第二章极限与连续

第二章极限与连续 §2.1数列极限一、数列 1、概念：数列函数的定义域是由离散的一系列孤立点构成，不是区间，而是数集。 2、简单性态：因数列函数定义域的特殊性，故不能考虑其奇偶性和周期性（1）数列的有界性【2-1-1】

（2）数列的单调性 单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列，若上述定义中不等号下不带等号，则称数列为严格单调数列。【2-1-2】

二、数列极限 1、收敛数列（1）定义：【2-1-3】

（2）数学定义的几何意义 ( ) X 【2-1-4】

3、定义理解举例 解：【2-1-5】

4、数列极限四则运算法则 【2-1-6】

注： ①使用法则求极限时，要首先检查是否满足法则的条件 ② 当然，实际计算时，是利用法则将极限计算转化为一些已用定义证明了正确性的已知结论的数列极限上，利用已知结论进行计算。下面通过一些例题来了解四则运算法则的使用【2-1-7】

例2 求下列函数极限 解：【2-1-8】

解：【2-1-9】

解：【2-1-10】

解：【2-1-11】

三、收敛数列极限性质 1、性质1 因此，数列的敛散性与其最初的有限项无关，决定于某一项后的无穷项 2、性质2 3、性质3 思考：【2-1-12】

4、性质1 夹逼定理（迫敛性定理、两边夹法则）夹逼定理不但是收敛数列的性质，而且是一种非常有用的极限计算方法，通过对极限式进行放大和缩小，将极限的计算转化到较易计算的一些极限式的计算上。例3 求下列数列的极限【2-1-13】

解：（1） 【2-1-14】

【2-1-15】

5、性质5： 单调有界数列一定收敛（1）性质的分解：性质的结论可分解为单调递增且有上界数列一定收敛和单调递减且有下界数列一定收敛两个方面（2）性质结论仅为充分而不必要的结论，即满足条件一定收敛，但收敛数列不一定单调有界，当然，有界性是必要的，不具有必要性的是单调性收敛于0，但不是单调数列如此性质在考察数列单调性上非常有用，当然，也可用于极限计算【2-1-16】

（3）应用举例 例4 证明：先用数学归纳法证明伯努利不等式所以依数学归纳法原理知伯努利不等式的结论成立【2-1-17】

【2-1-18】

【2-1-19】

因而依性质5知，两数列均单调有界，都是收敛数列，且有因而依性质5知，两数列均单调有界，都是收敛数列，且有此极限值为无理数，规定为自然对数的底，因此有本节作业： P49 2（3、4、5） 6 7 【2-1-20】

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