第三章时间特性分析法

第三章时间特性分析法 时间特性法是分析系统的方法之一，而分析的基础，是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有频率特性法和根轨迹法。 • 控制系统都是在时间域内进行工作的。因此，时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的全部信息； • 主要分析一阶和二阶系统的时间响应，最后介绍高阶系统的时间响应； • 主要是分析系统的稳定性、稳态精度和瞬态响应的性能指标这三个方面。

第一节时间响应与典型输入信号 1 .时间响应的概念控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系称为系统的时间响应。描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。时间响应可分为瞬态响应与稳态响应。 1）瞬态响应系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应。 2）稳态响应在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态响应。

图3-1表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响应的形式。图3-1表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响应的形式。

系统的输出量在ts（调整时间）时刻达到稳定状态，在t从0→ts时间内的响应过程称为瞬态响应；当t→∞时，系统的输出即为稳态响应。系统的输出量在ts（调整时间）时刻达到稳定状态，在t从0→ts时间内的响应过程称为瞬态响应；当t→∞时，系统的输出即为稳态响应。当t→∞时，y(t)收敛于某一稳定值，则系统是稳定的；若y(t)呈等幅振荡或发散，则系统不稳定。瞬态响应直接反应了系统的动态特性，稳态响应偏离希望输出值的程度可以衡量系统的精确程度。

二、典型输入信号 • 控制系统的动态特性可以通过在输入信号作用下，系统的瞬态响应来评价的。系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。 • 选取输入信号应当考虑以下几个方面 • 输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况 • 输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析处理 • 输入信号能使系统在最恶劣的情况下工作

阶跃信号如图3-2所示，其函数表达式为 1. 阶跃信号当R=1时，叫做单位阶跃函数，记为1(t)。单位阶跃函数的拉氏变换为图3-2 阶跃信号在t=0处的阶跃信号，相当于一个数值为常值的信号，在t≥0突然加到系统上。

2.斜坡信号（或速度信号） 斜坡信号如图3-3所示，其函数表达式　　　　斜坡函数的拉氏变换为图3-3 斜坡信号当R=1时，叫做单位斜坡函数。　　这种信号相当于控制系统中加一个按恒速变化的信号，其速度为R。

3．抛物线信号（加速度信号） 抛物线信号如图3-4所示，其数学表达式为抛物线信号的拉氏变换为图3-4 抛物线信号该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变化的信号，加速度为R，当R=1时，叫做单位抛物线信号。

4.脉冲信号 脉冲信号如图3-5所示，其数学表达式为其中，脉冲宽度为h,脉冲面积为1。若对实际脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲函数，记为(t), 图3-5 脉冲信号单位脉冲函数的拉氏变换为

5.正弦信号 正弦信号如图3-6所示，其数学表达式为正弦信号的拉氏变换为图3-6 正弦信号

三、瞬态响应的性能指标 • 用以衡量系统瞬态响应的几项参数，称为性能指标。一般以输入端加入单位阶跃函数时的输出响应加以规定。 • 线性系统的性能指标取决于系统本身的特性而与输入信号的大小无关。同一个线性系统对不同幅值阶跃输入的瞬态响应的区别，仅在于幅值成比例地变化，响应时间完全相同，因此，对以单位阶跃输入瞬态响应形式给出的性能指标具有普遍意义。

图3-7 控制系统的性能指标

1.延迟时间td 响应曲线第一次达到稳态值的50%所需的时间，叫延迟时间。 2.上升时间tr 响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零上升到稳态值所需的时间。 • 对于过阻尼系统（>1）,理论上到达稳态值时间需要无穷大，通常采用响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间； 3.峰值时间tp 响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间叫做峰值时间。

4.最大超调量Mp和最大百分比超调量Mp% 从1开始计算的响应曲线的最大超调量值叫做最大超调量Mp。通常采用百分比表示最大超调量Mp%，定义为：单位阶跃响应曲线偏离稳态值的最大差值与稳态值之比的百分值，即其中，y(∞)代表阶跃响应的终值，即稳态值。最大超调量Mp的数值，直接说明了系统的相对稳定性。

5.调整时间ts 在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数作一个允许误差范围，响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间，叫做调整时间。调整时间与控制系统的时间常数有关。允许误差的百分比选多大，取决于设计要求，通常取±5%或±2%。调整时间是评价一个系统响应速度快慢的指标。 6.振荡次数N 在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。

第二节一阶系统的瞬态响应 一、一阶系统的数学模型能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统的典型环节是惯性环节。惯性环节的传递函数为 (3-1) 这种系统可看作积分环节被反馈通道包围而成，见图3-8。

二.一阶系统的单位阶跃响应 给一阶系统输入阶跃信号，根据式（3-1）进行拉氏反变换，求出微分方程的解y(t)即为一阶系统的单位阶跃响应。单位阶跃信号的拉氏变换为此式代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为 (3-2) 将（3-2）式展开成部分分式，可得 (3-3)

对上式进行拉氏反变换得 (3-4) 上式中的第一项为稳态响应，第二项为瞬态响应。阶跃响应曲线如图3-9。T称为时间常数，它影响到响应的快慢，因而是一阶系统的重要参数。

当t=3T时间时，响应已达到稳态值的95%，当t=4T时，达到98.2%。因而一阶系统的调整时间ts=(3~4)T，以此来评定响应时间的长短。当t=3T时间时，响应已达到稳态值的95%，当t=4T时，达到98.2%。因而一阶系统的调整时间ts=(3~4)T，以此来评定响应时间的长短。时间常数T可通过响应曲线求得，可由下述两种方法确定： 1.在响应曲线上，找到稳态值的63.2%的A点，并向时间轴t作垂线，与其交点值，即为时间常数T。 2.由t=0那一点O（即原点）作响应曲线的切线，与稳态值交于A´点。由A´点向时间轴t作垂线，与其交点值即为时间常数T。此种方法可由下式得到证明。（3-5） (3-5)式即为斜率值，由OA´T即可知上述求时间常数的求法是正确的。

三、一阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡函数的拉氏变换为代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为（3-6）展开成部分分式（3-7）取（3-7）式的拉氏反变换，可得（3-8）

一阶系统在单位斜坡输入时的误差为 （3-9）当t→∞时，，因而e(∞)=T。系统对单位斜坡输入的时间响应y(t)和输入信号x(t)表示于图3-10中。从图中也可以看出，当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信号输入的误差等于时间常数T。图3-10　一阶系统单位斜坡响应

四、一阶系统的单位脉冲响应 这时式（3-2）为单位脉冲函数的拉氏变换为（3-10）取其拉氏反变换得（3-11）图3-11　一阶系统单位脉冲响应

1.当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换分别为： 除前面分析之外，还有两点值得提出：阶跃输入斜坡输入脉冲输入对应于不同输入时的响应分别如下列各式阶跃输入斜坡输入脉冲输入

2.当输入信号为单位值时，但如果一阶系统的传递函数的形式为2.当输入信号为单位值时，但如果一阶系统的传递函数的形式为 (3-12) 此时，对应于单位输入信号时，其输出响应分别如下式各式所示：阶跃输入斜坡输入斜坡输入

例3-1 已知某一单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的单位阶跃响应。解：首先求出系统的闭环传递函数因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（3-12）式可知

因此，单位阶跃响应表达式为 响应曲线如图3-12所示。图3-12 的单位阶跃响应曲线

例3-2两个系统的传递函数分别为 系统１系统２试比较两个系统响应的快慢。解：系统响应的快慢主要指标是调整时间的大小，一阶系统的调整时间是由时间常数T决定的。系统1的时间常数系统2的时间常数由于T1<T2，因此系统1的响应速度快。达到稳态值的时间，如以±2％来算，系统1的调整时间 t1s=4T1=8(s),而系统2的调整时间为t2s=4T2=24(s)，因此系统1比系统2快3倍。

例3-3某一系统单位阶跃响应曲线如图3-13所示，试写出其传递函数例3-3某一系统单位阶跃响应曲线如图3-13所示，试写出其传递函数解：在响应曲线上，找到稳态值（此值为10）的63.2％（即6.32）点，此点所对应的时间为0.1(s），即为时间常数，而传递函数的增益k值，可由输出的稳态值10与输入的阶跃值１的比值得到，即（1／s）因此，系统的传递函数为图3-13某系统单位阶跃响应曲线

例3-4 已知控制系统的微分方程为 试用Laplace变换法，求该系统的单位脉冲响应g(t) 和单位阶跃响应h(t)，并讨论二者的关系。解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为系统的单位脉冲响应为

系统的单位阶跃响应为 比较g(t)和h(t)，有或由此可以得出结论：系统对某种输入（单位阶跃）的导数（单位脉冲）的响应等于系统对该输入的响应（ h(t) ）的导数（）；系统对某种输入（单位脉冲）的积分（单位阶跃）的响应等于系统对该输入的响应（ g(t) ）的积分（）。

对于任意线性系统而言，若一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样的，若一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分，但是，如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。对于任意线性系统而言，若一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样的，若一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分，但是，如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。

第三节二阶系统的瞬态响应 一个系统能用二阶微分方程描述或是系统的传递函数分母多项式s的最高幂次为2的系统，称为二阶系统。无论哪一种物理形式的二阶系统，最后传递函数都可以变为下述的标准形式一、二阶系统的数学模型（3-12）式中为阻尼比、n为无阻尼自然频率（rad/s）。二阶系统的瞬态响应的性能完全由与n确定, 因此，与n为二阶系统的重要参量。

二、二阶系统的阶跃响应 当输入为单位阶跃信号时，代入到（3-12）式，可得到（3-13）对上式进行拉氏反变换，可得二阶系统的单位阶跃响应。从式（3-12）可求得二阶系统的特征方程（3-14）它的两个根，即为二阶系统的闭环极点：（3-15）

对式（3-13）进行分解得 （3-16）下面分别对二阶系统在=1，>1以及0<<1三种情况下的瞬态响应进行讨论，假设初始状态为零。 (一)重根时，=1，s1,2=-n临界阻尼情况（3-16）式变为：（3-17）

对上式进行分部分式，可得 （3-18）对（3-18）式拉氏反变换，得到（3-19）响应曲线为一指数曲线形式。它单调上升、无超调、无振荡，t时，y(t)=1，所以无稳态误差。

(二)两个不等的负实根时，>1， 过阻尼情况 (3-16)式可以写成部分分式为 (3-20)

求上式的拉氏反变换，得 (3-21) 系统包含两类瞬态衰减分量，响应为指数函数曲线形式。单调上升，无振荡，过渡过程时间长，，t时，y(t)=1，所以无稳态误差。

（三）一对共轭复根时，0<<1，欠阻尼情况 由于<1，（3-12）式得，s1,2=- n±jd 式中　，称为阻尼自然频率（rad／s）这时，采用部分分式法，式（3-10）变为 (3-22)

上式的拉氏反变换为 (3-23) 无稳态误差；呈现衰减振荡过程，振荡频率是阻尼自然频率d；其振幅衰减的快慢由和n决定；振荡幅值随 减小而加大。图3-14 阻尼比不同时，二阶系统的单位阶跃响应

（四）一对复根时，=0，零阻尼情况 s1,2=±jn，将=0代入式（3-15）可得 y(t)=1-cos nt（t≥0） (3-24) 二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，振荡频率为n。稳定边界

（五）一对正实部虚根时，<0，负阻尼情况 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定图3-15 负阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线

频率n和d的物理意义： • n是无阻尼（=0）时二阶系统等幅振荡的振荡频率，因此称为无阻尼自然频率； • 是欠阻尼（0<<1）时衰减振荡的振荡频率，因此称为阻尼自然频率； • Td=2/d称为阻尼振荡周期。 • 显然n< d，且随着的增大，d的值相应地减小。

􀀹几点结论： 1、二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性： < 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； = 0时，出现等幅振荡； 0< <1时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快； ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长。 2、 一定时， n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，响应的快速性越好。 3、工程中通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡

三、二阶系统的单位斜坡响应 一个随动系统，其输入端以一个连续等速信号给定时，其响应就属斜坡响应。当输入单位斜坡信号时，（3-25）按前面分析单位阶跃响应的同样方法，可以得到（一）0<<1 斜坡响应为（3-26）

（二） = 1 斜坡响应为 (3-27) （三）>1 斜坡响应为（3-28）响应曲线如图3-16所示。

图3-16 二阶系统的单位斜坡响应曲线

四、二阶系统的单位脉冲响应 当输入单位脉冲信号时，X(s)=1, （3-29）（一）0<<1 脉冲响应为（3-30）（二）=1脉冲响应为 (3-31)

（三）>1脉冲响应为 (3-32) 图3-17 二阶系统的单位脉冲响应曲线

表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式

第三章时间特性分析法

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