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1-3 多项式的整除性和带余除法

1-3 多项式的整除性和带余除法. 多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除 f(x) 以及与此相关的多项式的最大公因式 , 多项式的因式分解等问题 . 在讨论一元多项式的整除性理论时 , 带余除法 是 一个重要定理 , 它给出了判断多项式 g(x) 能否整除多项式 f(x) 的一个有效方法 ; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.

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1-3 多项式的整除性和带余除法

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  1. 1-3 多项式的整除性和带余除法 多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.

  2. 带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得

  3. Definition5.(整除的定义) • 称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果存在P[x]上的多项式h(x), 使得

  4. ▲g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x)除 f(x)的余式零. • ▲q(x)和r(x)的求法与中学的方 • 法基本相同. 在做除法时, 可以分离系 数, 因为ｎ次多项 • 式是由它的ｎ＋1 个系数唯一确定的, (做除法时按降幂排列).

  5. 由定义不难看出1.零多项式被任意一个多项式整除;2.零多项式不能整除任意非零多项式;3.任意多项式一定整除它自身.4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式.当g(x)≠0时,由带余除法定理得到Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.由定义不难看出1.零多项式被任意一个多项式整除;2.零多项式不能整除任意非零多项式;3.任意多项式一定整除它自身.4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式.当g(x)≠0时,由带余除法定理得到Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.

  6. 整除性的几个常用性质: • 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 • 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则 f(x)=cg(x)(c≠0); • 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x); • 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); • 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x) 都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));

  7. 值得注意的是: 多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项式 f(x)和g(x), g(x) 除f(x)的商式和余式仍 然是上面的q(x)和r(x). 为什么?

  8. 补充:综合除法

  9. 课堂小结 • 1.整除的概念及性质 • 2.带余除法定理 • 3.整除的定义及性质 • 4.整除与带余除法的关系 • 5.综合除法原理

  10. 认真复习总结所学知识，作学习笔记 认真地完成

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