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多元函数微分学

多元函数微分学. Calculus of Functions of Several Variables (2) 偏导数、全微分. 2 多元数量值函数的导数和微分. 一、方向导数与偏导数 ( Directional and Partial Derivatives ). 一元函数在一点的导数表示函数在该点 的变化率 —— y 随 x 变化的快慢程度；. 对多元函数 , 要考察其在一点处变化的快 慢程度，必须先指明沿哪个方向来研究 其变化率，这就引出 方向导数 ；. 设 是平面上某一向量. 由于直线.

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多元函数微分学

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Presentation Transcript

  1. 多元函数微分学 Calculus of Functions of Several Variables (2) 偏导数、全微分

  2. 2多元数量值函数的导数和微分 一、方向导数与偏导数 (Directional and Partial Derivatives) • 一元函数在一点的导数表示函数在该点 的变化率—— y随 x变化的快慢程度； • 对多元函数,要考察其在一点处变化的快 慢程度，必须先指明沿哪个方向来研究 其变化率，这就引出方向导数；

  3. 设 是平面上某一向量 由于直线

  4. 相应地函数在此方向上的改变量： 定义1(方向导数) • 方向导数的几何意义 — 斜率.

  5. 的斜率的极限（当这个极限位置唯一存在时）。的斜率的极限（当这个极限位置唯一存在时）。 • 特别地，沿 x轴、y轴 的方向导数就是偏导数。 定义2(偏导数)

  6. 定义1及定义2很容易被推广到 n元情况. (书上P.25)

  7. 偏导数的几何意义

  8. 例1设 解(1) 说明此函数在(0, 0) 点的连续性。 此二重极限不存在，故函数在(0,0)不连续。

  9. (2) 说明此函数在 (0, 0)点沿任意方向的方向 导数都存在.

  10. 这个例子说明二元函数即使在一点沿任何 方向的方向导数都存在，也不能保证在该 点连续；亦即，对多元函数 连续 可偏导 如 即它在 (0, 0) 点是连续的，可是它的两个偏 导数均不存在. 请看——

  11. 的情况下,仅 分量变化的一元函数的导数 • 由于所有偏导数都可以看作其它分量不变 的导数，因此, 对简单多元函数, 前面学的 求导法则仍可以用。

  12. 例2设 解

  13. 二、全微分(Total Differentials) 定义3(全微分)

  14. 其中 是改变

  15. 从定义可知函数 在 点可微 • 与‘一元’相同，可微函数必连续，

  16. 特别地 处的所有偏导数均存在 定理1（可微的必要条件） 沿任意方向的方向导数都存在， 且

  17. 证在可微的条件下，根据定义有 于是

  18. 即 在 沿任意方向的方向导数均存 在。特别地，各偏导数全存在, 又因各基

  19. 这即表明，在可微条件下， 4月16日作业 P.19.习题5.2—N.6 (单), N.7, N.8 P.49.习题5.3—N.1(单), 2— 6

  20. (2) 若函数 点点可微, 则称它为 量即自变量的微分,于是由 式给出的 • (1) 同“一元”一样, 规定自变量的改变 的全微分的计算式为 可微函数, 于是函数在任意点的改变量

  21. 反之亦然； (3) 一元函数可导与可微等价，多元函 数怎样？— 前面 例1表明, 即使所有方 向导数都存在, 都不能保证其连续, 更 谈不上可微了, 再看下例。

  22. 例3证明函数 在(0,0)点 两个偏导数都存在，但它却不可微。 证 (1)在 (0, 0)点两个偏导数都存在,

  23. 故 在(0, 0)点不可微。 同理 (2)再证其不可微 不存在

  24. 证[以下在 中作证明。由定义, 只需证 定理2(可微的充分条件) 若

  25. 微分中值定理 无穷小

  26. 定理2给出了可微的一个充分条件，须 • 注意，多元可微函数的偏导数未必连续！ 证明函数 例4 但两个偏导数在该点间断. 在(0,0)点可微, 解

  27. 所以函数 在 (0, 0) 点可微。

  28. 所以 在 点间断。 但是

  29. 自学 • 多元数量值函数的连续、可偏导、可微 • 三者之间的关系： 连续 可偏导 可微 • 全微分在近似计算与误差估计中的应用

  30. 设任一方向上的单位向量为 or 三.梯度(gradient)与方向导数的关系 • 以下来推导方向导数的简便算法。 它可表示成

  31. j

  32. 出向量 ， 然后将 在 方向上投影即可. • 当 即当 与 同方向时, 方向导数取最大值为 , 即 在 点沿 的方向变化最快 • 以上说明—— • 计算任意方向上的方向导数，关键在求 (所谓变化最速方向)。

  33. grad 为 在 点的梯度。 grad or 定义4 ( 梯度Gradient ) 称向量 • 引入向量微分算子: (Nabla) 则方向导数： 而全微分：

  34. 的方向导数. 例5 问在该点沿哪个 求最大方向导数值； 方向的方向导数最大？ 沿什么方向不变 u沿哪个方向减少得最快？ 化？ (书上P.35-例3.11) 解梯度

  35. (4) 沿负梯度方向： , u减小得最快； (2) 方向导数取最大值的方向即梯度方向： 若单位化: (3) 方向导数的最大值 = 梯度的模：

  36. (5) 设 方向不变化。 • 以下是用 Math.4 生成的该函数的 Plot3D • 与 ContourPlot图形。

  37. Plot3D图 ContourPlot图

  38. P.49 - 习题5.3 — N.7, N.18 N.22 ~ 4月19日作业

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