La construction du nombre à la maternelle

1. La construction du nombreà la maternelle La Ferté Macé le 20 avril 2011.

2. Sommaire Un point d’histoire Quelques remarques concernant le dénombrement Quelques points concernant la construction du concept de nombre qui semblent importants Exemples d’activités « rituelles » possibles Quelles activités selon les niveaux ?

3. Un point d’histoire

4. Un point d’histoire On peut établir un parallèle entre l’histoire de l’humanité et l’histoire scolaire (le cheminement de l’élève) pour la construction du nombre. L’épistémologie (théorie de la connaissance) nous enseigne que l’enfant apprend comme l’Homme a appris.

5. Représenter plusieurs « mêmes » Au début de la P.S. Représentation et « perception globale » d’une petite quantité sans nécessairement utiliser le dénombrement, une conceptualisation ou une symbolisation du nombre. Cf. Premiers pas vers les maths de Rémi Brissiaud

6. Les étapes de la construction du nombre • Avec le développement du commerce (troc), de l’agriculture, etc. Situation de besoin : comment symboliser, conserver une trace, mémoriser, communiquer une quantité (ou une position) ?

7. Représenter / simuler une quantité Première abstraction des choses du réel

8. Représenter et coder une quantité Écrire, garder en mémoire, communiquer

9. Les étapes de la construction du nombre • Le nombre s’impose au quotidien Evolution de la trace : comment la rendre pratique (symbole) et efficace (système) ?

10. Faire évoluer la représentation Vers une formalisation adéquate

11. Les étapes de la construction du nombre • Le nombre s’impose au monde (du local, au régional… vers l’universel) Quel système de représentation est le plus efficace ? Quelle culture commune adopter ?

12. Vers la numération décimale Le code commun culturel de l’humanité

13. Le jeu des pharaons - jeu de Senet (2000 avant J.C.) Les étapes de la construction du nombre • Quels autres usages du nombre ?

14. Les étapes de la construction du nombre • « J’invente le nombre » C’est l’émergence du besoin, d’une nécessité. • « J’utilise le nombre » C’est l’omniprésence de ce besoin au quotidien. • « Je joue avec le nombre » C’est le détournement de l’utilitaire vers le ludique.

15. Epistémologie du nombre • Ces étapes épistémologiques (naturelles) de la construction du nombre (besoin > vécu > plaisir) sont aussi les moteurs de l’apprentissage. • Il s’agit donc pour l’enseignant de proposer aux élèves des situations qui vont l’amener à inventer le nombre, vivre avec le nombre et jouer avec le nombre. • Qu’en disent les programmes ?

16. Les programmes • Approcher les quantités et les nombres • L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets. […]

17. Quelles situations en classe ? A quelles situations de classe correspondent ces trois étapes ? • Besoin > Vécu > Plaisir Approcher les quantités et les nombres […] Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. […] BO du 19 juin 2008 jeux activités de la classe problèmes

18. Quelques remarques concernant le dénombrement

19. I Quelques remarques concernant le dénombrement Remarque préalable : dénombrer c’est trouver le nombre d’éléments d’une collection quel que soit le moyen utilisé pour trouver ce nombre. 1°) Les différentes manières de dénombrer a) Dénombrement par reconnaissance immédiate des petites quantités b) Dénombrement par comptage un par un : on utilise la comptine numérique Ce qui est difficile c’est de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. • Première remarque concernant le dénombrement par comptage : Pour réussir à dénombrer les éléments d’une collection par comptage l’enfant doit comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets. Il doit aussi, en amont : • comprendre que la nature des objets à compter n’a pas d’importance • comprendre qu’on peut compter les objets dans n’importe quel ordre. • - savoir énumérer les éléments d’une collection c’est-à-dire savoir passer tous les éléments en revue sans en oublier et sans en désigner un deux fois.- connaître la comptine numérique- savoir associer à chaque élément de l’ensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans l’ordre. Sommaire

20. Deuxième remarque concernant le dénombrement par comptage : Etant donné les difficultés posées par le dénombrement par comptage, Brissiaud préconise dans son ouvrage « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à l’école maternelle » d’autres activités à pratiquer en PS et début de MS. Sommaire

21. Les propositions de Brissiaud consistent en un travail sur les liens entre les nombres, les décompositions : Exemple en PS : « un » « un » « un » « et un » « quatre » Sommaire

22. Troisième remarque concernant le dénombrement par comptage : On peut procéder ainsi : Si les objets sont déplaçables : « trois » « quatre » « un » « deux » Si les objets ne sont pas déplaçables : « quatre » « trois » « deux » « un » Sommaire

23. c) Dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) qui servent de repères Remarque :On ne peut pas bien concevoir la notion de nombre si on n’est pas conscient des liens qui unissent les nombres : Exemples : « 3 est plus petit que 4 » ; « 3 et 1 ça fait quatre ». « deux » « et encore un » « ça fait trois » Sommaire

24. Quelques points concernant la construction du concept de nombre qui semblent importants

25. II Quelques points concernant la construction du concept de nombre qui semblent importants 1°) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour l’élève …) Exemple (niveau GS) inspiré d’une proposition de Dominique Valentin Salle de jeu Dortoir Combien de bébés font encore la sieste dans le dortoir ? Combien de bébés ont fini leur sieste et sont dans la salle de jeux ? Sommaire

26. Remarque : pour des idées de problèmes, voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un pour GS) et l’ouvrage de l’équipe ERMEL pour la GS : Sommaire

27. b) Faire comprendre qu’un nombre a plusieurs représentations et qu’il faut savoir passer d’une représentation à une autre Sommaire

28. Ce qui sera poursuivi au cycle 2 : Sommaire

29. Et au cycle 3 : Sommaire

30. Remarques concernant les représentations : - Il semble souhaitable de ne pas toujours utiliser la même configuration de doigts - La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (remarque : si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) c) Ne pas oublier que le nombre a aussi « un aspect ordinal » : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Exemple d’activité : Boîte contenant un objet « Comment faire comprendre dans quelle boîte se trouve l’objet, sans montrer cette boîte » Sommaire

31. Remarque : les activités permettant de faire le lien entre «aspect cardinal» et «aspect ordinal» du nombre sont intéressantes (exemple avec le calendrier : faire comprendre qu'un numéro de jour représente aussi une quantité de jours écoulés). d) Le choix des différentes contraintes (ou variables didactiques) permet de prendre en compte la diversité des élèves. Premier exemple (situation de référence proposée par R. Charnay) On dispose d’un nombre donné de bouteilles et de bouchons (en nombre plus important que le nombre de de bouteilles) ; l’élève doit préparer juste ce qu’il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Première variante : le nombre de bouteilles est assez important mais les bouchons sont à proximité des bouteilles (il s’agit de s’approprier la situation et de faire en sorte que la contrainte « un bouchon pour chaque bouteille » soit respectée). Deuxième variante : il y a 5 à 6 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont proches mais il faut préparer les bouchons sur un plateau avant de les mettre sur les bouteilles. Troisième variante : il y a 4 bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés ; l’élève doit aller chercher les bouchons avec un plateau en une seule fois (ou en plusieurs fois puis en une seule fois). Quatrième variante : il y a jusqu’à dix bouteilles (à adapter au niveau) ; les bouchons sont éloignés mais dans des paniers de un, deux ou trois bouchons ; l’élève doit aller chercher les bouchons en plusieurs fois puis en une seule fois. Sommaire

32. Deuxième exemple (qui s’inspire d’une situation proposée par D. Valentin) L’élève doit poser un jeton sur chaque fleur d’un dessin représentant un pot de fleur : Est-il possible de proposer des tâches différenciées aux élèves pour tenir compte des capacités des uns et des autres ? On peut y réfléchir en essayant de voir dans quelle mesure on peut jouer sur les variables suivantes : - la taille des nombres : on peut faire varier le nombre de fleurs. - l'accessibilité des jetons : les jetons sont à portée de main les jetons sont à distance les jetons sont à distance et l'élève doit aller chercher d'un coup tous les jetons. Sommaire

33. - les couleurs des fleurs : les fleurs doivent être de couleurs toutes différentes il doit y avoir trois fleurs rouges il doit y avoir une fleur rouge et deux fleurs jaunes - etc. Sommaire

34. Autres exemples illustrés • Une situation en petite section. L'élève reçoit un ou plusieurs véhicules et un panier. Les places des voyageurs sont inoccupées. Il doit prendre juste ce qu'il faut de voyageurs pour remplir les voitures.

35. Autres exemples Une situation en moyenne section. Variante 1 • La consigne est de "rapporter en une fois, juste ce qu’il faut de garages pour qu’il y en ait un pour chaque voiture. Il ne faut pas qu’il y ait de garage vide". Variante 2 • La consigne est de "Aujourd’hui, vous n’irez pas chercher les garages tout de suite après que je vous ai donné les voitures mais seulement cet après midi (ou demain)". Variante 3 • La consigne est de "Aujourd’hui, ce n’est pas vous qui irez chercher les garages mais vous les commanderez à un marchand. Vous lui direz ce que vous voulez et lui devra vous les préparer. Puis vous irez ensemble vérifier si vous avez réussi". Une situation de réinvestissement • Chaque enfant reçoit quelques lapins (2 ou 3 au début). Ces lapins sont alors mis dans une boite au nom de l'élève. • L'activité consiste à élaborer une stratégie pour pouvoir commander exactement une carotte par lapin.

36. Illustrations

37. En conclusion: • Quelles sont les variables? • La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. (progression) B0 HS du 19 juin 2008 • La mise à distance • Le report dans le temps • Situation de communication (interlocuteur)

38. Les trois fonctions du nombre: • Mémoire d’une quantité • Mémoire du rang • Anticipation: donner le résultat d’une action sans avoir à la réaliser.

39. Les trois concepts: • Le concept de collection: (objets unis par une propriété commune) • Le concept de désignation: (remplacer un objet par un symbole) • Le concept d’énumération: (pointer une et une seule fois tous les éléments d’une collection)

40. Exemples d’activités « rituelles » possibles

41. III Exemples d’activités « rituelles » possibles 1°) Les activités rituelles traditionnelles, des occasions pour poser des problèmes mathématiques a) La gestion des absents/présents - On dénombre les présents on doit trouver le nombre d’absents. - On compare le nombre d’absents hier et aujourd’hui - Les élèves qui arrivent accrochent leur étiquette dans l’ordre sous une file numérique. On peut ensuite poser des questions : Qui est arrivé en premier ? Qui est arrivé en deuxième ? Qui est arrivé avant Eric ? Qui est arrivé après Nadia ? - Utilisation de cartes à points Remarque préalable : Les cartes à points sont une représentation des nombres qui peut être utilisée au cycle 1 et au cycle 2 et qui est intéressante au niveau de la liaison GS/CP (en particulier pour approcher la notion de dizaine). Sommaire

42. Sommaire

43. Un exemple d'utilisation : Tableau des absents-présents dans une classe de MS-GS Ensuite, on se compte et on trouve qu’on est 23. Certains élèves peuvent alors éventuellement faire le lien entre le 2 et le nombre de cartons pleins et entre le 3 et les trois points du dernier carton ... Sommaire

44. Problème : Voici le tableau des présents dans une autre classe ? Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ? Sommaire

45. b) L’utilisation du calendrier 17 On est le 17. 1°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ? 2°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ? 3°) Combien de jours jusqu’à l’anniversaire de Pierre ? Travail sur la feuille du mois : quel jour était le 1er du mois ? Combien y a-t-il eu de mardis le mois dernier ? Quel jour de la semaine était le 20 ? Recherche de la durée (en jours) d’un événement (vacances, absence d’un élève) sur le calendrier . Sommaire

46. c) Le goûter - Des assiettes sont disposées sur une table. Problème : mettre un gobelet en face de chacune des assiettes. Variantes de la situation : - le nombre d’assiettes est assez important mais les gobelets sont à proximité des assiettes (il s’agit de s’approprier la situation et de faire en sorte que la contrainte « un verre pour une assiette » soit respectée). - il y a 5 à 6 assiettes (à adapter au niveau) ; les gobelets sont proches mais il faut préparer les gobelets sur un plateau avant de les mettre en face des assiettes. - il y a 4 assiettes (à adapter au niveau) ; les gobelets sont éloignés ; l’élève doit aller chercher les gobelets avec un panier en une seule fois (ou en plusieurs fois puis en une seule fois). - il y a jusqu’à dix assiettes (à adapter au niveau) ; les gobelets sont éloignés mais dans des paniers de un, deux ou trois gobelets ; aller chercher les gobelets en plusieurs fois puis en une seule fois. - 12 enfants ; des yaourts par packs de 4 dans le frigo; combien faut-il aller chercher de packs de yaourts? Sommaire

47. Fatima Ahmed Paul Louise Sonia Dylan Luc Jean Seppi Et si on est 14 ? Ali Habib Sarah Sommaire

48. d) La météo Combien y a-t-il eu de jours d’école avec du soleil durant le mois ? Sommaire

49. 2°) Intégrer un petit moment d’activités mathématiques quotidiennes dans les rituels - Comptines de Brissiaud (travail sur les décompositions et les doubles) - « Le rituel du dé » (PS et MS) Tous les matins, un élève lance un dé et doit aller chercher une quantité d’objets correspondant à la quantité indiquée par le dé. Variables : - taille des nombres représentés sur les faces du dé et types de représentations - objets à proximité ou éloignés - si les objets sont éloignés possibilité ou pas d’emporter avec soi un référent (étiquette avec constellation par exemple) - etc. - Greli-grelo Un enfant met un certain nombre de cailloux (moins de 5) dans une des mains de l‘enseignant en les comptant à haute voix. Un autre enfant fait de même dans l'autre main. L’enseignant rassemble les deux mains en les fermant et tout le monde dit : "Greli-grelo, combien j'ai d'sous dans mon sabot?"  Propositions puis validation par comptage. Sommaire

50. - Le soir on met des objets dans une boîte. Le lendemain on doit se souvenir de ce qu’il ya dans la boîte (s’il y a beaucoup d’objets, les enfants peuvent noter ce qu’ils veulent sur un bout de papier ; la lecture d’un papier écrit par un camarade peut conduire à la nécessite d’élaborer un code commun) Situations : «  vers les maths » Sommaire