设 F 是一个数域， F [ x ]是 F 上的一元多项式环 .

1. 2.2 多项式的整除性 设F是一个数域，F[x]是F上的一元多项式环. 2.2.1 多项式整除的定义 定义2.4 设 f(x)，g(x)F[x].如果存在h(x)F[x],使得 f(x)=g(x)h(x), 则称g(x)整除f(x), 或说f(x)能被g(x)整除. 记作 g(x)|f(x). 此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x)的一个倍式. 如果g(x)不整除f(x),就记作g(x)†f(x).

2. 注记： (1).g(x)|f(x)不能写成 g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素间的一种关系; (3).如果g(x) †f(x)，那么对h(x)F[x], 关系式 f(x)=g(x)h(x)都不成立.

3. 问题： (1).零多项式能否整除零多项式？ (2).非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？

4. 2.2.2 多项式整除的基本性质 (a)对f(x)∈F[x]和c∈F(c≠0), 总有 f(x)|0,c|f(x),cf(x)|f(x). 注记： (1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(这里 0 ≠c∈F), 它们称为f(x)的平凡因式. （2）g(x)|f(x) g(x)|cf(x) (c F)， g(x)|f(x) cg(x)|f(x)(0  c F). 即：f(x)与cf(x) (0  c∈F)有相同的因式； f(x)与cf(x) (0  c∈F)有相同的倍式.

5. (b)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x). 证明：f(x)|g(x) 有h1(x) F[x] ，使得 g(x)=f(x)h1(x) ； ……（1） g(x)|h(x)  有h2(x) F[x] ，使得 h(x)=g(x)h2(x) . ……（2） 由（1）,（2）两式，得 h(x)=f(x) (h1(x)h2(x)). 即 f(x)|h(x).

6. (c) 如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),那么f(x)|(g(x)+h(x)). 注：此命题的逆命题不成立. 例如，对于 f(x)=x,g(x)=x²-1,h(x)=x² +1, 有f(x)|(g(x)+h(x))，但f(x)†g(x),f(x)†h(x). (d) 如果f(x)|g(x),那么对 h(x) F[x] ,都有 f(x)|g(x)h(x).

8. 2.2.3 带余除法 其中

10. 设 2.2.4 综合除法 除 所得的商 和余式 可按下列计算格式求得： 这里，

11. ① 求一次多项式 去除 的方幂的和，即表示成 得到的商式及余式． ②把 表成 说明： 综合除法一般用于 的形式．

13. 10= １= 5= 5= 10= 表成 的方幂和． 例2.4　把 解 ∵ 1　　０　　０　　０　　０　　０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ 2 3 4 １ １ 2 3 4 1 3 6 １ 3 6 １ 1 4 １ １ 4 1 1

14. 2.2.5 多项式整除关系的一个重要性质 定理2.3表明，多项式的整除关系不随数域的扩大而改变.