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Ángulo central: Dibuja una circunferencia de centro O. Traza dos semirrectas que partan de O: por ejemplo, OA y OB. OA y OB son radios. El ángulo AOB se llama ángulo central. Angulo central. Arco central.

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Ángulo central:

Dibuja una circunferencia de centro O.

Traza dos semirrectas que partan de O: por ejemplo, OA y OB.

OA y OB son radios.

El ángulo AOB se llama ángulo central.

Angulo central

Arco

central

Ángulo central es el ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia.

El arco AB corresponde al ángulo central se llama arco central.

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Si se divide una circunferencia en

cuatro partes iguales, cada ángulo

central vale 90º

Relación entre ángulos centrales y arcos centrales

Sobre una circunferencia, dibuja un ángulo central, por ejemplo, AOB. Con un compás construye otro ángulo central igual: por ejemplo: COD.

Si el arco AB es igual al arco CD, entonces, AOB=COD, y al revés.

Dos ángulos centrales son iguales si lo son los arcos correspondientes,

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Ángulos centrales y arco: medida

En la primera figura, el ángulo completo se ha dividido en 360º partes iguales. Cada una de estas partes iguales, por definición, es 1 grado (1º).

En la segunda figura, la circunferencia se ha dividido también en 360 partes iguales.

¿Qué relación existe entre estas divisiones?

Según hemos visto en la diapositiva anterior, en una circunferencia, a arcos iguales les corresponden ángulos centrales iguales, y recíprocamente. Por tanto, cada parte de la circunferencia se llama también grado.

La medida del arco correspondiente al ángulo de 1º es un 1º de arco.

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Ángulos inscritos

Sea la circunferencia de centro O, y en ella un punto A. Con vértice en A, trazamos dos semirrectas secantes o tangentes. Se tienen los siguientes casos:

Los dos lados del ángulo son secantes

Un lado del ángulo es secante y el otro tangente

Los dos lados del ángulo son tangentes. Es un ángulo llano.

Estos ángulos se llaman inscritos. El arco que abarcan los lados es BC

Ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes o tangentes.

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Ángulos inscritos. Ejercicio resuelto

El ángulo central BOC mide 60º. ¿Cuánto medirá el ángulo inscrito BAC?

El ángulo BOA mide 120º, por ser suplementario de BOC = 60º.

El triángulo ABO es isosceles, por tener dos lados iguales: los radios.

Por lo tanto, los ángulos de la base son iguales y miden 30º. El ángulo inscrito BAC mide 30º.

Son iguales

El ángulo inscrito, BAC, mide la mitad del ángulo central, BOC, que abarca el mismo arco BC:

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Esta propiedad se cumple para cualquier ángulo inscrito

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca

El ángulo inscrito BAC mide aº. ¿Cuánto medirá el ángulo central BOC y, por tanto, el arco que abarca?

El triangulo ABO es isósceles, por tener dos lados iguales: los radios (OA = OB).

Por tanto, los ángulos del triángulo miden aº , aº y 180º - 2aº.

El ángulo BOC = 2aº, por ser suplementario de BOA

Esta propiedad se cumple para cualquier ángulo inscrito

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Este resultado permite resolver el siguiente problema:

Dada una recta y en ella un punto, trazar por ese

punto otra recta perpendicular a la dada.

Los pasos a seguir son:

Datos la recta r y en ella un punto A

Con centro en O, exterior a la recta, se traza una

circunferencia de radio OA que corta a la recta en B.

Se traza el diámetro de extremo B el otro extremo es

el punto C.

Se traza finalmente la recta CA

La recta CA es la perpendicular buscada

Para trazar perpendiculares, utiliza el ángulo

inscrito

Dibuja una circunferencia de centro O y en

ella un diámetro BC.

Construye un ángulo inscrito cualquiera cuyos

lados pasen por los extremos del diámetro.

Como el arco que abarca mide 180º, el ángulo

inscrito mide la mitad, 90º