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数学应用实践

数学应用实践. 一 . 马氏决策 在物流管理中的应用 2009. 一 存贮问题. 工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。不论是原料、商品，还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用（比方仓库租赁费、资金占用须支付银行的信贷费用等）高；存得太少则无法满足需求。在此我们设想是在为一个商店老板制定一个 好的进货策略 。 根据市场对商品的需求，确定每次进货量与进货周期，使得平均每天贮存费用最低，赢利最高。. 1 需求确定的的贮存问题. 假设：

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  1. 数学应用实践 一. 马氏决策在物流管理中的应用 2009

  2. 一 存贮问题 工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。不论是原料、商品，还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用（比方仓库租赁费、资金占用须支付银行的信贷费用等）高；存得太少则无法满足需求。在此我们设想是在为一个商店老板制定一个好的进货策略。 根据市场对商品的需求，确定每次进货量与进货周期，使得平均每天贮存费用最低，赢利最高。

  3. 1 需求确定的的贮存问题 假设： • 商店经营的商品单一，单位时间对物品的需求量恒为r； • 商店购买单位货物费用为a，单位货物售价为b； • 商店每次进货需支付一次性订货费c1，还需支付单位时间单位货物货物的贮存费用c2； • 商店采用周期进货策略：每隔时间T，进货量Q= rT。 • 以q(t)=Q-rt表示在时刻t 该货物的存量。

  4. T为决策变量，目标函数f(T)表示进货周期为T，商店在单位时间的赢利。模型：T为决策变量，目标函数f(T)表示进货周期为T，商店在单位时间的赢利。模型： 得到经济理论中著名的经济订货批量公式

  5. 进一步分析：从模型的解可以发现： • 最佳订货量Q和订货周期T居然与进货价格a和销售价格b没有关系。选取使单位时间赢利f(T)最大与选取使单位时间费用c(T)=c1/T+c2rT/2最小作为目标函数，所的结论一样。 • 当订货费c1越高，需求量r 越大时，一次订货量Q越大；当贮存费c2越高，一次订货量Q越小。这些关系是符合常识的，但仅凭常识是不能得到准确的依从关系。 • 如果随着进货量的增加，进货价格会下降。试建立数学模型分析，求最佳的进货量和进货周期。

  6. 2 需求随机的贮存问题 假设： • 商店经营的商品单一，单位时间内顾客对该物品的需求量r是随机的，服从密度为(r)的概率分布； • 商店购买单位货物费用为a，单位货物售价为b； • 商店每次进货需支付一次性订货费c0，还需支付单位时间单位货物货物的贮存费用cs； • 商店采用周期进货策略：每隔时间T，进货量Q； • 以q0表示货物的存量，q=0表示缺货 。

  7. 由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此，根据实际需求的进货周期也是随机的。由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此，根据实际需求的进货周期也是随机的。 如何在平均意义下确定的最佳进货量和进货周期？ 问题1：已知某加油站以前1000天每天汽油需求量（升）的数据，每次进货的一次性费用c0，单位时间（天）单位（升）货物（汽油）的贮存费用cs。试为该加油站制定一个好的进货策略。

  8. 由此数据可以确定每天汽油需求量r的概率分布，计算期望值E(r)和方差。由此数据可以确定每天汽油需求量r的概率分布，计算期望值E(r)和方差。

  9. 参考模型一： 第一步： • 给定Qk, 模拟第j天需求量ri，j=1,2,…Tk， Tk=max{ j; i=1jri Qk}； • 计算第j天贮存费用cj= cs(Qk-i=1jri),； • 计算一个进货周期内每天的贮存平均费用 • c(Qk)=[c0+ j=1Tkcs(Qk-i=1jri)]/Tk 第二步： • 重覆第一步足够多遍，求c(Qk)期望的近似值c*(Qk). 第三步： • 对不同的Qk，求Q*使得c*(Q*)=min c*(Qk), T*=Q*/E(r)

  10. x=[10 20 50 120 200 270 180 80 40 30]/1000 • bar(x)

  11. x=[10 20 50 120 200 270 180 80 40 30]/1000; y=1050:100:2000; q=x.*y; %q=1536 Q=[7.5:0.5:17]*1000;M=size(Q,2); N=100;%最大可能销售天数 c=zeros(1,100);cc=zeros(1,M);cs=0.05;c0=1000; r=rand(1,100000);s=1050*ones(1,100000); xm=cumsum(x); %cumsum(X)给出向量X逐个分量的累积和 for j=1:9 s=s+(r>xm(j))*100; end

  12. for k=1:M for i=1:1000;%重复模拟1000次 for j=1:N if sum(s((i-1)*100+1:(i-1)*100+j))>Q(k) break; end end T=j-1; rr=cumsum(s((i-1)*100+1:(i-1)*100+T)); QQ=Q(k)*ones(1,T); cj=QQ-rr; c(i)=(c0+cs*sum(cj))/T; end cc(k)=sum(c)/1000;%求均值 end

  13. kk=Q./1000; plot(kk,cc,'r-*'),grid xlabel('Q/10^3升');ylabel('每天费用'); [cmin Qmin]=min(cc) TT=1e3*Qmin/1536

  14. Cs=0.02 Q=11 T=7.2 • Cs=0.03 Q=8 T=5.2 • Cs=0.04 Q=5 T=3.2

  15. 参考模型二 • 根据每天汽油需求概率分布，运用随机模拟，计算一周汽油需求量的概率分布，以及相应的期望值 Q*。 • 假设加油站的最大存储能力Qmax=3Q*.到周末库存量为q。采取(s,S)=(Q*,Qmax)进货策略,即当q<Q*时,选择进货量x= Qmax-q，否则不进货。计算平均每天的存贮费用。 进一步分析，不到周末也可能出现缺货，如何计算出现缺货的概率？是否有更好的进货策略，以避免因为缺货造成的损失？

  16. 关于缺货概率的计算，学习如下案例。 一个宠物商店出售水族箱。每个周末商店的老板要盘点存货，开出定单。商店的策略是，如果当前所有的存货都被售出了就在这个周末进三个新的水族箱。如果只要在店内还保存有一个存货，就不再进新的水族箱。这个策略是基于商店平均每周仅出售一个水族箱的事实提出的。这个策略(s,S)=(1,3)是否能够减少当商店缺货时顾客需要水族箱而无货销售的损失，使得商店赢利最大？

  17. 损失是由于需求大于供给，丢失销售机会造成的，因此有必要计算在这样的进货策略下，需求大于供给的概率，以及平均意义下每周的销售量。损失是由于需求大于供给，丢失销售机会造成的，因此有必要计算在这样的进货策略下，需求大于供给的概率，以及平均意义下每周的销售量。 由于每周需求大于供给的概率是不同的，通常采取考察充分长时间后系统处于稳定态的情形进行分析和计算。

  18. 假设 • 第n周之初水族箱的供给数量为Sn； • 第n周内水族箱的需求数量为Dn； • 在一周内潜在的购买者的数目满足平均值为1的泊松分布Pr{Dn = k}=e-1/k!,k = 0,1,2,3,…； • 如果 Dn-1<Sn-1， 则 Sn=Sn-1–Dn-1 1,至少留下一个水族箱；如果 Dn-1≥Sn-1, 则 Sn = 3 目标: 计算 Pr{Dn>Sn}

  19. 取Sn作为销售系统的状态变量。 状态空间是Sn{1 2 3} 记从第i个状态转变为第j个状态的概率为 pij= Pr{Sn+1=j|Sn=i}，显然系统在n+1时刻的状态只与系统在n时刻的状态有关，与n之前的状态无关，也就是说，Sn+1=j概率仅仅依赖n时刻的状态Sn，于是整个随机过程{Sn}可以由pij和初始状态S0需完全确定。称这样的随机跳跃过程{Sn}为马尔科夫链。 称由状态转移概率pij构成的矩阵P=(pij)33为状态转移矩阵。

  20. 系统状态的变化是由销售需求量导致的，所以状态转移矩阵与销售量（需求量）Dn有关。系统状态的变化是由销售需求量导致的，所以状态转移矩阵与销售量（需求量）Dn有关。 根据假设，第n个周的需求量Dn的概率分布为 Pr{Dn= 0}=e-1/0!=0.368, Pr{Dn= 1}=e-1/1!=0.368, Pr{Dn= 2}=e-1/2!=0.184, Pr{Dn= 3}=e-1/3!=0.061, Pr{Dn> 3}=1- Pr{Dn 3}= 0.019, 它们与时间n无关！

  21. 1 0.184 0.368 0.368 0.632 2 0.368 3 0.264 0.448 0.368 由此计算得到的状态转移概率pij也与时间无关 p11= Pr{Sn+1=1|Sn=1}= Pr{Dn=0}=0.368 p12= Pr{Sn+1=2|Sn=1}= 0 p13= Pr{Sn+1=3|Sn=1}= Pr{Dn1}=0.632

  22. 因为，对j=1,2,3 Pr{Sn+1=j} =Pr{Sn=1}p1j+Pr{Sn=2}p2j+Pr{Sn=3}p3j 记 Vn=(Pr{Sn=1}, Pr{Sn=2}, Pr{Sn=3}) 则 Vn+1=VnP P’模最大的特征值为1， 相应的归一化特征向量为 V=(0.285 0.263 0.452) 于是，当n充分大时，状态接近稳定分布 VnV=(Pr{S=1}, Pr{S=2}, Pr{S=3})

  23. 所以，长期运行下， Pr{Dn>Sn} = Pr{Dn>Sn|Sn=1}Pr{S=1} + Pr{Dn>Sn|Sn=2}Pr{S=2} +Pr{Dn>Sn|Sn=3}Pr{S=3} =Pr{Dn>1}Pr{S=1}+Pr{Dn>2}Pr{S=2} +Pr{Dn>3}Pr{S=3} =0.2640.285+0.080.263+ 0.0190.452=0.105. 在长时间的运行中将有10%的时间需求超过供给。一年约 52个周，10%意味着可能有5个周出现缺货。

  24. 平均销售量 R=i=13Pr{S=i} *[j=1i-1j Pr{Dn=j|S=i}+iPr{Dni|S=i}] = 0.6320.285+0.8960.263+ 0.9770.452=0.857. 从长期看，每周平均销售量为0.857个水族箱。 这就是在进货策略(s,S)=(1,3)下的销售结果。

  25. 问题2 假设商店平均每周售出一个水族箱，出售一个水族箱获利10元。 进货策略1，如果一周内所有的存货都被售出了就在周末进三个新的水族箱；如果只要在店内还保存有一个存货，就不再进新的水族箱。 进货策略2，如果在周末存货少于2个水族箱，就进三个新的水族箱；否则不再进新的水族箱。 计算商店销售处于稳定状态时，每周销售数量的期望值和缺货的概率，比较2个策略下商店的获利。

  26. 进一步考虑： 如果要求商店获利最大，基于前面的进货销售的马尔可夫链模型，试引入适当的优化目标函数和约束条件，在要求每周销售量的期望值最大（或者要求缺货的概率最小），与要求平均单位时间存贮费用最小之间取恰当的折中，以求最佳的进货策略。即构造一个基于马尔可夫链的的优化模型，这一类模型的研究被称为马尔可夫决策。 可以运用数值模拟研究马尔可夫决策，例如采取不同的决策变量，如(s,S)=(2,3), 或者(s,S)=(1,2+Dn),即当q=0时，取x=2+Dn ，或者(s,S)=(2,q+3),即当q<2时，取x=q+3，以确定哪些策略是最好的。

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