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Calcolo delle Probabilità seconda parte

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Calcolo delle Probabilità seconda parte. Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali. Probabilità condizionata e indipendenza stocastica. Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere .

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Presentation Transcript
calcolo delle probabilit seconda parte

Calcolo delle Probabilitàseconda parte

Istituzioni di Matematiche

Scienze Naturali

probabilit condizionata e indipendenza stocastica
Probabilità condizionata e indipendenza stocastica

Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.

Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:

A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera

p(A)=15/20=3/4

La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è 5/19.

La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni

Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad Ap(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A.

(E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A soltanto se A è possibile.)

p b a
p(B|A)

= 5/19

La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una nera è

p(AB)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76

Regola di moltiplicazione:

p b a in funzione di p a e p a b
p(B|A) in funzione di p(A) e p(AB)

se p(A)≠0

Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari

B:={ottengo un numero < 5} A:={ottengo un dispari}

p(B)=2/3, p(A)=1/2, A B={1,3}, p(A B)=1/3

p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3

esercizio
Esercizio

La seguente tabella rappresenta la frequenza mensile in cui dei ragazzi vedono il telefilm “Friends”

Numero di volte al mese  Maschi  Femmine  Totale 

0  4  5 9 

1 - 5  7  9  16 

6 - 10  21  23  44 

11 - 15  11  9  20 

>15  3  5  8 

Totale  46  51  97

  • Scelgo una persona a caso.
  • Qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?

p(0)=9/97

  • Se è un maschio, qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?

p(0|M)=4/46

indipendenza stocastica
Indipendenza stocastica

Se per due eventi A e Bp(A|B)=p(A)

si dice: l’evento A è stocasticamente indipendente da B

  • Esempi:
  • Nell’esercizio precedente: non vedere mai il telefilm “Friends” ed essere maschio non sono stocasticamente indipendenti
  • Siano A:={una persona è alta più di 1 metro e 75}
  • B:={una persona non mangia Nutella}
  • Supponiamo che p(A)=0.5, p(B)=0.3, p(AB)=0.15
  • Allora p(A|B)=p(AB)/p(B)=0.15/0.3=0.5=p(A)
  • Dunque A è stocasticamente indipendente da B.

Nota:p(B|A)=p(AB)/p(A)=0.15/0.5=0.3=p(B)

anche B è stocasticamente indipendente da A.

Questo non è casuale:

A è stoc. indipendente da BB è stoc. indipendente da A

e diciamo “A e B sono indipendenti”

indipendenza stocastica indipendenza logica
Indipendenza stocastica ≠ indipendenza logica

ovvero in generale possiamo dedurre l’indipendenza stocastica solo dai dati che abbiamo a disposizione

Però può accadere che dalla logica dell’evento si possa dedurre l’indipendenza

Esempio: in un’urna ci sono 10 palline rosse e 12 nere. Estraiamo dall’urna una pallina poi la rimettiamo nell’urna (estrazione con reimbussolamento). Siano

A1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione}

A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione}

L’aver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza la probabilità che la seconda sia rossa

A1 e A2 sono indipendenti

regola di moltiplicazione per eventi indipendenti
Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Esempio: Nel caso dell’estrazione con reimbussolamento dell’esempio precedente la probabilità di estrarre entrambe le volte una pallina rossa è

p(A1A2)=p(A1)p(A2)=(10/22)2

Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi indipendenti A e B:

p(AB)=p(A)p(B)

Nota: non confondere i concetti di “eventi disgiunti” ed “eventi indipendenti”. Due eventi disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi fosse avrei p(AB)=p(ø)=0=p(A)p(B), quindi p(A) o p(B) sarebbe nulla). In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti: se un evento è realizzato non può esserlo l’altro.

esercizio1
Esercizio

Si hanno tre urne.

U1 ha 2 palline bianche e 2 nere

U2 ha 1 pallina bianca e 3 nere

U3 ha 4 palline bianche e 2 nere

Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina.

Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?

1/2

U1 bianca

U2 bianca

U3 bianca

1/3

1/3

1/4

1/3

2/3

P(bianca)=1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/3 + 2/3 * 1/3=17/36

teorema delle probabilit totali
Teorema delle probabilità totali

Dr. Daniela Morale

Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An

effetto

cause

esercizio2
Esercizio
  • In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%.
  • La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove.
  • Qual è la probabilità che vinca Mazzacane?

Sia P={piove} M={vince Mazzacane}

0.3 P 0.004 M

0.7 Pc0.0001 M

p(M)=0.3*0.004+0.7*0.0001=0.00127

teorema di bayes
Teorema di Bayes

Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An se sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare la probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico Ai

cause

effetto

esercizio continuazione
Esercizio (continuazione)
  • In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%.
  • La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove.
  • Se vince Mazzacane qual è la probabilità che piova?

Sia P={piove} M={vince Mazzacane}

0.3 P 0.004 M

0.7 Pc0.0001 M

p(P|M)=0.3*0.004/0.00127=0,94488

esercizio3
Esercizio

Sia C l’evento: la nuova sede di scienze sarà pronta nel 2009

e siaE : l’impresa a cui è dato l’appalto fallirà prima del 2008.

Se la probabilità che la ditta fallisca prima del 2008 è del 60% e

la probabilità che la sede sia pronta è del 0.15 o del 0.75 a seconda

se la ditta fallisce o no prima del 2008, calcolare la probabilità che

se la sede è pronta in tempo, la ditta sia non fallita prima del 2008

p(C|E)=0.15

E

C

p(E)=0.60

C

p(C| Ec)=0.75

Ec

p(Ec)=0.40

slide15

Da trovare p(Ec | C)

Nella formula del teorema di Bayes

A numeratore metto quanto viene moltiplicando i numeri del ramo relativo a S-E (quello in basso):

p(Ec) * p(C | Ec)=0.40 * 0.75 = 0.30

A denominatore metto la somma di quanto viene dai prodotti delle probabilità di entrambi i rami

p(E)*p(C | E)+p(Ec) * p(C |  Ec)=

=0.60 * 0.15 + 0.40 * 0.75 = 0.39

Trovo allora p(Ec | C)=0.30/0.39=0.77

esercizio di riepilogo
Esercizio di riepilogo

La seguente tabella mostra 1000 candidati ad una scuola per infermieri classificati secondo il punteggio riportato all’esame di ingresso all’università e la qualità della scuola superiore da cui provenivano

Dire qual è la probabilità che un candidato

1. Abbia avuto un punteggio basso all’esame.

2. Si sia diplomato in una scuola ottima

3. Abbia avuto un punteggio basso e si sia diplomato in una scuola ottima.

4. Ammesso che si sia diplomato in una scuola ottima, abbia avuto un punteggio basso

(Esercizio 7, pag. 72, Daniel - Biostatistica)