y = k x + b წრფივი ფუნქცია და გრაფიკის ზოგიერთი გარდაქმნა

y= k x+b წრფივი ფუნქცია და გრაფიკის ზოგიერთი გარდაქმნა y • თვისებები : • განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); • ცვლილების არე: yϵ(-∞;+∞); • არც ლუწია, არც კენტი; • თუ b = 0 y = kx გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს. • თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადიადა კენტია y =4x 4 x o x y 0 0 1 4 1 • თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადიადა კენტია. • x y • 0 0 • -2 1 y = -1/2 x y 1 x o -2 • თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

განვიხილოთ y=3x – 7 • გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს. • X Y • 0 -7 • 7/3 0 y o x 7/3 -7

განვიხილოთ y = k |x|+b • განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში; • y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ. • ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად. • განვიხილოთ y = 3|x| – 7 x≥ 0 მაშინ y = 3x – 7 y y o x o x -7/3 7/3 -7/3 7/3 -7 -7

განვიხილოთ y = | k x+ b | • პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა ნახევარსიბრტყეში. • განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7| • 1) y = 3x-7 2) y = | 3x – 7 | y y 7 o o x x 7/3 -7 7/3

ავაგოთ y = | 5 - | x – 3||გრაფიკი. • გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად : • y = x – 3 • x y • 0 -3 • 3 0 • 2) y = - |x – 3| y o x 3 y -3 o x 3 -3

y • y = 5 - | x – 3 | • 5 - | x – 3 | = 0 • x – 3 = 5 ან x – 3 = -5 • x = 8 x = -2 • 4) y = | 5 - | x – 3 || 5 2 o x 3 8 -2 y 5 2 o x -2 8 3

y=k/x ფუნქცია და მისი გრაფიკი • ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას. • განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞) • ცვლილების არე : yϵ(-∞;0) U (0;+∞) • გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან • თუ k>0შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში. • y=5/x y o x

თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში • y= - 3/x • ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს. y o x

განვიხილოთ • x - 1 ≠ 0 • x ≠ 1 5 + 2 y = x - 1 y 2 o 1 x y • x = 0 y = 5/-1 + 2 = -3 • y = 0 5 • x - 1 • 5 = -2x + 2 • 2x = -3 • x = -3/2 + 2 = 0 2 o -3/2 1 x - 3

განვიხილოთ y = k/|x| • ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში. • განვიხილოთ y = 5/|x| • დავუშვათ x > 0, მაშინ ფუნქცია იღებს სახეს y = 5/x y x o y y = 5/|x| x o

2x-3 2(x-3/2) 2(x-3/2+1-1) 2 (x+1-5/2)2 (x + 1) • y = = = = = x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 2∙ 5/2 5 x + 1 x + 1 x + 1 2 = = - 5 + 2 • y = x + 1 x + 1 ≠ 0 x ≠ -1 y x = 0 y = -3y = 0 x = 3/2 2 • 2x – 3 • განვიხილოთ y = • x + 1 - 1 3/2 x o - 3

განვიხილოთ y = 2x - 3 x + 1 y 3 2 - 1 3/2 x - 3 o

განვიხილოთ y = 3 x + |x| x < 0 |x|= - x 3 3 1) x ≠ 0 განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0. x – x 0 x > 0 |x| = x , მაშინ y = = =k = 3/2 > 0 3 3 3/2 y o x + x 2x x x განსაზღვრული არ არის y = =

x – 1 - | x – 1| • განვიხილოთ y = + 2 • 0,5 | x – 1 | • x – 1 ≠ 0 • x ≠ 1 x ϵ (-∞;1) (1;+∞) 1) x – 1 > 0 | x – 1 | = x – 1 მაშინ, • x> 1 • x – 1 – x + 1 • y = + 2 = 0 + 2 = 2 • 0,5 (x – 1)გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს. o y 2 1 x

x < 1 |x – 1|= - (x – 1) x – 1 + x - 1 2x – 2 2 ( x – 1) 2 y = + 2 = + 2 = + 2 = - + 2 = -4 + 2 = -2 0,5(-(x – 1)) - 0,5(x – 1) -0,5 (x – 1) 0,5 გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს. y o 1 x -2

გრაფიკის საბოლოო სახეა x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა 2-ში და გახდა მუდმივი y 2 o 1 x -2

განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 | • ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად. 1) y = x ³ • განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); • ცვლილების არე: yϵ(-∞;+∞); • ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის მიმართ. • ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე. y y 64 o -4 x x • y = (x +4) ³y=0 x + 4 = 0 • x = -4 • x=0 y=64 o

3) y = (x+4)³ -1 1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე (0;0) გადადის წერტილში (-4;-1) (0;0) → (-4;-1) ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს. y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0 (x+4) ³– 1 = 0 (x+4) ³ = 1 x + 4 = 1 x = -3 63 -3 -4 y -1 x y 63 4) y =|(x+4) ³– 1| წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში 1 -4 -3 x o

კვადრატული ფუნქცია ზოგადი ფორმულა y=ax2 + b x + c განსაზღვრის არე x ϵ ( - ∞; + ∞ ) გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა წვეროს კოორდინატები გამოითვლება ფორმულით: დისკრიმინანტი D=b2 -4ac

a>0 D>0 • yϵ[ y0 ; + ∞ ) • X=x0წრფე სიმეტრიის ღერძი • x ϵ [x0 ;+ ∞) • x ϵ (- ∞; x0] y . c X0 x o X2 X1 Y0

y . • a>0 D=0 • y0 = 0 • Y ϵ [0; + ∞) • X=X0 სიმეტრიის ღერძი c o x

y • a>0 D<0 • y ϵ [ y0 ; + ∞ ) c Y0 o x X0

a<0 D>0 • y ϵ (- ∞; y0 ;] • xϵ ( -∞; x0 ] • xϵ [x0 ; +∞) y Y0 c o X1 X0 X2 x

y • a<0 D=0 • y0 = 0 • Yϵ (- ∞; 0] X0 o x c

y • a<0 D<0 • y ϵ ( -∞ ;y0 ] • X= X0წრფესიმეტრიისღერძია კვადრატულიფუნქციისათვის X0 o x Y0 c

y 0 x -1 -5

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს,ავსახოთ ox სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში . 9 1

კვადრატული სამწევრი იშლება: y y x 5 x -2

ავაგოთ • ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ სათავის მიმართ სიმეტრიულშუალედში: • განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ ფუნქცია იღებს სახეს: D=25-24=1 y 6 o 2 x 3

საბოლოო სახე იქნება: y 6 o -2 -3 2 x 3

y 1 o x -2 -3

y 3 2 o 1 x y 5 4 o 1 x

ფუნქცია და მისი გრაფიკი •ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე •ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი •გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება I მეოთხედში და აქვს სახე: y 0 x

y განვიხილოთ: განსაზღვრის არეა -x≥0 x≤0 0 0 x x y განვიხილოთ: •ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞) •ფუნქცია ლუწია, რადგანგანსაზღვრულია კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედზე და

y ●განვიხილოთ: √5 • მაშინ -5 0 0 ●განვიხილოთ: x x y -1 -5 ¦ ¦ • -2 --------------------

●განვიხილოთ: ავაგოთ ეტაპობრივად: 1) 2 2) y y 2 0 0 x x

----- ¦ ¦ 0 y x 4) 2 y 3) 4 --- ● ¦ ¦ ¦ x 0 • 4 2 18 18

y . x 1

თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე : y . x 1

y y . . . x x -1 1 1

y . . x -2 2

y 1 -1 . . x -2 2

y = k x + b წრფივი ფუნქცია და გრაფიკის ზოგიერთი გარდაქმნა