Download
1 / 8
80 likes | 266 Views
Решение. Пусть O 1 – центр окружности радиуса R , O 2 – центр окружности радиуса r . Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная.
E N D
Решение. Пусть O1– центр окружности радиуса R, O2– центр окружности радиуса r. Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная. В первом случае (рис. 1) через точку O2проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O1A. ТогдаAB = Во втором случае (рис. 2) через точку O2проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O1A. ТогдаAB = Ответ. или . Задача 1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причем r < R и r + R < a. Найдите AB.
В первом случае (рис. 1) через точку Oпроведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогдавысота PQ трапеции равна OQ – OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9. Во втором случае (рис. 2) через точку Oпроведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогдавысота PQ трапеции равна OQ + OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39. Задача 2. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром Oи радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O, основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O. Ответ. 9 или 39.
Решение. Возможны два случая: точки O1, O2расположены по разные стороны от прямой AB,точки O1, O2расположены по одну сторону от прямой AB. Обозначим r радиус окружности с центром O1. Тогда радиус окружности с центром O2 будет равен . Обозначим P точку пересечения прямых O1O2и AB. Тогда O1P = , O2P = . В первом случае (рис. 1) и, следовательно, Во втором случае(рис. 2) и, следовательно, Ответ. или Задача 3. Окружности с центрами O1иO2пересекаются в точках A и B. Известно, что угол AO1B равен 90о, угол AO2B равен 60о, O1O2 = a. Найдите радиусы окружностей.
Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC. Задача 4. Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60о. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AMC. В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75о и, следовательно, угол AMC равен 105о. Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15о и, следовательно, угол AMC равен 165о. Ответ.105о или 165о.
Решение. По теореме синусов Откуда Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC. Опустим перпендикуляр BH на прямую AC. Тогда BH = ABsinA = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1) AC = Во втором случае (рис. 2) AC = Ответ. или Задача 5. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC.
Решение. Пусть AA1, BB1– высоты треугольника ABC.Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A1и B1. Возможны два случая расположения точки H. Задача 6. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB. В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA1, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45о. Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135о. Ответ.45о или 135о.
Решение. Возможны два случая расположения отрезка B1C1. На BC,как на диаметре, опишем окружность с центром P. Треугольник B1C1P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB1и CPC1равна 120о.В первом случае (рис. 1) треугольники BPC1и CPB1равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120о. По теореме синусов находим R = . Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150о. По теореме синусов находим R = 24. Ответ. или 24. Задача 7. В треугольнике ABC проведены высоты BB1и CC1, O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B1C1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC.
Решение. Возможны два случая. В первом случае (рис. 1) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = 28. Во втором случае (рис. 2) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = . Ответ. 28 или . Задача 8. В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27, CD = 28. Основание BC равно 5, косинус угла BCD равен –2/7. Найдите AC.
