上述参数方程中, 则 可导, 且 关系, 时, 有 且 二阶可导, 则由它确定的函数 的二阶导数 如何求? ,可得 解 利用新的参数方程

  13. 例6. 设 由方程 确定 , 求 得 解 方程两边对 x求导, ① 再求导, 得 ② 当 故由 ① 得 时, 再代入 ② 得

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