华杯赛培训汇报

1. 华杯赛培训汇报 克拉玛依市第九小学 朱红艳

2. 主要内容 一、“华杯赛”概况与命题原则 二、数学素质训练 三、整除和带余除法 四、笨算与巧算 五、趣味的计数问题——学点组合 六、行程问题

3. 一、“华杯赛”概况与命题原则 “华杯赛”是以教育和培养广大青少年从小学习和弘扬华罗庚教授的爱国主义思想，激发广大中小学生学习数学的兴趣，普及数学科学为宗旨的赛事。 “华杯赛”一贯坚持“普及性、趣味性、新颖性”相结合的命题原则。“华杯赛”主试委员会汇集了一大批经验丰富的数学专家和教育家。 “华杯赛”自1986年至今，每两年举办一届，已成功举办了九届。赛程分为初赛、决赛、总决赛三个阶段。“华杯赛”从第十届开始，由过去的每两年举办一届改为每一年举办一届。

4. 二、数学素质训练 从人类早期的战争开始，数学就无所不在，不论发射弩箭，还是挖掘地道攻城，数学定律都像冥冥之中的命运之神一样在悄然发挥重要作用。学习数学，不仅意味着掌握了一种用现代科学语言构建的数学知识、思想和方法，更是获取了一种理性思维模式、数学技能和数字品质。而所有这一切，则构成了人的一种特殊素质，即通常所说的数学素质。数学对人智力的训练是多方面的，能提高学生的素质，特别是数学的素质。例如：将实际问题抽象和概括为数学表述或数学问题的能力；分析和综合的能力；严谨思考问题的能力；逻辑推理的能力；化复杂问题为简单问题的能力；全面思考等等。所谓一个好的题目应当有助于学生培养上述介绍的能力；有利于学生增长用数学解决实际问题的能力；有益于学生数学素质的训练和提高。

5. 二、数学素质训练 “好” 题 和“差” 题 按照少年儿童接受事物的能力以及数学的知识体系，在小学的各个阶段，有规范的教学大纲，传授小学生和低年级中学生一定的知识。所谓一个好的题目应当有助于学生准确理解所学习的知识；有利于学生巩固掌握所学习的知识；有益于学生扩展他的知识体系和结构，同时，不超过学生具有的非数学的经验和知识范围。否则，与上述三点准则相反，就不是好的题目了。 一名学生数学成绩好，人们通常说这名学生聪明。实际上，有时候常常是好好学数学，可以帮助一个学生变得聪明一些，或者变得更聪明了。 所谓一个好的题目应当是有趣的，形式优美，他能诱导学生热爱数学，有助于引导部分学生从兴趣走入数学的殿堂。 对奥数的培训，对学生的课外数学兴趣教育，强调学生数学能力或数学素质的锻炼和培养。

6. 二、数学素质训练 一道好题的分析 1、有6个人都生于4月11日，都属猴，某年他们岁数的连乘积为17597125，这年他们岁数之和是多少？ 曾有人求教一理工名校硕士，他的智商高达140，仅0.5%人群能达到，却也费了好些时间才解出。 其实这道题对于我们的小学生来说，并不是一道难题，只需要运用分解质因数的知识，再借助一定的生活经验，就能解答出来。 具有“合数分解”知识的学生，自然会想到应当分解自然数17597125，即做质因数分解： 17597125=1×5×5×5×13×13×17 有了上面分解的式子，余下的事情就是“凑出”6个自然数，它们彼此之间的差是12的倍数，它们是1、1、13、13、25、85，所以年龄和是1+1+13+13+25+85=128

7. 二、数学素质训练 归纳一下，解题的过程是 而分析的过程是从右向左。那末在这两个过程中，困难在何处呢？从分析的过程而言，第一步是分析出需要求6个人的年龄，这一步，不应当有困难；第二步是分析出需要分解自然数17597125，这一步，对未掌握合数分解的学生有一定的困难。但是，整数分解是整数理论最基本的内容，在小学教材中已涉及，在任何奥数班中都会做详细的介绍。所以，从分析解题过程的角度来评价，这道题不能归为“毒”题。那末，解题的过程难吗？这道题解题过程共有3步，

8. 二、数学素质训练 第一步，分解自然数17597125， 数字17597125对于10岁左右程度一般的小学生来说，略大了一些。 第二步，由分解式子，凑出彼此之间的差是12的倍数的6个自然数，如果正确地作了17597125的分解，凑出这6个自然数仅仅是简单的加减运算，并不困难。 第三步，仅仅是做个简单的加法，非常简单。 从解题的三个步骤分析，智商高达140的一名理工名校硕士一时做不出来，可能是他的智商没有达到140，而是低很多。 2、有6个人都生于4月11日，都属猴，某年他们岁数的连乘积为4225，这年他们岁数之和是多少？

9. 二、数学素质训练 3、用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？（第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第12题）

10. 二、数学素质训练 这道题，学生只要具备求立体图形表面积的知识，有一定的空间想象能力，就能够解答。 由于455=4×7×13 因此长方体的三条棱长分别是： x＝13, y＝5, z＝7。 方法一：如右图8，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成： 第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是： 2×（11×5+11×3+5×3）=206 第二部分是24个宽都是1的的长条，总面积是： 8×（11+3+5）=152 长方体表面积：206＋152=358

11. 二、数学素质训练 方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同（想象一下为什么）。所以，这道题对于学生巩固学生关于长方体的知识、提高空间思维能力和分析与综合的能力，不失为一道好题。 从学好数学的目的而言，比较重要的一点是“一道好题应当有助于学生准确理解数学的概念和思想。 4、一个细长圆柱，等分为5节，用红、黄和蓝色涂每节。问：可以得到多少种颜色不同的圆柱？（第五届“华罗庚金杯“少年数学邀请赛决赛第一试第3题）

12. 二、数学素质训练 在旋转和平移对称意义下的分类。分的5节，涂有3种颜色，每种涂法可以看做一个三进制的五位数，最大的五位数是22222，化成十进制的数是 加上00000，即共有243个数。 但是，由于棒的规格相同、均匀，又都是在等分的5节上涂色。因此，将一个涂过色的棒倒转180度，它可能与另一个棒的涂色完全相同。上述的对称的性质反映在三进制的五位数上，即是，一个三进制的五位数和它的反序数代表同样的涂法。 在所有的三进制的五位数中，共有个数和它的反序数相同，所以，可以得到 种涂法。

13. 三、整除和带余除法 1、一个正整数和它的反序数（的反序数是）的乘积等于92565，求出此正整数。（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛第二试第1题） 解：对正整数92565作质因数分解，＝，这个正整数是165或561。 解题时要随时做分析。例如做这道题，可以有两个分析： （1）既然正整数和它的反序数的乘积等于92565，既然积的个位是5，这个正整数或它的反序数的个位一定是5，若这个正整数的个位是5，反序数的首位必定是5； （2）一个正整数有约数3，则它的反序数也一定有约数3，一个正整数能被11整除，则它的反序数也一定能被11整除。这两种分析都能帮助你很快给出答案。更重要的是，学习数学的一个目的是培养和提高分析能力，这样的练习做多了，而且在做题时确实随时思考和分析，就能提高分析能力，不仅有助于学好数学，有助于其它科目的数学，也有助于增长能力。

14. 三、整除和带余除法 一个整数各位数字的和是3（或9）的倍数，则该数能被3（或9）整除； 一个整数的后两位能被4整除，则该数能被4整除； 一个整数，它的个位是0或5，则该数能被5整除； 一个整数能被2和3整除，则该数能被6整除； 一个整数的后三位能被8整除，则该数能被8整除； 一个整数的偶位数字和减去奇数位数字和的差能被11整除，则该数能被11整除； 一个整数，如果它的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差能被7（或13）整除，则该数能被7（或13）整除

15. 三、整除和带余除法 2、 能被11整除，问解：为11整除的数字的特征：整数的偶数位数字和与奇数位的数字和的差能被11整除。偶数位的数字和是（1+5+a），奇数位的数字和是（1+5+5）。 应当求a使得11|a-9 所以，a=9

16. 三、整除和带余除法 最大公约数、最小公倍数和互为质数 本节介绍最大公约数和最小公倍数，“华罗庚金杯”少年数学邀请赛有很多这类内容的试题，学好它，做好练习，会有利于小学生学好课堂上相关的知识，在数学竞赛中取得好的成绩。

17. 三、整除和带余除法 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第11题） 答案：60；提示：① 是最小的一组“美妙数”，，因此美妙数的最大公约数不会大于60。② 任何三个连续正整数，必有一个能为3整除。所以，任何“美妙数”必有因子3。若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4。另外，可以验证完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除。所以，任何“美妙数”必有因子5。

18. 五、趣味的计数问题——学点组合 • 组合数学是研究分析离散结构和关系的数学分支，它是现代数学的基础之一。组合数学在物理学、社会科学、生物学、经济和军事等领域有广泛的应用。组合数学还是计算机科学的基础。 • 组合数学关心以一定方式“配置”一组事物，经常考虑以下几个方面： • 存在性 • 计数和分类 • 设计和优化 • 已知配置的性质 • 其中计数问题归结为组合分析的内容，研究关系归结于图论，研究设计与优化属于组合设计和组合优化方面。

19. 五、趣味的计数问题——学点组合 组合数学的问题常常可以用数学游戏的语言来表达，因而具有一定的趣味性。事实上，组合数学的起源就是游戏和竞赛问题。组合数学问题往往并不要求系统的数学知识为前提，因此小学生可以讨论。解决组合数学问题常常需要一点“灵感”，巧妙的思路是解题的关键，所以适合于培养学生的数学修养、训练思维能力以及数学技巧。 由于组合数学问题的特点，数学竞赛中少不了组合数学的问题。“华杯赛”的试题也是如此。在这里我们准备结合数学竞赛的题目简单地介绍一些组合数学的有关内容。

20. 五、趣味的计数问题——学点组合 (一）、组合数学简介 1、加法原理. 　 完成一件事，有 n类办法，在第 1 类办法中有 m1种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2种不同的方法……，在第n类办法中有 mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= m1 + m2 +…… + mn 种不同的方法。 例：数一数下面的图形中线段的个数。 A B C D 解法：以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的有2条，以C为左端点的有1条，共有6条线段。 在上题的解题过程中，我们将线段分成了三种类型，每种类型又有若干个，线段的总数是它们的和。这就是运用了加法原理。

21. 五、趣味的计数问题——学点组合 2、乘法原理. 完成一件事，需要分成 n个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，……，做第 n步有 mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= m1 ×m2 ×……×mn 种不同的方法。 例：学校组织了3个艺术小组和4个体育小组，小鸣要参加一个艺术小组和一个体育小组。那么小鸣有多少种选择？ 解法：小鸣参加艺术小组可以有3种选择，参加体育小组有4种选择，所以他一共有3 ×4=12种选择。 在上题的解题过程中，我们将选择分成了两步：首先选择艺术小组，共有3种不同的选择；然后选择体育小组，共有4种不同的选择。所以总的选择共有3 ×4=12种选择。这就是运用了乘法原理。

22. 五、趣味的计数问题——学点组合 另外，在解题中可能还会出现加法原理和乘法原理的综合运用，如： 有一门课一周要上四节，四节课的安排满足如下要求：1) 一次连上两节；2）每天只能上一次；3) 不能连续两天都有该课; 4) 每天可以在 1、3、5、7节的一节开始上; 5) 周六和日不能安排. 问该课一共有多少种安排方式？ 解法：在周 1 到周 5 的五天中, 至少间隔一天的天对有: 周 1 和周 3, 周 1 和周 4, 周 1 和周 5, 周 2 和周 4, 周 2和周 5, 周 3 和周 5, 一共 6 对（加法原理）. 由于每天可安排在 1、2，3、4，5、6 或 7、8 节 4 种中的任一种情况, 所以每对天对可有 42种安排方式（乘法原理）. 这样, 安排方式可以有 6×42 = 96 种。 因而，在解题时对这两种原理要灵活运用。

23. 五、趣味的计数问题——学点组合 3、容斥原理. M个物体中不具有性质P1、P2、P3中任一个的个数为 N = M -(M1+M2+M3) + (M12+M13+M23)- M123. 例：在1到143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？ 解法：因为143=11 ×13，所以与143有大于1的公因数的数，只能是11的倍数或13的倍数。在1到143这143个自然数中，11的倍数共有13个，13的倍数共有11个，应当减掉。注意到143作为11的倍数与13的倍数重复减掉一次，应该补回。所以在1到143个自然数中，与143互质的自然数的个数为 143-13-11+1=120

24. 五、趣味的计数问题——学点组合 4、鸽笼原理.（抽屉原理） 将n+1 个物体放入 n个盒子中，则至少有一个盒子中有两个或更多的物体。 （应用抽屉原理解题时，要分清什么是“物体”，什么是“盒子”，它们的数目各有多少？） 例：请说明五名同学中至少有两名同学的血型相同。 解：人的血型有O、A、B和AB共四种，利用抽屉原理马上就可以得到五名同学中至少有两名同学的血型相同。

25. 五、趣味的计数问题——学点组合 (二)、排列和组合 设 S 是由 n个元素构成的集合，r是一个正整数。S 中的一个r-组合就是S的一个由 r个元素构成的子集。S中的一个r-排列就是S中 r 个元素的一个序列。S的n-排列简称为 S 的排列或n个元素的排列。 命题1. S 中r-排列的个数为: 上面考虑的是线性排列，相对的概念是圆周排列。考虑物体配置是在圆周上而不是在直线上时，排列数将会减少。 命题2. S 中圆周r-排列的个数为: 命题3. S 中r-组合的个数为:                                                                   .                  .                  .

26. 五、趣味的计数问题——学点组合 例1. 假定 10 个学生排成一圈逆时针方向行走，有多少种不同的方法使他们形成一个圈？ 解答: 10！/10 = 9！种。 例2. 由 20 颗不同颜色的钻石可以串成多少种不同的项链？ 解答: (20-1)!/2 = 19!/2 种                                                                   .                  .                  .

27. 五、趣味的计数问题——学点组合 • (三)、棋盘覆盖问题 • 棋盘完全覆盖问题是这样描述的。考虑一个通常的国际象棋棋盘，它有 8×8 = 64 个小方格，现有一批长方形骨牌，每个骨牌恰好覆盖两个相临的小方格，我们的问题是： • 是否能在棋盘上放置 32 个骨牌使之完全覆盖该棋盘？ • 若存在，则有多少种不同的完全覆盖？ • 所谓的完全覆盖是指，任意两个骨牌都互不重叠。 • 第一个问题的答案是肯定的，容易。第二个答案却很难！ • 由此问题派生出许多问题，不少用于数学竞赛的问题也可认为源于它。

28. 五、趣味的计数问题——学点组合 例：若干边长为 4 厘米的正方形纸片散乱地躺在一个长为 30 厘米、宽为 20 厘米的抽屉中。至少要有多少张纸片能够做到：无论如何摆放, 抽屉里的纸片都有重叠部分？(折叠纸片也认为是重叠) 解法：在长宽为 30、20 厘米的矩形中最多能够裁出边长为 4 厘米的正方形 35 个，所以最少需要 36 张。

29. 五、趣味的计数问题——学点组合 （四）、魔术方 一个n阶魔术方就是由自然数 1，2，…，n2排列成一个n×n 方阵，且满足每行、每列及每条对角上各数之和均相等，这个和称为魔术方的魔和。 关于魔术方的组合问题有 （1）对于哪些n×n 阶魔术方是存在的？ （2）如何构造这些魔术方？ （3）n 阶不同魔术方的总数是多少？ 下面就举一个比较常见的例子：在图中每个没有数字的格内各填一个数，使每行、每列及每条对角线的三个格中的数之和都等于 19.95 时，那么，画有“？”的格内所填的数是多少？ 解法：中央的数是 19.95/3 = 6.65，而第二列第一个数是 19.95 - 6.65 – 8.80 = 4.50. 从而，？= 19.95–4.33–4.50 = 11.12

30. 五、趣味的计数问题——学点组合 （五）正整数的剖分 正整数n的一个剖分就是将n 作为若干个正整数的和 n = n1 + n2 + … + nk, ni > 0,1 ≤ i ≤ k 的一个表示法。 如果和式中各项次序不同时，就认为是不同的和式，则称这样的剖分为有序剖分；如果认为和式中各项次序无关紧要，则称这样的剖分为无序剖分。对无序剖分可以规定 n1≥n2≥…≥nk或 n1≤n2≤…≤nk。 无序剖分简称为剖分。 命题. 关于正整数n 的有序剖分数目为 2n - 1. 关于无序剖分数的讨论比较复杂，在此不做介绍。 例：100 这个数最多能写成多少个不同的自然数之和？ 解法：从 1 加到 13 等于 91，从 1 加到 14 等于 105，超过 100。所以 100 最多能写成 13 个不同自然数之和。

31. 五、趣味的计数问题——学点组合 （六）、正方体各面的着色 一个正方体的六个面用 1，2，3，4，5，6 等数字表示，现在要将这个正方体的各面着红蓝两色，问有多少种不同的着色方法？ 因正方体共有六个面，每个面都可以着红蓝两色，故似乎应有 26 = 64 种着色法。但 64 种着色法中有一些将被认为是相同的。 例如，1、2 两面着红色，其它面着蓝色；4、5 面着红色，其它面着蓝色；这两种着色法被认为是相同的。因为通过正方体的旋转可以使人们无法区别它们。 我们按着红色面的数量来分类，每类的着色法有 因此，各种不同着色法数目总和为 10。

32. 五、趣味的计数问题——学点组合 （七）、递归关系 一个组合问题的解数H常与某个自然数 n 有关，此时逐个研究 H(0), H(1), …，H(n)，…，不如把它们作为数列来研究更方便。递归关系就是研究数列的有效方法之一。所谓的递归关系就是将H(n) 和数列中它的前驱者联系起来的等式。在某些情况下有可能从递归关系获得序列中通项的精确公式。这可以通过迭代完成；或者先假定一个公式，再借助递归关系由归纳来完成。     对于高年级小学生和中学生而言，数列、递归关系等概念是超出了他们的知识范围的，所以组合数学的这类问题对他们似乎是不合适的。但是，对于一列数找规律，或者把递归关系换成他们可以理解的叙述是数学竞赛中经常见到的题目。

33. 五、趣味的计数问题——学点组合 例：火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯？ 解.24 盏。 由于每层红灯数都是其底层的两倍，当第一层的为 1 时，总数为 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 127 又，381/127 = 3，所以第一层 3 盏灯，第四层 3×23 = 24 盏。

34. 六、行程问题 行程问题为小学和初中数学学习的重要应用问题，在行程问题中，除特别指出外，都假定速度是常数，即匀速运动，匀速运动的基本公式十分简单： 路程=时间×速度 但是由于路程的多样化，时间前后的差别，以及速度的变化，使得行程问题变得复杂而丰富多彩。 行程问题虽然是实际问题的初级近似，但地，由于它的各色各样的变化，使得中小学的数学知识中的许多知识点能有趣而生动地融汇其中，而成为学生能力培养的有力工具。在各届华杯赛中，行程问题是各类问题出现频率最高的问题之一。 求解行程问题一般分如下步骤： 1、审题 2、画示意图 3、找关键要素 4、列关系式 5、分析 6、给出答案。 下面将通过具体的问题来研究行程问题。

35. 六、行程问题 （一）、行程问题中的方程方法 列方程求解行程问题是最通常的方法，也是最为有效的方法。多数行程问题可以用列方程解方程的方法来求解。列方程就是上述步骤中第四步中建立一个或几个含有未知数的条件等式，而第五步中的分析就是解方程。 例：甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。如果二人的速度每小时各增加1千米，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人速度各是多少？ 解：设甲的速度为每小时v千米。因为，两人6小时相遇，所以，二人的速度和为10千米。乙的速度为每小时10-v千米。二人的速度各增加1千米，速度和为12千米，因此，需要60÷12=5（小时）相遇。第一次甲的行程为6v，第二次甲的行程为5（v+1）,相差1千米： 6V-5（V+1）=1 解得V=6 答：二人的速度分别为每小时6千米和每小时4千米。

36. 六、行程问题 （二）、行程问题中的比例方法 基本公式 s=vts—路程， v—速度， t—时间。 路程一定，速度与时间成反比；时间一定，路程与速度成正比；速度一定，路程与时间成正比。 例：一个爱斯基摩人乘坐套由5只狗的雪橇赶往朋友家，雪橇按爱斯基摩人规定的速度全速行驶。一天后，有2只狗扯断缰绳和狼群一起逃跑了。于是剩下的路程只好用3只狗拖着雪橇，前进速度只有原来的3/5。这使得他到达目的地的时间比预计的时间迟了2天。事后，爱斯基摩人说：“逃跑的狗如果再能拖雪橇60公里，那么我就能比预计的时间迟到一天”问：爱斯基摩人一共走了多少路程？ 解：设5只狗拉雪橇的速度为每天v公里，预计到达目的地用t天时间。 一天后，余下的路程是一定的，这一段路程用5只狗用t-1天，用3只狗用t+1天，时间与速度成反比： 即预计4天到达目的地。设用5只狗跑60公里用T天，则用3只狗跑60公里用T+1天。路程一定，速度与时间成反比。 由此得到， （公里），全程= （公里）。

37. 六、行程问题 （三）、行程问题中的周期运动 沿环形轨道的运动，有相遇问题也有追及问题。两次相邻的相遇，二者路程和为一个轨道长度；两次相邻的追击，二者路程差为一个轨道长。往返运动是环形运动的特例，也遵循这个规律。 例：甲、乙二人从A到B，再从B到A往返穿梭，甲速为每秒20米，乙速为每秒15米，出发后他们第二次迎面相遇的位置与甲第二次追上乙的位置相距150米。问：A,B两地相距多少米？ 解：设T1为他们第二次相遇的时间，T2为甲第二次追上乙的时间, A,B的距离为L。则路程和T1(20+15)=4L，L=8.75T1 路程差T2(20-15)=4L. L=1.25T2 所以，T2=7T1. 第二次相遇时，甲跑了的路程为20T1, 第二次追上时，甲跑了的路程为140T1, 因此：

38. 六、行程问题 （四）、行程问题中的特殊方法 最小公倍方法 例：一艘轮船顺流80千米，逆流48千米共用9小时；顺流60千米、逆流96千米共用12小时。求轮船的速度。 解：9和12的最小公倍数时36。若第一次航行的顺流和逆流的路程度扩大4倍，即顺流320千米，逆流192千米，所用时间为36小时；同样，第二次航行顺流和逆流的路程扩大3倍，即顺流192千米，逆流228千米，所用时间也是36小时。第一次顺流多航行320-192=128（千米），逆流则少航行288-192=96（千米）。所以，顺流航行128千米的时间与逆流航行96千米的时间相同，因此，顺流的速度是逆流速度的 倍。 第一次航行若全是顺流，轮船将多航行 千米，共航行 80+48+16=144千米。所以，顺流速度为144/9=16千米/小时。若第一次航行全是逆流，则轮船将少航行 千米，所以，逆流速度为（80-20+48）/9=108/9=12千米/小时。由此得到，船速= 千米/小时。