第一节 向量组的线性关系、极大无关组 教师 : 王卫群

1. 第一节 向量组的线性关系、极大无关组 教师:王卫群

2. 定理　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 下一步 一、向量线性性的性质 证明 充分性

3. 设 线性相关， 故 则有不全为0的数　　　　　　使 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 下一步 必要性

4. 不妨设　　　则有 因 中至少有一个不为0， 即 能由其余向量线性表示. 下一步 证毕.

5. 下一步 定理 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，那么向 量一定能由向量 组线性表示，而且表示式是唯一的． 证: 由于向量组 线性相关，存在一组 不全为零的数 ，使得 ，那么向量等式变成 如果 且 线性相关,与 不全为零，就得到

6. 下一步 线性无关矛盾． 所以 从而 即 能由向量组 线性表示． 设向量 的线性组合表示式： 有两个关于向量组 及 两式相减并整理可得 是线性无关的，故得 但 ．所以向量 关于向量组 从而 的线性组合表示式是唯一的． 证毕

7. 证：因为 线性相关 则有不全为0的数　　　　　　使 则有不全为0的数　　　　　　 使 取 成立，证毕 下一步 定理

8. 下一步

9. 下一步

10. 证：因为 线性相关 即 则有不全为0的数　　　　　　使 前r个方程说明 的所有分量为0 即 所以 线性相关，矛盾，所以 线性无关 下一步

11. 定理 若向量组 可以由 线性表示，且 则向量组 线性相关。 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． 下一步 定义

12. 推1： 若向量组 线性无关，且可以由 线性表示，则 。 推2： 两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。 推3： 任意 个 维向量线性相关。 下一步 上述定理的意思：含有向量个数较多的向量组若能由含有向量个数较少的向量组线性表示，则含有向量个数较多的向量组一定线性相关。引申的意义是：如果方程组含有方程的个数多于未知量的个数，则至少有一个方程可以由其余方程导出，即方程组必含多于方程。

13. A 最大线性无关向量组 向量组 的一个 （简称最大 无关组 下一步 二、极大线性无关组 定义１ A 那末称向量组 是 0 ; ） 即：向量组中的其他任一个向量都可以由这r个 向量线性表示。

14. 下一步 说明 （3） （4）如果向量组本身线性无关，则它是自身的极大线性无关组。

15. 下一步 1，举例说明（1），给定向量组 可以验证 是它的极大无关组 也是极大无关组 2，证明（2）设B: 是A: 的极大无关组。 显然B中任何一个向量都可由组A线性表示（把该向量系数取为1，其余系数取为0） A中任何一个向量也可由向量组B线性表示（由极大无关组的定义明显可知） 记为：A B

16. 下一步 定理：一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。 证明：设 与 都是 的极大无关组。 所以 由上节推论可知它们含有相同个数的向量。 虽然一个向量组可能有多个极大无关组，但它们所含向量的个数是一个常数。

17. 定理 下一步 定义： 向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 即，两个向量组的极大无关组等价，又因为 两个极大无关组，都是线性无关的向量组，所以它们所含向量的个数相同，所以两个向量组的秩相同。

18. 下一步 小结 1．向量线性性的一些性质。 2．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性． ３. 关于向量组秩的一些结论。　　

19. 下一步

20. 下一步