电磁学

1. 电磁学 • 静电场 • 稳恒磁场 电磁感应 电磁波

2. 第八章 真空中的静电场 基本内容 电荷 库仑定律 • 电场 电场强度 • 电通量 高斯定理 • 静电场力的功 电势

3. A + + B A + + B A + + B §8.1 电荷 库仑定律 一、电荷(charge) • 1、电荷与电性 • 自然界只存在两种电荷,同性相斥、异性相吸。 • 规定: 用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷； • 用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷。 • 使物体带电的方法有以下几种： • ①、接触起电（电荷的转移，电子的转移）

4. A B C A B A B C - + + + - + ②、感应起电 ③、 摩擦起电 • 2、电荷守恒定律 电荷既不能创造也不能被消灭，只能从一个物体转移到另外一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。 也就是说，对一个孤立系统而言，任何物理过程中的电荷的代数和都守恒 （此定律可作为判据） 3、电荷的量子化 e =（1.6021892±0.0000046）×10-19C （ 密里根油滴实验可证实）

5. Q 方向：由原因指向结果 方向：与电荷电性及 有关 r q 二、库仑定律（Coulomb’s Law) • 1、库仑定律： 其中： ， 即： 2、适用范围 • ①、静电场 • ②、点电荷

6. q1 • q0 q2 • P • • Q q0 dq • P qN • • 3、库仑力符合矢量叠加性 • ①、点电荷系 ------ 矢量和 (平行四边形法则) ②、带电体 ------矢量积分

7. → §8.2 电场 电场强度 一、电场（Electric Field） 电场是一种特殊的物质，与其它实物一样具有能量、动量和质量。 与其它实物不同的是，它具有空间叠加性（矢量叠加）。 静电场的对外表现： 1、静电场对处于场中的带电体有力的作用 2、当带电体在场中移动时电场力对其作功 →U 3、静电场能使场中的导体产生静电感应，使电介质极化

8. 二、电场强度（Electric Field Intensity） 1、定义：电场中某点的电场强度，等于位于该点单位正电荷所受的电场力。 2注意 ②、对给定电荷分布的电场，场强分 布 与试验电荷所带电量无关； q0为试验电荷（带电量充分小，几何线度充分小） ①、矢量性（大小和方向）； • 、单位：牛顿/库仑（N/C）

9. q1 • q0 q2 • P • • • qN 三、电场强度的叠加原理 由 q1、q2、…qN N个点电荷组成的点电荷系，其在空间某点产生的电场场强，等于各个点电荷单独存在时,在该点产生的电场强度的矢量和。即

10. 四、电场强度的计算 qi q1 1、点电荷电场的场强 2、点电荷系电场中的场强 P

11. 3、连续带电体电场中的场强 dq • P 则： 如图,电荷元dq在P点产生电场的电场强度为: 则带电体在P点产生电场的电场强度为: 注：此式为矢量式，其标量分量式为:

12. 对于不同分布的带电体，上述公式可分别写作:对于不同分布的带电体，上述公式可分别写作: r dl r P l ( ) 线分布: 面分布: 体分布:

13. 电场强度的计算 -q +q l + p q l = e E+ a P E r E -q +q + P ql » = e E l 2 l 2 3 3 pe pe 4 r 4 r 0 0 [例1]求电偶极子的电场分布 电偶极距 解： 若r>>l，则有：

14. -q +q P' L/2 + E+ r L/2 E » = 2 P 2 ql e E 3 3 pe pe 4 r 4 r 0 0 写成矢量形式即为： 若r>>l，则有：

15. M =2 f sin θ = f l sin f θ + s in = q E l θ l p p e = E sin θ f θ e p M = E × E e 写成矢量形式，即为： 电偶极子在电场中所受的力矩

16. [例2] 如图，求一均匀带电直线在 O点的电场。 a q θ θ 、 已知： 、 、 。 1 2 Y  X 1. 选电荷元 dq=λdl 0 2. 确定 的方向 d d E E r a θ  2 θ 1 3. 确定 的大小 d E q dl 1 λ d l l d E = E π0 4 r 2 投影到坐标轴上 4. 建立坐标,将 解题步骤： dEX=dEcos dEY=dEsin 

17. 5、选择积分变量 0 2 θ Y a θ  X q d E  a 1 dl l 选作为积分变量，则 此例已改好，磁场照此，见三稿P6背面 l = actga =actg(-) =-actg  r dl=acsc2  d =acsc 故

18. 同理可得： = l E pe a 2 0 讨论： 当带电直线长度 →  时， 1 →0， 2 →  , 因此无限长均匀带电直线在其周围产生的电场的场强就为：

19. [例3]求一均匀带电圆环轴线上任一点 x 处的电场。 q a x 、 已知： 、 dq 选电荷元dq，确定dE r a p x x d E y a x E = E 0 = y z z E d 解： 当dq位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。 故由对称性知

20. dq r  a  p x x d E cos=x/r 讨论： （1）、若x=0（即P位于圆环中心）时，E=0 场强表达式与点电荷相同 （2）、若x>>a时，

21. q R x 求： 已知： EP ， ， E d R P x q r dr [例4]求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场 解： dq=ds= 2rdr

22. 讨论： （1）、当R>>x时， （2）、当R<<x时， 再次得点电荷公式

23. [例5]有一半径为R的半球面，均匀带有电荷，电荷面密度为，求其球心处的场强。 x r o' x  R o E 解题步骤 ①、分析电场分布，选择适当模型 ②、建立坐标系，确定积分元 ③、统一变量，积分求解 解：选圆环作为模型，建立如图坐标系，确定积分元：

24. 环宽： Rd ； 面积 2rRd ； r=RcoS  dq=2R2cosd x r o' x  R o E p s s ò ò = = = E dE sin cos d 2 q q q x e e 2 4 0 0 0 而 r2=R2-x2 x=Rsin 积分求解

25. 另选点电荷作为模型 电荷元的场强沿如图 方向，合场强方向沿 方向。 x d r d  R p s E1 p 2 ò ò ò = = j q q E dE d rSin d 2 E pe 4 R 0 0 0 p s s ò = q q q = Sin Cos d 2 e e 2 4 0 0 0 建立如图坐标系，确定积分元 dq=Rrdd (其中r=Rcos)

26. 描述：①、线上某点的切线方向代表此点的场 强方向。 E dS E 五、电场的几何描述-------电力线 ②、电力线的疏密程度代表场强的大小。

27. 规定： 在电场中任一点，垂直通过该点附近，单位面积上的电力线根数，等于该点电场强度的值。 + 即： 性质：、电力线起于+q，止于-q，不自行闭合 、在没有电荷处，电力线不相交。 、电力线指向电势降低方向。 正电荷 负电荷

28. + 一对等量异号电荷的电力线

29. + + 一对等量正点电荷的电力线

30. + q 2q 一对异号不等量点电荷的电力线

31. 定义：通过电场中任意一个给定曲面的电力线的根数，称为该曲面的电场强度通量或电通量。用符号“e”表示。 § 8.3电通量 高斯定理 (1) θ θ r r òò òò òò F = F = q = d E cos dS E d S e e s s s 一、电场强度通量—电通量 1、匀强电场的情况

32. 3、S为闭合曲面， 为场强 dS de > 0 有电力线穿出 dS’ de < 0 有电力线穿入 { >0 穿出>穿入 <0 穿入>穿出 =0 穿入=穿出 （1） 局部曲面电通量 dS 面上电通量： dS’ 面上电通量： （2） 整个S闭合曲面上电通量

33. q + r 二、高斯定理（Gauss’s Law） 1、特例引证： 讨论： （1）、q若为负值，则有 故当式中的q理解为代数值时，有：

34. +q q （2）、若封闭面不是球面，则积分值不变（下图） （3）、若电荷在面外，则有几条电力线穿进面内，必然有同样数目的电力线从面内穿出来，此积分值为零。 （4）、若面内有n个电荷，则积分值为：

35. 2、定理：通过静电场中任一闭合曲面的电通量e，等于包围在该闭合曲面内所有电荷代数和的1/0倍，而与封闭面外电荷无关。即：2、定理：通过静电场中任一闭合曲面的电通量e，等于包围在该闭合曲面内所有电荷代数和的1/0倍，而与封闭面外电荷无关。即： 3、说明： ①、静电场是有源场。 ②、e由曲面内所围电荷产生与外部电荷无关，它是标量； 公式中的电场强度E，指面上任意点的场强，是由曲面内外所有电荷共同产生，是矢量； qi 是曲面内所围电荷；qi是曲面内部所围电荷的代数和。

36. 关键： 选取高斯面， 4、应用：求一些具有特殊对称性的电场的场强 条件：电场具有特殊的（球、面、轴）对称性 ①、高斯面要通过待求场强的点 ②、封闭面的形状应尽量简单，且一般高斯面具有与电场相同的对称性， 一般原则 高斯面的对称中心与场的对称中心相重合 ③ 、封闭面上(或封闭面的一部分上)，各点的场强大小E为常量， 且方向与曲面处处成一 确定的角度， 以便于积分。 或E值虽然变化，但E与曲面法线相垂直。

37. 高斯定理的应用 + Q + R + + + r + + + r r òò òò F = = p 2 = E E d S E dS 4 r e s s [例1] 求一半径为R的均匀带电球面的电场分布 解题步骤： ①、分析对称性 ②、选取适当的高斯面 ③、利用高斯定理求场强 解：（1） r<R E内=0

38. + Q + R + + + r + + + E 高斯面 1 r2 r 0 R （2） r>R

39. E R r Q E r 0 R [例2] 求一半径为R的均匀带电球体的电场分布 解：（1） r<R E的大小与到球心的距离成正比

40. （2） r>R E R r Q = = E E 外 点 pe 2 4 r 高斯面 0 E 1 r 2 r 0 R

41. [例3] 求均匀带电圆柱面的电场分布（沿轴线方向单位长度带电量为λ，忽略边缘效应） λ R r h l 高斯面 解：（1） r<R

42. （2） r>R 高 斯 面 r l E E r 0 R

43. 高斯面 E E σ S [例4] 求均匀带电无限大平面的电场分布 解： E左=E右=E

44. [例5]（8-16） 一厚度为d的均匀带电无限大平板，体电荷密度为，求平板内、外各点的场强。  d o x x S E E 电场分布:面对称，选高斯面 解： 内部：选另一高斯面

45. 讨论：当x > d/2时, 当x < d/2时, r a b Q （提示：令 E’=0 , 解A) [例6]有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b，电荷体密度为 =A/r，在球心处有一点电荷Q 。证明：当A=Q/(2a2)时，球壳区域内场强的大小与r无关。

46. b r b d l q   r q E 0 a a dr  r d l r §8.4 静电场力的功 电势 一、电场力的功 1、单个点电荷产生的电场 故：

47. 可见，在点电荷产生的电场中，电场力对试验电荷所作的功与路径无关，只与始末位置及试验电荷的带电量q0有关。可见，在点电荷产生的电场中，电场力对试验电荷所作的功与路径无关，只与始末位置及试验电荷的带电量q0有关。 2、点电荷系产生的电场 由 q1、q2、…qN N个点电荷组成点电荷系

48. 结论：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷电量的大小及其始末位置有关，与路径无关。结论：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷电量的大小及其始末位置有关，与路径无关。 r r ò = E d l 0 3、任意带电体产生的电场 任意带电体可以划分成许多电荷元，每个电荷元可以看成是一个点电荷，这样任意带电体就可以看成是一个特殊的点电荷系。 说明静电场力是保守力，静电场是保守力场。 4、静电场中的环路定理

49. [例1]（8-28） 用高斯定理和环路定理证明：静电场中，电力线为平行直线的无电荷的区域，必为匀强电场 E1 E2 C D S B A 0 0 E  （1）证明同一条电力线上各点E相等 取如图高斯面： -E1S+E2S=0 E1=E2 (2)证在垂直于电力线方向，任意两条电力线上E值相等 作如图环路 证毕

50. 电势能是一个相对量，要计算静电场中某点的电势能，必须首先选择参考点（即电势能的零点）。电势能是一个相对量，要计算静电场中某点的电势能，必须首先选择参考点（即电势能的零点）。 二、电势能 r r b ò = q E d l - = W W A 0 a ab a b ¥ ò = q q E cos dl 0 = a A ¥ a 与重力场类似，带电体在电场中处于一定位置时也具有一份与位置相对应的能量，称之为电势能。 与重力场中的重力作功对比，得电场力所作的功，等于势能的减少量，或说等于势能增量的负值。 对有限的带电体，通常选无穷远处为静电势能的零点(在实际问题中，有时选择地球表面为零势能点)。即