第二章

1. 回顾 对质心的角动量定理 第二章

2. 例题1 质量为m1和m2的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。试求两质点的距离为 时两质点的速度。 令质量为m1的质点的速度为 ， 质量为m2的质点的速度为 ， 21 m2 解: r 无外力作用，动量守恒 m1 万有引力势能 ,机械能守恒： 解得 第二章

3. 13 例题2 一水平匀质细管长为l，质量为M，能绕过管一端并与 其固连的竖直轴转动。轴质量可以忽略。轴承处光滑。管内放有 一质量为m的削球，初始时，管的角速度为 ，小球位于管的中点 小球相对管的速度为零。设小球与管壁间无摩擦， 试求小球出口时的速率。 解：小球、管和轴构成系统。建立柱坐标 r 受外力 ，它们对 z轴的力矩均为零。故系统对z轴角 动量守恒。 系统机械能守恒。 第二章

4. 22 第二章

5. S P O 1 §2.5两体问题 太阳和行星都运动，属于质点系的运动问题。只考虑一个行星和太阳，称两体问题。 设 为太阳， 为太阳到惯性系原点 的位矢，质量为 ；设 为行星， 为太阳到惯性系原点 的位矢，质量为 。太阳对惯性系 的运动学方程为 行星方程 两方程相加， 质点系总动量守恒 第二章

6. 2 另一方面 说明质心系是惯性系 可以证明太阳、行星都绕质心作圆锥曲线运动。 令 ， 行星对质心的运动方程(惯性系)为 取 同时，由于(质心系看质点的位置在原点) 第二章

7. 太阳 行星 3 方程变成 可看出力仍与距离平方成反比，此时 可知，行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也是这样。如问行星 对太阳的相对运动(注意：这里认为太阳也是动的)，也就是问 满足的方程 ⑵ ⑴ 第二章

8. 4 可以看出行星相对太阳运动也是圆锥运动。不同的是，如果认为 太阳不动，则只要把太阳的质量从M变成M+m，则与第一章是一样。 方程 也可写成 也就是认为太阳不动，太阳质量仍为 ，万有引力也不变，但行星质量不为 ，而减少到 μ叫折合质量（reduced mass) 第二章

9. 5 上式表明，在太阳运动的前提下，引力保持不动，如用μ代替 行星质量m，则可以化为行星运动的单体问题。回到第一章。 †如考虑太阳运动，对开普勒第三定律修正。这个定律讲，k 是与行星无关的常数。 此时 对行星q1： 对行星q2： 第二章

10. 6 可以看出， 是与行星的质量有关。只有M≫m1， ， 对太阳和行星，M:m=1047：1，开普勒第三定律只是近似成立。 第二章

11. 7 §2.6 质心坐标系和实验坐标系 研究散射问题 实验室系：静止坐标系 质心系：随质心一起运动系 两质点m1，m2,速度v1,v2=0(静止) 动量守恒，散射前后质心都沿 v1方向，以V运动 散射前，质点1，2相对质心 的速度 方向在一直线上 第二章

12. 质心系，散射后，两质点必沿相反方向运动， ， 与 之夹角就是 8 弹性 满足质心系，(动量守恒) 对实验系,同一现象看是不一样的. 第二章

13. 假定是弹性碰撞(保守力) 9 1） 质心系：动量守恒 又 代入 质心系动量守恒 同理 结论 ①两质点运动碰前、碰后总共线 ②两质点运动运动前后，动量数值分别相等，没有转移，只改变方向 ③两质点动能，碰前、碰后也分别相等，没有转移。 ， 第二章

14. 2） 实验系 10 可看出 ①碰前 2静止、碰后不共线 ②各自动量碰前、碰后不相同，有转移，方向也改变 ③各自动能也不相同，有转移 故理论工作者喜欢用质心坐标系处理问题，但要与实验一致， 有一个质心系向实验系过渡问题，集中在θr，θc的坐标变换上 现在问θr和θc之间的关系? 第二章

15. 11 由于相对运动，散射后对 水平分量 竖直分量 由于质心系看，由②知 讨论：当m2≫m1,θr ≈θc， 重靶，可看成固定质心， 卢瑟福散射(粒子)就是这样 第二章

16. 12 但是对中子-质子散射， ， 第二章

17. 21 作业： P.93-110 P.114:2.12) 第二章

18. 设一物体质量 (在 时刻)速度 ,同时，一微小质量 以速度 运动，时间间隔 内与 合并后，共同速度是 §2.7 变质量物体的运动 System with variable mass 13 一、变质量物体的运动方程 此时讨论变质量不是相对论效应，而是如雨滴变大，火箭喷燃料，质量变小。 微元 主体 第二章

19. 如作用在 及 上合外力为 ，由动量定理 当 时，略去高阶小量 13 这是变质量物体的运动微分方程。 第二章

20. 通常，m ：主体质量； ：主体速度； 是微元速度，与m合并前， 或Δm自m 分出后一刹那的速度 . 是外力。 14 为质量变化率，可正可负。 是力的量纲，它代表并入质量（或排出质量）对基本质点 的作用力，称为反推力。 我们有 如 如 我们有 形式上与质量为定值的运动方程一样，但实质不同，此时 第二章

21. 15 [例] P103 本题 ，用公式 只有重力 积分 可求出 可再积分 第二章

22. 质点系由n 个质点组成，其中某一质点质量为mi， 位矢 。受力为 ,运动方程 定义物理量 (标量) 是质点组总动能 16 §2.8维里定理(具有统计的性质) ，是此质点的动量 求其对t的导数 而 第二章

23. 17 这样 定义：一个量长时间平均为 对上式进行时间平均 又 第二章

24. 如运动时周期的， 指是周期函数，取 为一个周期， 也是有限值，取 ，右方 。这二种情况 如： 分成非摩擦力 及正比于速度的摩擦力 。 这样运动，必将变成，当 ，所有时间平均值为零。 维里定理给出。 18 如运动不是周期，只要运动在有限范围内， ， 都是有限值。 这就是维里定理。 在很长时间间隔内质点组的动能对时间平均值的导数，等于作用 在此质点组上力的维里。 第二章

25. 为保守力 19 是质点组的势能。对单个质点受有心力(没有求和)。如 为 的函数， 也必是。 故 第二章

26. 20 对人造地球卫星，把轨道看成半径r 的圆周 ，对常数成立 对平方反比引力 常数， 常数 就是p.80 第一宇宙速度。 第二章

27. 21 作业： P.93-110 P.114:2.14),2.16) 第二章