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Progetto DiGi Scuola

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Progetto DiGi Scuola

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  1. Progetto DiGi Scuola Polinomi … che rompicapo scomporli!!! Realizzato da: Prof.ssa Giuseppina Lippiello

  2. Percorso formativo • Introduzione • L’algebra e la sua origine • Prodotti notevoli • Triangolo di Tartaglia • Scomposizione di un polinomio in fattori

  3. Introduzione Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: START • Obiettivi generali del progetto “DiGi Scuola” • Obiettivi specifici del modulo

  4. IntroduzioneObiettivi generali del progetto “DiGi Scuola” • DiGi Scuola è un progetto promosso dal Ministero per le Riforme e l'Innovazione nella Pubblica Amministrazione, in collaborazione con il Ministero della Pubblica Istruzione che si propone di sviluppare ed impiegare Contenuti Didattici Digitali (learning object) a supporto della didattica, al fine di introdurre le nuove tecnologie nel processo formativo e di apprendimento per creare un ponte fra la didattica tradizionale e le nuove generazioni.

  5. IntroduzioneObiettivi generali del progetto “DiGi Scuola” Introdurre metodologie didattiche innovative al servizio dei docenti, prevedendo piani di formazione. Ridurre la dispersione scolastica, migliorando il rendimento degli studenti. Creare un mercato elettronico dei contenuti digitali per la didattica. Promuovere lo sviluppo dell'industria italiana di contenuti didattici digitali di qualità, adottando elevati standard tecnologici e linee guida pedagogico-didattiche.

  6. IntroduzioneObiettivi specifici del modulo • L’idea del progetto “Polinomi … che rompicapo scomporli!!!” deriva dal fatto che le operazioni di scomposizione di un polinomio in fattori sono la "bestia nera" degli studenti poiché fattorizzare un polinomio può non sempre risultare immediato. • Il progetto vuole essere uno strumento per interessare e coinvolgere gli allievi in un percorso di apprendimento facilitato dalle tecnologie utilizzate dagli studenti stessi come accesso a fonti di studio al fine di diventare essi stessi protagonisti del processo di evoluzione del mondo scolastico.

  7. IntroduzioneObiettivi specifici del modulo SAPERE • Cononoscere i prodotti notevoli • Conoscere le varie tecniche di scomposizione di un polinomio Misurabile con prove “teoriche” SAPER FARE • Sapere operare con i prodotti notevoli • Sapere scomporre un polinomio utilizzando il metodo appropriato Misurabile con prove “pratiche”

  8. Introduzione Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: END • Obiettivi generali del progetto “DiGi Scuola” • Obiettivi specifici del modulo

  9. L’algebra e la sua origine Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: START • Il termine algebra • Gli albori dell’algebra • Il padre dell’algebra • Ulteriori sviluppi dell’algebra

  10. La parola Algebra viene dall'arabo al-jabr che, tradotto in latino, diventa restauratio ovvero ristabilimento dell'equilibrio (di un'equazione quando si porta un termine da un membro all'altro, appunto cambiando segno). L’algebra e la sua origine Il termine algebra الجبر

  11. In Spagna, durante la dominazione araba, quasi tutte le botteghe di barbiere, nella loro insegna, recavano la scritta al-jabr. Il motivo non era quello che i barbieri fossero tutti laureati in Matematica (in Algebra) ma, ovviamente, un altro. L’algebra e la sua origine Il termine algebra

  12. In Spagna, durante la dominazione araba, i barbieri fornivano anche le prime prestazioni medico - infermieristiche. Si occupavano quindi della “restauratio”, ma del corpo umano … L’algebra e la sua origine Il termine algebra

  13. … in altre parole, i barbieri facevano anche gli aggiusta –ossa. Da qui, la loro insegna “algebrica”. L’algebra e la sua origine Il termine algebra

  14. Non è certo facile dare una definizione generale di algebra. In un primo significato l’algebra può essere vista come una generalizzazione dell’aritmetica, nata dalla necessità di rendere generali i procedimenti da eseguire. L’algebra e la sua origine Il termine algebra

  15. L’algebra e la sua origine Il termine algebra Nel corso dei secoli sono state ledefinizioni più diverse di algebra: • Al-Karaji (X-XI sec): “determinazione di incognite a partire da premesse conosciute. • As-Samaw’al (XII sec): “operare su [quantità] incognite per mezzo di tutti gli strumenti aritmetici, come l’aritmetica sulle (grandezze) note”. • Omar Khayyam (XI-XII sec): “Io dico che l’Algebra è un’arte scientifica. Gli oggetti di cui si occupa sono numeri assoluti e grandezze misurabili che, sebbene in sé sconosciute, sono collegate con cose note per cui è possibile la determinazione delle quantità incognite”. • Matematici indiani: algebra come Vijaganita, titolo di un’opera di Bhaskara, che significa “scienza di calcolo con le incognite”. • F. Viète (1540-1603): “Un’equazione è dunque un’eguaglianza (comparatio) tra una grandezza incognita (incerta) e una grandezza nota (certa)”.

  16. Il nostro modo di indicare i numeri, di operare con essi e, in generale, di fare i calcoli, non risale agli antichi greci, per quanto abbiano fatto della matematica uno degli ambiti dei loro studi, ma agli arabi, che diffusero le cifre indiane. L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

  17. I simboli dell’algebra ed il modo che oggi utilizziamo e che con un po' di allenamento, ci possono apparire ovvi e naturali sono in realtà frutto di un lavoro di rielaborazione per molti secoli. L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

  18. I Babilonesi, (II millennio a.C.) che sotto molti aspetti sono considerati i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le procedure risolutive di vari problemi. L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

  19. Presso i Greci l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore nel periodo ellenistico (III secolo d. C.), soprattutto a opera di un matematico di Alessandria, Diofanto (243 – 330 d.C), che per primo elaborò un sistema di simboli adatti a rappresentare, mediante segni speciali, la variabile, alcune sue potenze, la sua inversa, qualche operazione. L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

  20. Con Diofanto ebbe inizio l'algebra sincopata (dal greco synkopé = tagliare, ridurre ) , una specie di stenografia che sta tra il linguaggio naturale e il simbolismo moderno. Essa usa generalmente le parole, intercalando qua e là delle abbreviazioni per rendere più agile e spedito l’andamento del ragionamento e dei calcoli. L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra Esempio di scrittura algebrica sincopata, dall'Algebra di R Bombelli (1526-1572), pubblicata a Bologna nel 1579

  21. L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra A questo punto è utile sottolineare che, secondo alcune fonti, lo sviluppo del’lgebra passò attraverso diversi stadi: • “primitivo” o “retorico” in cui non si faceva uso nè di simboli nè di numeri, ma tutto (operazioni, proprietà, relazioni) si esprimeva solo attraverso parole; • “intermedio” o “sincopatico” in cui si faceva uso di alcune abbreviazioni; • “simbolico” in cui tutto si espimeva per mezzo di simboli.

  22. Il vocabolo algebra deriva dal titolo dell’opera più importante scritta dal matematico Mohammed ibn-Musa al-Khowârizmî, vissuto a Bagdad nel IX sec. d.C.: il trattato Al-jabr wa'l muqâbalahpervenuto a noi sia in una versione latina (Liber algebrae et almucabola) sia araba. L’algebra e la sua origine Il padre dell’algebra

  23. L’algebra e la sua origine Il padre dell’algebra Nella versione araba del trattato , a differenza di quella latina, compare anche una prefazione in cui al-Khowârizmî loda il profeta Moametto ed il califfo al-Mamun, che fondò a Bagdad una “Casa del sapere” (Bait al-hikma), nella quale confluirono scienziati e filosofi dalla Siria, dall’Iran e dalla Mesopotamia, e che lo invitò affidandogli l’incarico di comporre una breve opera per mezzo (delle regole) di completamento e riduzione.

  24. La parola al-jabr significa “ristabilire”, ovvero ristabilire l’equilibrio in un’equazione scrivendo in un suo membro un termine che era stato eliminato dall’altro membro, mentre la parola al muqâbala significa “semplificazione”, come quando si sommano i termini simili o si sottraggono termini uguali da entrambi i membri dell’equazione. L’algebra e la sua origine Il padre dell’algebra

  25. Il passaggio dall'algebra sincopata all’algebra simbolica, nella quale il calcolo con i numeri viene sostituito dal calcolo con le lettere, ha richiesto un lungo cammino e il contributo di numerosi matematici. L’algebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dell’algebra

  26. Notevoli passi avanti vennero fatti molti secoli dopo da due matematici italiani, Luca Pacioli (XV secolo) e Raffaele Bombelli (XVI secolo). Questo cammino si concluse nella seconda metà del Cinquecento con il francese Francois Viète. L’algebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dell’algebra Ritratto di Francois Viète

  27. Viète ebbe per primo l'intuizione di "operazione astratta", ne codificò la notazione simbolica e arrivò a formulare il cosiddetto calcolo letterale attuale. L’algebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dell’algebra

  28. L’algebra e la sua origine Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: END • Il termine algebra • Gli albori dell’algebra • Il padre dell’algebra • Ulteriori sviluppi dell’algebra

  29. Prodotti notevoli Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: START • Quadrato di un binomio • Quadrato di un polinomio • Somma per differenza • Cubo di un binomio • Altri prodotti notevoli

  30. L’aggetivo notevole deriva dal verbo notare che, tra l’altro significa: mettersi in mostra, richiamare su di sè l’attenzione. Generalmente viene attribuito ad una cosa degna di nota come lo sono i prodotti notevoli. Prodotti notevoliQuadrato di un binomio Perché notevoli?

  31. (a+b)2 = (a+b) (a+b) = = a2+ab+ab+b2 = = a2+2ab+b2 (a+b)2 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: significato algebrico =

  32. Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: Prodotti notevoliQuadrato di un binomio: la regola (a+b)2 = a2+2ab+b2 • il quadrato del 1° monomio • il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° • il quadrato del 2° monomio

  33. (a +b) ab b2 ab a b Prodotti notevoliQuadrato di un binomio: significato geometrico (a + b)2 a2 (a +b)2= a2+ 2ab+b2

  34. Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: esempi • (2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2 • (2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2 • (3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) + (+2b)2 = 9a2+12ab+4b2 • (3a -2b)2 = (3a) 2 + 2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 -12ab+4b2 • (-3a -2b)2 = (-3a)2+2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2+12ab+4b2 • (-3a+2b)2 = (-3a)2+2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2-2ab+4b2

  35. Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!! Prodotti notevoliQuadrato di un binomio: approfondimenti

  36. Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento: Prodotti notevoliQuadrato di un binomio: esercizi

  37. (a+b+c)2 = = (a+b+c) (a+b+c) = = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac +bc + c2 = = a2+ b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc (a+b+c)2 Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: significato algebrico =

  38. Il quadrato di un polinomio di numeri qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: Prodotti notevoliQuadrato di un polinomio: la regola (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc • il quadrato di tutti i termini • il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono

  39. (a+b+c) ac bc c2 ab b2 bc ab a2 ac a b c Prodotti notevoliQuadrato di un polinomio: significato geometrico (a+b+c)2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

  40. Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: esempi • (2a + b + 3c)2 = (2a) 2+(+b) 2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a2 + b2 + 9c2+ 4ab + 12ac + 12bc • (2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc • (-3a - 2b + c )2 = =(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc

  41. Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!! Prodotti notevoliQuadrato di un polinomio: approfondimenti

  42. Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento: Prodotti notevoliQuadrato di un polinomio: esercizi

  43. (a+b) (a-b) = = a2 - ab + ab - b2 = = a2 - b2 (a+b)(a-b) Prodotti notevoli Somma per differenza: significato algebrico =

  44. Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine Prodotti notevoliSomma per differenza: la regola (a+b) (a-b)= a2 - b2

  45. Prodotti notevoli Somma per differenza: esempi • (2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2 • (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2 • (3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 • (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 • (4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2 • (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2

  46. Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!! Prodotti notevoliSomma per differenza: approfondimenti

  47. Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento: Prodotti notevoliSomma per differenza: esercizi

  48. (a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = (a2+2ab+b2) (a+b) = a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3 = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)3 Prodotti notevoli Cubo di un binomio: significato algebrico =

  49. Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: Prodotti notevoliCubo di un binomio: la regola (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 • il cubo del 1° monomio • il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° • il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° • il quadrato del 2° monomio

  50. Prodotti notevoli Cubo di un binomio: significato geometrico (a + b)3 = a3+3a2b+3ab2+ b3