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向量组线性相关性的判定方法. 主讲教师 黄娟霞讲师. 1. 观察法 利用已知结论可观察出一个向量组的线性相关性 . 结论一：一个零向量线性相关；含有零向量的向量组线性相关 . 结论二：任意两个共线的向量线性相关；任意三个共面的向量线性相关 . 结论三：如果向量组的部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关 . 结论四 : 当 m>n 时， m 个 n 维向量一定线性相关. 例 1. 判断向量组
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向量组线性相关性的判定方法 主讲教师 黄娟霞讲师
1.观察法 利用已知结论可观察出一个向量组的线性相关性. 结论一：一个零向量线性相关；含有零向量的向量组线性相关. 结论二：任意两个共线的向量线性相关；任意三个共面的向量线性相关. 结论三：如果向量组的部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关. 结论四:当m>n时，m个n维向量一定线性相关.
例1. 判断向量组 是否线性相关性. 解：由于这是由4个3维向量组成的向 量组，则这个向量组是线性相关的.
2.定义法 定义 设1,2,…,n是F上向量空间V的n 个向量. 如果存在F中一组不全为零的k1,k2,…, k n，使得k11+k22+…＋ k nn＝0，那么就 称向量1,2,…,n线性相关. 如果不存在不全 为零的数k1, k2,…, kn使k11+k22+…＋ k nn ＝0成立，或者说，只有当k1＝k2＝…＝k n＝0 时，k11+k22+…＋ k nn＝0才成立，那么就 称1,2,…,n线性无关.
例2 设 ， , ， 证明 线性相关. 解：设存在四个数 ,使得 由已知 , , , , 得 令 ，则有 所以，由线性相关的定义可知，向量组 线性相关.
例3.判断向量组 是否线性相关. 解：因为 ，所以该向量组线性相关. 3．性质判定法 定理 向量组{1,2, …,n}(n2)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合.
4．方程组法 n 维向量组1,2, …,m线性相关 线 性方程组 有非零解，即 有非零解. 其中A=(1,2, …,n).
例4 判断R3的向量1＝(1,0, 1), 2＝(2, 2, 0),3＝(3, 5, 2)是否线性相关. 解：以A=( )为系数的方程组为 解之，得 k1＝2k3，k2＝ k3. 只要令k3＝1, 就有 k1＝2，k2＝ . 从而 21+ 2+3＝0. 所以1,2,3线性相关.
5．矩阵秩法 n 维向量组1,2, …,m线性相关 R(A)<m，其中 A=(1,2, …,m). 例5 .判断向量组 , ， ,是否线性 相关. 解：因为 即R(A)=2<3，所以向量组1,2,3线性相关.
6.行列式法 n维向量组1,2, …,n线性相关 detA=0，其中A=(1,2, …,n). 例6 判断向量组 ， , , 是否线性相关. 解：因为detA= , 所以向量组 1,2,3线性相关.
7．反证法 此方法即数学中常用证明方法,欲证命题真,先假设命题不真,导出矛盾,从而命题得证. 例7 如果向量组{1,2, …,n}线性无关，那么它的任意一个部分组也线性无关.
证 用反证法. 假设1,2, …,n中有一个部分组线性关，不妨设前p个向量线性相关，于是存在不全为零的数a1, a2, …, ap使 a11＋a22 ＋…＋a pp=0. 取ap+1=…= an=0，那么 a11＋ a22＋…＋a pp＋0p+1＋…＋0n=0. 而a1, …, ap不全为零，即a1, …, ap，ap+1，an不全为零，所以1,2, …,n线性相关，矛盾. 命题成立.
