第十章 电磁感应 §10-1 电磁感应定律 §10-2 动生电动势 感生电动势 §10-3 电子感应加速器 涡电流 §10-4 自感与互感 §10-5 磁场能量

1. 第十章 电磁感应 §10-1 电磁感应定律 §10-2 动生电动势 感生电动势 §10-3 电子感应加速器 涡电流 §10-4 自感与互感 §10-5 磁场能量 磁悬浮列车 首 页 上 页 下 页 退 出

2. 前面所讨论的都是不随时间变化的稳恒场 我们现将研究随时间变化的磁场，电场，以进一步揭示电与磁的联系。

3. §10-1 电磁感应定律 一、 法拉第电磁感应定律 1、电磁感应现象： 两种情况： 回路某一部分相对磁场运动或回路发生形变使回路中磁通量变化而产生电流 回路静止而磁场变化使回路中磁通量变化而产生电流

4. 2、法拉第电磁感应定律 (１）感应电动势的概念 ①从全电路欧姆定律出发——电路中有电流就必定有电动 势，故感应电流应源于感应电动势。 ②从电磁感应本身来说：电磁感应直接激励的是感应电动势。 如何定量计算感应电动势的大小？

5. 不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比。即不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比。即 ( ２）法拉第电磁感应定律 ①在SI制中 K=1 ②式中的负号是楞次定律的数学表示 ③若为N 匝线圈，则 式中=N 称作磁通匝链数，简称磁链。

6. (3）磁通计 如果闭合回路为纯电阻R 时，则回路中的感应电流为 那么t1～ t2时间内通过导线上任一截面的感应电量大小为 式1 , 2中是t1, t2时刻回路中的磁通。 上式说明，在一段时间内，通过导线截面的电量与这段时间内导线所围磁通的增量成正比。 ＊：如果能测出导线中的感应电量，且回路中的电阻为已知时，那么由上面公式，即可算出回路所围面积内的磁通的变化量——磁通计就是根据这个原理设计的。

7. 二、楞次定律 １、定律内容： 　闭合回路中产生的感应电流的方向，总是使得这感应电流在回路中所产生的磁通去补偿（或反抗）引起感应电流的磁通的变化。 *：注意其“补偿”的是磁通的变化，而不是磁通本身。

8. N S N S 2、感应电流方向的判断 确定外磁场方向→分析磁通量的增减△m→运用“反抗磁通量的变化”判断感应电流磁场的方向→运用右手缧旋法则确定感应电流方向（即感应电动势方向）。 3、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的具体体现。

9. §10-2 动生电动势 感生电动势 感应电动势的非静电力实质？ 研究表明对应于磁通变化的两种方式，其产生电动势的非静电力的实质是不同的。 一是磁场不变,回路的一部分相对磁场运动或回路面积发生变化致使回路中磁通量变化而产生的感应电动势，谓之动生电动势。 另一种情况是回路面积不变,因磁场变化使回路中磁通量变化而产生的感应电动势,谓之感生电动势。

10. ＋ ＋ a v fm b 则由 知电子将向下堆积，而a端将因缺 少电子而带正电， 一、动生电动势 1、动生电动势的经典电子理论解释 图中导线ab以v向右切割磁力线，导体中自由电子也以v速向右运动。

11. ＋ ＋ k 电子又将受到一个电场力 向上， a ƒe v fm E/ b 于是在导体内就形成一个由ab的附加电场E/， 当 fe 与 fm平衡时,即有eE=evB,于是ab两端形成稳定的电势差 如果把这段导体看成电源，那么电源中的非静电力就是洛仑兹力，其电动势的大小，即为

12. 由电源电动势的定义 式中 是单位正电荷在磁场力作用下的位移。 2、动生电动势计算式的一般表示式 在任意的稳恒磁场中，一个任意形状的导线线圈L(闭合的或或不闭合的)在运动或发生形变时，各个线元的速度v 的大小和方向都可能是不同的。这时，在整个线圈L中所产生的动生电动势为

13.          ３、产生动生电动势过程中的能量转换 产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力，说明洛仑兹力在输运电荷的过程中作了功，可在§9-4中已交待因洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速度而不做功，这是一对矛盾 。 在运动导体中载流子具有随导体本身的运动速度v，而受洛仑兹力 fmv=qvB 载流子相对于导体的定向运 动速度u，所受洛仑兹力 fmu=quB 总洛仑兹力 Ｆ＝ qvB＋ quB

14. 载流子的合速度          总的洛仑兹力的功率为 利用混合积公式

15. 由前述可知 可知 所以总的洛仑兹力的功率为零，即总的洛仑兹力仍然不做功。 但为维持导体棒以速度v作匀速运动，必须施加外力以克服洛仑兹力的一个分力fmu=qu×B。 即外力克服洛仑兹力的一个分力fmu=qu×B所做的功率fmu·v 刚好等于通过洛仑兹力的另一个分力fmv对电子的定向运动所做的正功的功率 fmv·u。

16. 即，总的洛仑兹力不对电子作功，而只是传递能量。在这里，洛仑兹力起到了能量转化的传递作用。即，总的洛仑兹力不对电子作功，而只是传递能量。在这里，洛仑兹力起到了能量转化的传递作用。

17. 例10－1长为L的金属棒oa在与B的均匀磁场中以匀角速绕o点转动，求棒中的动生电动势的大小和方向。例10－1长为L的金属棒oa在与B的均匀磁场中以匀角速绕o点转动，求棒中的动生电动势的大小和方向。 解：在 oa 棒上离o点l处取微元dl v与B垂直，且 则oa棒所产生的总动生电动势为 动生电动势的方向： 由v×B知，其方向由a指向o。

18. Ｉ 例10－2 一金属棒ab与长直电流I且共面，其相对关系如图所示，ab以匀速v平行于长直导线向上运动，求金属棒中的动生电动的大小和方向。 解: 在ab上取 dl,与长直导线的距离为l,该点的磁感强度为 ⊕ ab上的感应电动势 由vB可判断,其方向从b到a，即a点电势高。

19. Ｂ 则a端电势高, 则a端电势低。 例10－3 一棒ab，绕OO／轴转动，ao长l2,bo长l1，匀强磁场B竖直向上，求动生电动势ab

20. N 例10－４ 折线状导线oMN在匀强磁场B中以角速度绕o点转动，如图所示，求动生电动势 0 60 M ( OM=NM=a)。 o 解：同上理 (2)等效切割长度为ON（ON为辅助线）

21. B                     a b R 例10－5　四根辐条的金属轮子在均匀磁场B中转动，转轴与B平行，轮子和辐条都是导体，辐条长为R，轮子转速为n，则轮子中心a与轮边缘b之间的感应电动势为---------------------，电势最高点是在-----------处。 解：由于轮子绕轴转动时，轮子边缘没有切割磁力线，故不产生感应电动势。 所以轮子中心a与轮边缘b之间的感应电动势即为一根辐条两端a、b之间的感应电动势： 由于 故a端的电势高于b端的电势。即a端的电势最高。

22. 0  b c a 0/ B d  no ４、导体线圈在磁场中旋转时感应电动势的计算 如图，在一均匀磁场中，矩形线圈面积为S,共为N匝，可绕00/轴旋转，设t = 0 时线圈平面的法线方向n0与B的夹角为 = 0，若线圈角速度为，则 t 时刻穿过该线圈的磁通为 由法拉第电磁感应定律 电动势的实质依然是动生电动势 ,上述为交流发电机的工作原理

23. 例10－6　由导线弯成的宽为a高为b的矩形线圈，以不变速率v平行于其宽度方向从无磁场空间垂直于边界进入一宽为3a的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直（如图），然后又从磁场中出来，继续在无磁场空间运动。设线圈右边刚进入磁场时为t=0时刻，试在附图中画出感应电流I与时间t的函数关系曲线。线圈的电阻为R，取线圈刚进入磁场时感应电流的方向为正向。（忽略线圈自感）例10－6　由导线弯成的宽为a高为b的矩形线圈，以不变速率v平行于其宽度方向从无磁场空间垂直于边界进入一宽为3a的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直（如图），然后又从磁场中出来，继续在无磁场空间运动。设线圈右边刚进入磁场时为t=0时刻，试在附图中画出感应电流I与时间t的函数关系曲线。线圈的电阻为R，取线圈刚进入磁场时感应电流的方向为正向。（忽略线圈自感）

24. 解：从 到 ，矩形线圈的 边以 切割磁力线， 电动势为逆时针方向、大小为 I 从 到 ，矩形线圈内磁通 量不变， ； (Bvb)/R 3t 0 4t t -(Bvb)/R 从 到 ，矩形线圈的另一条边 切割磁力线，电动势为顺时针方向、大小 电流 电流 按题意，此时电流为正（逆时针）； 按题目规定I <0

25. 二、感生电动势的概念 1、感生电场（涡旋电场）的提出 如果磁通变化的原因是回路所在处磁场本身的变化所引起，则这时回路中的电动势是感生电动势。 感应电流的方向：顺时针 感应电流的方向：逆时针

26. 那么导体中的自由电荷是在什么力的驱动下运动呢？那么导体中的自由电荷是在什么力的驱动下运动呢？ ※不是电场力： ——因为周围没有静电场源。 ※不是洛仑兹力： ——洛仑兹力要求：运动电荷进入磁场才受洛仑兹力，而现在是先有磁场变化而后才有自由电荷作定向运动。 因此，导体内自由电荷作定向运动的非静电力只能是变化的磁场引起的。 这种非静电力能对静止电荷有作用力，因此，其本质是电场力。 ——麦克斯韦在进行了上述分析之后，提出了涡旋电场的概念。

27. １８６１年，麦克斯韦提出了感生电场（涡旋电场）的概念，麦克斯韦认为： 变化的磁场在其周围空间激发出一种新的涡旋状电场，不管其周围空间有无导体，也不管周围空间有否介质还是真空；并称其为感生电场（涡旋电场)。 涡旋电场是一种客观存在的物质，它对电荷有作用力。 相应引入涡旋电场场强 ２、涡旋电场的性质 （1）只要有变化的磁场，就有涡旋电场。涡旋电场不是由 电荷激发的。

28. 由法拉第电磁感应定律又有 因此涡旋电场的环流不为零,即 （3）Ｅr的通量　　　　　与B类似，涡旋电场是无源场。 (２)涡旋电场的电力线是环绕磁感应线的闭合曲线。 ３、Ｅr的环流与感生电动势

29. 可见，只要 ，涡旋电场的环流就不为零。 因为回路不动，所以 涡旋电场为非保守场，是有旋场。

30. （2）、公式中的负号是楞次定律的数学表示式。这时Er的回绕方向与 组成左螺旋。即用左手四指表示Er的回绕方向，则大姆指表示 的方向。 B B Er E r 注意是Er是与 ，而不是与B组成左螺旋。 （1）、计算磁通的面积的周界就是式中的积分回路。 Er

31. 激发 力线 环流 通量 ４、涡旋电场与静电场的比较 ①共同处：这两种电场都对电荷有作用。 ②不同处：

32. *感生电动势计算方法之一 ———运用法拉第电磁感应定律 即 即先求线圈所在处的磁通，再求磁通的变化率。

33. 例10－7　如图所示，长直电流中的电流I＝5t 2+6t求线圈中的感生电动势。 方向：逆时针

34. *感生电动势计算方法之二——运用Ｅr的环流定理 即

35. 例10-8 设螺旋管内的场为均匀场，其半径为R，管内磁场对时间的变化率为 ，试求离开轴线r处的Er。 r R Er r 解：因螺旋管内涡旋电场的分布具有轴对称性，即距轴心等距的各点的Ek相等，故以r为半径作一与R同心圆形回路，积分回路的回绕方向与Er的回绕方向一致，则有 若回路半径r＜R

36. r 若r＝R R Er r 若r＞R因螺旋管外Ｂ＝０ ，故对任一回路均有

37. Er 例10-9 一长直螺线管半径为R，单位长度上的线圈匝数为n，电流以dI/dt=c匀速率增加，磁感应强度方向如图示，一导线ab放在螺线管外与螺线管截面在同一平面，oa=ob,∠aob=0,计算ab中的感生电动势，并确定哪端电势高？ 解： 螺线管外感生电场的分布具有轴对称性，取半径为r（r>R）的圆形环路与ab交于P点，Er沿P点的逆时针切线方向。则

38. d Er 0/  h 求感生电动势： 设0点到ab的距离为h，并以垂足0/点为原点，则

39. d Er 0/  h 如图，P 点到0/点的距离为l，则 εab沿ab方向。

40. Ebr Ear 例10－10 dB／dt=c，若导体线框abcd的一部分置于磁场内，如图所示，其中ab 弧,cd 弧是=／3的圆心角所对应的圆弧，bc,ad在直径上，ad/=dd/=oa=R／2, c/、d/是线框与圆柱面的交点。求：（1）导线各边ab,bc,cd,da上的感生电动势；（2）导线框总的感生电势。 解（１） 对于ba弧，它是半径为R/ 2的圆弧，且弧上各点Er值相等，由上例可知，

41. cd弧，它是半径为3R / 2的圆弧，该处的Er大小为

42. （２）回路总的电动势为各段导线上的电动势之和，（２）回路总的电动势为各段导线上的电动势之和，

43. o b a ' ' a b 故知 应选（B）。 例10－11　在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB／dt变化，有一长度为l0的金属棒先后放在两个不同的位置1（ab）和2（a/b/），则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 答：由例6－8可知，在圆柱内离轴心o点越远，Er越大

44. 例10－12　在圆柱形空间内有一磁感受强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB／dt变化，在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线AB弧，则例10－12　在圆柱形空间内有一磁感受强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB／dt变化，在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线AB弧，则 （A）电动势只在直导线AB中产生； （B）电动势只在弯曲弧AB中产生； （C）电动势在直导线和弯曲弧中都产生，且两者大小相等； （D）直导线中的电动势小于弯曲弧中的电动势。 A B 答：选（D） 由例10－8可知，在圆柱内离轴心o点越远，Er越大。 此处是非静电场，故A、B两端的电势差与积分路径有关。

45. 例10－13　如图，有一弯成角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t=0时,x=0,求下列两情形框架内的感应电动势。(1)磁场分布均匀且不随时间变化。(2)非均匀的交变磁场 。 M C B ● v y  O D N x 解：①磁场均匀且稳恒不变， 则任一时刻穿过三角形OMN的磁通为

46. M C B ● v 将代入  O D N y x dx ②对于非均匀场，设三角形中回路绕行方向为ONMO，(或截面法线方向纸面向外)，取面元如图，则任一时刻穿过面元的磁通为

47. 若 >0则 方向为ONMO； 若<0则 方向为OMNO。

48. 环形真空室 电子束 B v 电子 v v 靶 电子枪 f §10-3 电子感应加速器 涡电流 一、 电子感应加速器 1 、构造： 圆形电磁铁，环型真空室。强大的交流电通过电磁铁线圈产生交变磁场和涡旋电场。 2 、电子加速原理： 交变磁场作用于电子的洛仑兹力作为电子圆周运动向心力；涡旋电场提供与电子速度方向相同的电场力使电子被加速。

49. 环形真空室 电子束 B v 电子 B v v 靶 电子枪 o t T f 从上图可以看出，只有时间 内才使洛仑兹力指向圆心且 与电子速度反向能给电子加速。所以，在 结束时应把电子引向靶。另外，为使电子的轨道半径保持稳定，应当使轨道处的磁感应强度等于圆周内磁感应强度平均值的二分之一。 E感 电子得到加速的时间最长只是交流电流周期T的四分之一。

50. 小型电子感应加速器可把电子加速到0.1～1MeV,用来产生x射线。 大型的加速器可使电子能量达数百MeV，即可把电子加速到0.99998c，百分之几秒时间内电子在加速器内的行程达几千米。用于科学研究。