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§1 — 1 随机事件及概率

§1 — 1 随机事件及概率. 一、随机事件 1 ．随机现象 （ 1 ）确定现象 ：在一定条件下必然会发生某一结果（或必然不发生某一结果）的现象。 （ 2 ）随机现象 ：在同一条件下多次进行同一试验，所得结果并不一样，而且事先不能预言将会发生什么结果的现象。 举例：投硬币，投篮，抽检产品等。 概率研究的对象 ：随机现象。研究随机现象统计规律性的学科。 2 ．随机事件 对随机现象是通过随机事试验来进行。随机试验是在相同情况下重复进行多次且各次试验的结果不一定相同的试验。 随机事件 ：随机试验的结果。简称事件，用大写字母表示。

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§1 — 1 随机事件及概率

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  1. §1—1 随机事件及概率 一、随机事件 1．随机现象 （1）确定现象：在一定条件下必然会发生某一结果（或必然不发生某一结果）的现象。 （2）随机现象：在同一条件下多次进行同一试验，所得结果并不一样，而且事先不能预言将会发生什么结果的现象。 举例：投硬币，投篮，抽检产品等。 概率研究的对象：随机现象。研究随机现象统计规律性的学科。 2．随机事件 对随机现象是通过随机事试验来进行。随机试验是在相同情况下重复进行多次且各次试验的结果不一定相同的试验。 随机事件：随机试验的结果。简称事件，用大写字母表示。 基本事件：在研究范围内，不能再分的事件，称为基本事件。 复合事件：由两个或两个以上的基本事件组合而成的事件。 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件。用表示。 不可能事件：在一定条件下，必然不发生的事件。用表示。

  2. §1—1 随机事件及概率 • 二、事件的关系和运算 • （一）事件的包含关系 • 1．定义 • 如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含了事件A（或称事件A包含于事件B）。记为： 或 • 2．包含关系的性质 • （1） （2） （3）若 则 • （二）事件的相等关系 • 如果事件B包含了事件A，同时A又包含了事件B（即与）则称事件A与事件B相等。记为：

  3. §1—1 随机事件及概率 • （三）事件的和 • 1．定义 • 事件A与B至少有一个发生，称为事件A与事件B的和。记为注：发生 事件A、B中至少有一个发生 • 2．推广 • 称为事件的和。表示个事件中至少有一个发生。 • 3．运算律 • （1）交换律：=（2）结合律：（3）蕴含律：，（4）重叠律：（5）吸收律： ，

  4. §1—1 随机事件及概率 • （四）事件的积 • 1．定义 • 事件A与B同时发生，称为事件A与事件B的积。记为注：发生 事件A发生且事件B也发生。 • 2．推广 • 称为事件的积。表示个事件同时都发生。 • 3．运算律 • （1）交换律：=（2）结合律：（3）蕴含律：，（4）重叠律：（5）吸收律： ，（6）分配律： ，

  5. §1—1 随机事件及概率 • （五）互不相容关系 • 1．定义 • 如果事件A和事件B不能同时发生，即，则称事件A和事件B互不相容。 • 2．推广 • 个事件互不相容是指其中任意两个事件互不相容。 • （六）对立事件 • 1．定义 • 如果事件A和事件B满足：且，则称事件A和B互为对立事件。记为 • 显然 事件A的对立事件为：2．对立事件的性质 • （1） （2） （3） • （4） （5）（6）摩根律： 若A与B互为对立事件，则A与B一定互不相容。

  6. §1—1 随机事件及概率 • 例1 设A、B、C 为三个事件，用A、B、C不着的运算表示下列事件 • （1）A发生，B、C不发生； （2）A、B、C 恰有一个发生。 • （3）A不发生，B、C发生； （4）A、B、C 恰有两个发生。 • （5）A不发生，B、C中有一个发生，但不同时发生； （6）A、B、C 都发生。 • （7）A、B、C 中至少有一个发生； （8）A、B、C 一个也不发生。 • 例2 用文字叙述各对事件的和事件、积事件的意义，并判断各对事件是否相容、是否对立。 • A：一批产品中废品数少于6个； B：同一批产品中废品数等于6个。 • C：在某段时间内，电话交换台收到的呼叫次数不少于20次； • D：在同一段时间内，电话交换台收到的呼叫次数不多于20次；

  7. §1—1 随机事件及概率 • 三、随机事件与集合 • 样本点：随机试验中，每次试验的一种可能结果，称为一个样本点。用表示。 • 样本空间：所有样本点的集合。用表示。 • 随机事件就是样本空间的子集，而的单元素子集就是基本事件。本身就是必然事件，空集就是不可能事件。 • 四、概率的统计定义 • 在大量的重复试验中，事件A发生的频率总在一个确定的常数的附近摆动，且具有稳定性，这个常数就称为事件A发生的可能性大小，称为事件A的概率，记为。 • 频率的稳定性是概率的经验基础，而频率的稳定值是随机事件的概率，频率是个试验值，具有偶然性，可能性取多个不同的值，它近似地反映了事件发生的可能性的大小；概率是一个理论值，只能取唯一的值，只有概率才精确地反映事件发生的可能性大小。

  8. §1—1 随机事件及概率 • 五、概率的古典定义 • 引例：在40件产品中有37件合格品，3件废品，现从中随机抽取一件进行检查。抽到废品的概率。 • 古典概型 • 所有可能的试验结果（基本事件）只有有限个。 • 每个基本事件是等可能的。 • 在古典概型中，若基本事件总数为，而事件A包含了个基本事件，则事件A的概率为： • 概率的性质 • （1） 任何事件的概率都在0和1之间，即： （2）

  9. §1—1 随机事件及概率 • 同时抛掷两枚硬币，求落下后“恰有一枚正面向上”的概率。 • 同时抛掷两枚匀称的骰子，求事件A：“点数之和等于10”的概率。 • 有10件产品，其中有2件次品，无放回地取出3件，求： • 这三件全是正品的概率； • 这三件恰恰相反有一件次品的概率； • 这三件至少有一件次品的概率。 • 例6 假设电话号码由 中的7位数字组成（可以重复），任意取一个电话号码，求它由不同的数字组成的概率。

  10. §1—1 随机事件及概率 • 六、归纳小结 • 1．随机事件的有关概念： • 随机现象、随机试验、随机事件、基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件。 • 2．两个或多个事件的运算 • （1）事件的和：（2）事件的积：3．事件的关系 • （1）包含关系： （2）相等关系：（3）不相容关系：（4）对立关系：，A与B互为对立关系（） • 4．古典概率 • 若基本事件总数为，而事件A包含了个基本事件，则事件A的概率为： • 概率的性质 • （1） 任何事件的概率都在0和1之间，即： （2）

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