Matematica e statistica Versione didascalica: parte 1

1. Matematica e statisticaVersione didascalica: parte 1 • Sito web del corso • http://www.labmat.it/didattica • Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste • e-mail: inverniz@units.it

2. 2. Derivata e integrale

3. 2.1. Il problema delle tangenti La retta tangente al grafico di una funzione f in un punto • è una retta che passa per P, e che assumeremo non verticale • (ossia non parallela all’asse y) • ha quindi equazione (retta per un punto, in rosso le variabili)) dove il numero aè la pendenza. La pendenza a della retta tangente al grafico di una funzione f in un punto (x, y) è la derivata della funzione f nel punto x (la ascissa del punto di tangenza). Ma: Cosa è la retta tangente al grafico di una funzione f in un punto?

4. 2.2. La derivata in un punto Il “conteggio delle intersezioni” non identifica la retta tangente (delle rette che passano per il punto indicato la tangente è l’unica che ha infinite intersezioni con la curva)

5. (continua) A proposito dell’espressione “due punti coincidenti”: Due euro Due euro coicidenti

6. L’idea dello zoom Visione microscopica: (si leggano bene le coordinate, finestra larga 0.002, alta 0.00006): la curva blu “si confonde graficamente” con la retta rossa.

7. Intuitivamente: la retta tangente al grafico di una funzionef in un suo punto P è quella retta che, in una visione microscopica centrata nel punto P, è praticamente indistinguibile dal grafico della funzione.

8. Simbologia per la derivata • Notazione di Lagrange: la derivata della funzione y = f (x) • nel punto x si indica con [si legge: “effe-primo-di-ics”] • Notazione di Leibniz: la derivata della funzione y = f (x) nel punto x si indica con [si legge: “di-ipsilon-su-di-ics”] • La notazione di Leibniz è preferibile quando la funzione non ha • un nome, ma è indicata solo da una formula, per esempio:

9. Calcolo numerico della derivata Formula dei tre punti (o della differenza centrale) • Valori tipici per il passo: h = 0.01, h = 0.001 • In termini multiscala: il sistema ha una scala macroscopica in cui la grandezza caratteristica ha dimensione  1, ed una scala microscopica (dove la curva si confonde con la retta tangente) in cui le dimensioni tipiche hanno un ordine di grandezza inferiore, come h = 0.01, h = 0.001. Una ulteriore analoga diminuizione degli ordini di grandezza porta a dimensioni fisiche non valutabili, per cui ad esempio h²  0.

10. Rappresentazione grafica della formula dei tre punti

11. Il quoziente di Newton • Se è possibile calcolare f sia nei tre punti x, x+h ed x-h si usa l’approssimazione dei tre punti: • Se interessa o è possibile calcolare f solonei due punti x, ed x+h (con h > 0) si usa il quoziente di Newton destro • Se interessa o è possibile calcolare f solonei due punti x-h, ed x (con h > 0) si usa il quoziente di Newton sinistro

12. La derivata come rate of change, I • Una grandezza X varia nel tempo t secondo una legge X = X(t). • All’istante to la grandezza vale Xo . • L’unità di tempo è così piccola che la grandezza ha solo variazioni • “microscopiche” in un’unità di tempo. • Quindi essendo interessati al futuro useremo il quoziente di Newton • (destro) La derivata X’(to) è una stima di quanto cresce in assoluto la grandezza X in una (brevissima!) unità di tempo a partire dall’istanteto, ed è per definizione la velocità di crescita(istantanea) all’istante to

13. La derivata come rate of change, II • Una grandezza X varia nel tempo t secondo una legge X = X(t). • All’istante to la grandezza vale Xo . • Nell’unità di tempo la grandezza ha variazioni macroscopiche • Però in un intervallo di h [unità di tempo] << 1 la grandezza ha solo • variazioni “microscopiche” • Quoziente di Newton (destro): • Il prodotto hX’(to) è una stima di quanto cresce in assoluto la grandezza X in h unità di tempo (un tempo brevissimo) a partire dall’istante to. • La derivata X’(to) = hX’(to) / hè una stima di quanto crescerebbein assoluto la grandezza X in 1 unità di tempo (un tempo lungo) se la velocità fosse sempre la stessa per tutta la (lunga) unità di tempo.

14. Il grafico del ROC / NYSE usa in ascissa come unità di misura • del tempo 1 = 1 anno, e tipicamente come passo 6 o 10 gg, ossia • h = 0.016 [anni] oppure = 0.027 [anni]. • In ordinata “1 Year Rate of Return”, ossia quanto renderebbe un • capitale se la velocità di crescita fosse sempre la stessa per tutto • l’anno uguale a quella rilevata alla data in ascissa

16. Derivata e tassi, I • Il rapporto X’(to) /X(to) è una stima di quanto cresce in percentuale la grandezza X in un’unità di tempo (assunta breve) a partire dal tempo to, ed è detto tasso di crescita • Una popolazione ha nel 2001 tasso di natalità del 0.18% annuo: • All’annoto = 2001, ci sono X(to) = 42,136,500 individui. • X’(to) /X(to) = X’(to) / 42,136,500. = 0.18% = 0.18/100 = 0.018 • X’(to) = 42,136,500 × 0.018 = 758,457 individui/anno • All’anno to + 1 = 2002, sono stimati 42,136,500 + 758,457 = • 42,894,957 individui

17. Derivata e tassi, II • Nelle applicazioni (assumendo sempre breve l’unità di tempo) il tasso di crescitaX’(to) /X(to) si valuta rapportando la variazione della granezza alla media aritmetica dei valori della grandezza all’inizio ed alla fine del periodo [to , to + 1] considerato

18. 2.3. La derivata come funzione • Se il grafico di y = f (x) ha la tangente in ogni punto, • si dice che la funzione fè derivabile. • Se la funzione fè derivabile possiamo associare ad ogni ascissa x • (ammissibile) la pendenza della retta tangente • al grafico di f nel punto (x, f (x)), ossia la derivata f '(x). • Abbiamo una funzione f ' , detta la derivata (prima) di f

19. 2.4. Derivata di alcune funzioni base • Calcoliamo la derivata di alcune funzioni di base • definite esplicitamente da una formula (lo zoo). • Se fosse necessario distinguere • la variabile x della funzione • dalla variabile della derivata, indicheremo • con xo l’ascissa in cui viene calcolata la derivata.

20. 2.4.1. Derivata di

21. 2.4.2. Derivata di f(x)=1/x

22. 2.4.3 Derivata dell’esponenziale Funzione esponenziale di base a(a > 0, a  1):

23. Derivata di

24. Derivata di Numero di Nepero NAPIER John (1550-1617)

25. L’esponenziale di base eè l’unica ad avere tangente nel punto (0, 1) inclinata di 45° (di equazione y = x + 1): vedasi lo zoom. Le altre due esponenziali raffigurate hanno base 2 e base 5

26. Il grafico di y = exp(x) cresce così rapidamente da essere rappresentabile nel display con difficoltà: per rappresentarlo fino a x = 5 occorre una scala dimetrica con rapporto 1:10 fra le ordinate e le ascisse (cioé nella figura la unità di misura sull'asse delle ordinate è 1/10 dell'unità di misura sull'asse delle ascisse):

27. 2.4.4. Derivata del seno Nel grafico il seno sin(x) e la sua derivata numerica ad h=.001 che differisce (in v.a.) da coseno al max di 1.510^(-7) In effetti si prova che:

28. 2.4.5. Derivata del coseno Nel grafico il coseno cos(x) e la sua derivata numerica ad h=.001 che differisce (in v.a.) da -seno al massimo di 1.510^(-7) In effetti si prova che:

29. Derivata del seno con x in gradi Se si misurano gli angoli in gradi il seno, la funzione sin(x in gradi), viene molto appiattita e la sua derivata diventa 0.0175633... cos(x in gradi) La misura in radianti rende =1 il coefficiente.

30. Derivata del seno con x in giri Se si misurano gli angoli in giri il seno, la funzione sin(x in giri), viene compressa come una molla, e la sua derivata diventa 6.28319... cos(x in giri) La misura in radianti rende =1 il coefficiente.

31. Perché e e perché π • La scelta di e = 2.71828... come base per gli esponenziali e • la scelta di π = 3.14159... come base per le funzioni circolari • consente di avere tutte semplificate le formule delle derivate con • valore =1 del coefficiente di proporzionalità

32. 2.5. Regole di derivazione • Calcoliamo la derivata di funzioni costruite con operazioni “di • base” (addizione, moltiplicazione, ...) a partire da “ingredienti” • (addendi, fattori, ...) derivabili. • Se fosse necessario distinguere la variabile x della funzione dalla • variabile della derivata, indicheremo con xo l’ascissa in cui viene • calcolata la derivata.

33. 2.5.1. Derivata della somma di due funzioni

34. 2.5.2. Derivata del prodotto di due funzioni

35. 2.5.3. Derivata della funzione composta • Nella funzione gcompostof agisce prima f e poi agisce g • La composizione non è commutativa • La composta della retta z = cy+d con la retta y = ax+b • è la retta z = c (ax + b ) + d = ca x + (cb + d) • Nel caso di due rette, la pendenza della composta • è il prodotto delle pendenze.

36. Derivata della funzione composta

37. Derivata di 1/q(x)

38. 2.5.4. Derivata di p(x)/q(x)

39. Tabella di derivazione, I

40. 2.5.5. Derivata della funzione inversa

41. La pendenza della retta rossa è = 1/(pendenza della retta blu)

42. La funzione inversa: qui:

43. È possibile dimostrare che qui lafunzione inversaè (nella variabile x):

44. 2.5.6.a. Derivata del logaritmo

45. Il grafico di y = ln(x)cresce cosi' lentamente da essere rappresentabile nel display con difficoltà: vediamone i valori fino a x = 100 in scala isometrica (rapporto 1:1 fra ordinate e ascisse): Lo stesso grafico in scala dimetrica (espandiamo le ordinate di un fattore 10):

46. 2.5.6.b. Derivata delle potenze

47. 2.5.6.c. Derivata degli esponenziali

48. 2.5.6.d. Tangente e arcotangente

49. Tabella di derivazione, II

50. 2.6. Derivate di ordine superiore • Derivando... la derivata (prima) f '(x) di f (x) ... • La derivata di f '(x)è f "(x) , la derivata seconda di f (x) • La derivata di f "(x)è f "'(x) , la derivata terza di f (x) • La derivata di f "'(x)è f (4)(x) , la derivata quarta di f (x) • La derivata di f (4)(x)è f (5)(x) , la derivata quinta di f (x) • ..... • La derivata seconda di f (x) può essere approssimata usando • tre volte la formula dei tre punti: