ПОБУДОВА ПЕРЕРІЗІВ МНОГОГРАНИКІВ МЕТОДОМ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРОЕКЦІЙ

1. ПОБУДОВА ПЕРЕРІЗІВ МНОГОГРАНИКІВ МЕТОДОМ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРОЕКЦІЙ

2. Згадаємо, що при паралельному проектуванні в просторі використовують такі поняття як: площина проекцій (люба площина ), напрямок паралельного проектування (люба пряма m). m 

3. Розглядаючи любу геометричну фігуру як множину точок, можноа побудувати в заданій площині проекцію даної фігури. Для цього вибирають любу точку фігуриA (прообраз) і будують її паралельну проекцію на площину A’(образ). m А А’ 

4. Таким чином можна отримати зображення (або «проекцію») любої плоскої або просторової фігури. (див.рис.) m 

5. Приклад 1. Побудуйте переріз трикутної призми ABCA’B’C’, який проходить через точки M, Nі K, які лежать в бічних гранях • Розвязок. • Побудуємо проекції даних трьох точок M, Nі K на площину основи в напрямку, паралельному бічному ребру. • 2) Сполучимо дві любі дані точки (наприклад, M і K). • 3) Побудуємо образ одержаного в п.2) відрізка MK. C’ A’ B’ M K M’ C A N K’ N’ B

6. 4) Сполучимо відрізком точки N’і C, позначивши буквою F’точку перетину з відрізком M’K’. 5) Так як F’M’K’, то прообраз цієї точки FMK.Побудуємо її. 6) Прямі NN’і CC’ лежать в одній площині (подумайте чому?).Побудуємо в цій площині точку R=CC’∩NF. 7) В бічних гранях ACC’і BCC’у нас зявилися по дві точки, які належать перерізу, тому закінчити побудову перерізу RSTне важко. C’ A’ R F B’ M K S M’ C A N K’ F’ T N’ B

7. Основною метою використання методу паралельних проекцій являється одержання додаткової точки перерізу (звичайно на одномуиз бічних ребер). Для цього можна використати слідуючу схему;1) потрібно вибрати любу пару з даних точок перерізу; (M і K) 2) побудувати їх проекції на основу призми; (M’ і K’) 3) напрямок паралельного проектування вибирають паралельно бічним ребрам; (AA’) 4) спочатку отримати образ допоміжної точки в площині проекцій (для цього використовують образи даних точок перерізу і одну з вершин основи призми); (точка F’, вершина – С) 5) знайти прообраз додаткової точки; (точка F) Запишіть схему в зошит! 6) отримати додаткову точку перерізу; (точка R). A’ C’ R F B’ M K S M’ C A N K’ F’ T N’

8. Зауваження.Ще раз зверніть увагу на термін «любі» в п.2) прикладу 1. Спробуйте самостійно, по схемі, в зошиті побудувати переріз з прикладу 1, сполучаючи дві другі пари точок: Mі N або Nі K. Переконайтесь в однозначності отриманого результату (переріз получається таким же). Додаткова точка T Додаткова точка S A’ A’ C’ C’ R R M M B’ B’ K K S S F F M’ M’ C C A A N N K’ K’ F’ F’ T T N’ N’ B B

9. Приклад 2. Побудувати переріз чотирикутної призми ABCDA’B’C’D’, який проходить через точки MAA’, N(BCC’) іK(CDD’). D’ A’ Спостерігаючи за ходом побудови перерізу, складіть алгоритм по запропонованій вище схемі. C’ M P B’ K F Q D A F’ K’ R Чотирикутник MPQR – шуканий переріз N C B N’

10. Приклад 3. Побудувати переріз трикутної призми ABCA’B’C’, який заданий трьома точками МABB’,NACC’ і KBCC’. Розвязок. Як ми бачимо, ніякі з трьох точок перерізу не лежать в одній грані призми. Значить, метод «сліду» нам не підходить. Прослідкуємо поетапне використання методу паралельних проекцій для побудови перерізу в даному випадку. 1)Побудуємо образи M’, N’і K’даних точок при паралельному проектуванні в напрямку, паралельному бічному ребру призми на її нижню основу. C’ A’ B’ N M K N’ A C K’ M’ B

11. 2) Зобразимо відрізок N’K’ як образ відрізка NK. 3)Знайдемо точку P’ перетину відрізків M’Cі N’K’. 4)Так як P’N’K’, то прообраз цієї точки PNK. Побудуємо її. 5) Тепер зобразимо прообразвідрізка M’C відрізок ML, деL=MP∩CC’. 6) Точка L належить площині перерізу (MNK), значить, далі можна використати метод «слідів». C’ A’ B’ N P L M K N’ P’ A C K’ M’ B

12. При використанні методу «слідів» одержимо точку U. Після чого закінчити побудову перерізу не важко. U E C’ A’ F B’ N P В підсумку одержали шуканий переріз – пятикутник FELDG! Отже, наша мета в побудові перерізу була досягнута дякуючи появідодаткової точки L. L M K N’ P’ A C K’ D M’ G B

13. можна вибирати любу основу призми. Використовуючи вищеописаний алгоритм неодноразово можна обійтись без методу «слідів». N Приклад 4. K M

14. Площина перерізу може задаватися: 1) трьома точками, які не лежать на одній прямій; 2) прямою і точкою,яка не лежить на ній; 3) двома прямими, які перетинаються; 4) двома паралельними прямими. Всі ці випадки можна звести до першого, вибираючи на прямих зручні для нас точки. D’ A’ Приклад 5. Побудуйте переріз 4-кутної призми, в основі якої довільний 4-кутник, який проходить через діагональ і точку в протилежних бічних гранях. C’ B’ K D A C B

15. Розвязок. Виберемо на діагоналі дві точки BіA’. Побудуємо переріз, який проходить через три точки K, BіA’. При паралельній проекції на нижню основу призми образами цих точок будуть точки K’, B і A. Проведемо відрізок A’K і побудуємо його образ – відрізок AK’. Сполучимо точки Bі D, відмічаючи точку F’перетину його з AK’. Знайдемо прообраз точки F’. Відмітимо додаткову точку M=BF∩DD’. Одержимо переріз призм A’MNB,послідовно сполучаючи одержані точки. D’ A’ C’ M F B’ K D F’ A K’ N C B