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2.2.2 平面与平面平行的判定

2.2.2 平面与平面平行的判定. 连南民族高级中学 高一数学备课组. 复习巩固. 平面问题. 线面平行. 空间问题. 线线平行. 1 ．证明直线与平面平行的方法：. 直线与平面没有公共点. （ 1 ）利用定义；. （ 2 ）利用判定定理．. 2 ．数学思想方法：转化的思想. D. C. A. B. F. E. 练习. 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一个平面内， P ， Q 分别是对角线 AE ， BD 的中点. Q. 求证： PQ∥ 平面 BCE 。. P.

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2.2.2 平面与平面平行的判定

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  1. 2.2.2平面与平面平行的判定 连南民族高级中学 高一数学备课组

  2. 复习巩固 平面问题 线面平行 空间问题 线线平行 1．证明直线与平面平行的方法： 直线与平面没有公共点 （1）利用定义； （2）利用判定定理． 2．数学思想方法：转化的思想

  3. D C A B F E 练习 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和 ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD的中点 Q 求证：PQ∥平面BCE。 P 思路：在平面BCE内找PQ平行线。

  4. 复习回顾： 2.平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ （1）平行 （2）相交 α∥β 问题： 怎样判定平面与平面平行呢？

  5. 思考： 生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的。 观察： (1)三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？ (2)三角板或课本的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？

  6. 结论： 当三角板的两条边所在直线分别与地面平行时,这个三角板所在平面与地面平行。 探究： （１）平面内有一条直线与平面平行，，平行吗？ （２）平面内有两条直线与平面平行，，平行吗？

  7. 结论： （1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平面ABCD与平面BCC'B'不平行。

  8. Q P 结论： （2）分两种情况讨论： 如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不平行。 如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？

  9. 直线的条数不是关键 直线相交才是关键

  10. b a P 结论： 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行 符号表示：　 ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ 图形表示： 线不在多，重在相交

  11. 已知：a,b α,a∩b=P,a,b∥β. • 求证： α∥β. • 证明：假设α∩β＝c.∵a∥β, a α, ∴a∥c.同理b∥c.于是在平面内过点P有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，假设不成立. ∴ α∥β.

  12. 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行； （3）平行于同一直线的两个平面平行； （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行； （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面． 练习 × × × × ×

  13. 两平面平行的判定定理变式 • 定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 a,b α a∩b=P a,b∥β a’ ,b’ β a∥a’ b∥b’ a,b α α∥β • 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。

  14. 练习： a∥γ b∥γ a∥c b∥c ① ② 1）α、β、γ为三个不重合的平面，a,b,c为三条不同直线，则有一下列命题，不正确的是 a∥b a∥b α∥c β∥c α∥γ β∥γ ③ ④ α∥β α∥β α∥c a∥c α∥γ a∥γ a∥α ⑤ ⑥ α∥a

  15. 【例1】如图，在长方体 中， 求证：平面 平面 . D' C' B' A' 又 C 平面 D 是平行四边形 A B 线线平行 线面平行 面面平行 平面 平面 同理： 平面 平面 平面 证明：

  16. D1 C1 A1 B1 D C A B 变式一： 棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； E (2)求证：面AMN∥面EFBD. N F M

  17. D Q C P A B R G D C F A B E 变式二：在正方体AC中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB AD、DC、DD的中点， 求证：平面PQR∥平面EFG。

  18. 方法总结： 证明两个平面平行的一般步骤： 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。 第三步：利用判定定理得出结论。

  19. 小试牛刀 1、如图：三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱PA，PB，PC中点， 求证：平面DEF∥平面ABC。 P F D E A C B 2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD。 B N· ·G D M· A C

  20. 例2 已知四棱锥P – ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．

  21. 例2 已知四棱锥P – ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求证：平面MNQ∥平面PBC． 【证明】∵PM∶ MA = BN∶ND = PQ∶ QD. ∴MQ∥AD，NQ∥BP， 而BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC． 又∵ABCD为平行四边形，BC∥AD， ∴MQ∥BC， 而BC平面PBC，MQ平面PBC， ∴MQ∥平面PBC． 由MQ∩NQ = Q，根据平面与平面平行的判定定理， ∴平面MNQ∥平面PBC． 【评析】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．

  22. 课堂小结 今天学习的内容有： • 空间两平面的位置关系有几种？ • 面面平行的判定定理需要什么条件？ • 面面平行的判定定理的变式是什么?

  23. 小结 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 定理的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行

  24. 课堂作业：P62 T7 P63 T2

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