slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Συμβολισμός : . / . / . / . PowerPoint Presentation
Download Presentation
Συμβολισμός : . / . / . / .

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 17

Συμβολισμός : . / . / . / . - PowerPoint PPT Presentation


  • 86 Views
  • Uploaded on

Το Μ/Μ/1 Σύστημα Ουράς. Μ (η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson ) / Μ (οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν εκθετική κατανομή) / 1 (εξυπηρετητής). Εκθετικοί με παράμετρο μ. Διαδικασία αφίξεων Μ: Poisson D: Ντετερμινιστική G: Γενική. Χρόνοι Εξυπηρέτησης Μ: Εκθετικοί

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Συμβολισμός : . / . / . / .' - sheera


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Το Μ/Μ/1 Σύστημα Ουράς

Μ(ηδιαδικασία αφίξεωνείναι Poisson) /

Μ(οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν εκθετική κατανομή) /

1 (εξυπηρετητής)

Εκθετικοί με παράμετρο μ

Διαδικασία αφίξεων

Μ: Poisson

D: Ντετερμινιστική

G: Γενική

Χρόνοι Εξυπηρέτησης

Μ:Εκθετικοί

D: Ντετερμινιστικοί

G: Γενικοί

Αριθμός (#)

εξυπηρετητών

Μέγιστος αριθμός “πελατών” στο σύστημα

Συμβολισμός : . / . / . / .

  • Υποθέτουμε ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, και ανεξάρτητοι των interarrival times
  • Ο εξυπηρετητής ποτέ δεν μένει ανενεργής όταν υπάρχει πελάτης στο σύστημα (work conserving). Για να είμαστε συγκεκριμένοι, υποθέτουμε ότι η εξυπηρέτηση είναι First Come First Serve
poisson
Διαδικασία Poisson με ρυθμό λ

H διαδικασία Poisson Α(t) είναι μια counting process. Για κάθε t,το A(t) είναι μια τυχαία μεταβλητή, η οποία υποδηλώνει τον αριθμό τωναφίξεων στο χρονικό διάστημα από 0 έως t

Οι αριθμοί των αφίξεων σε μη επικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους

Ανεξάρτητοι

Εξαρτημένοι

Ο αριθμός των αφίξεων σε κάθε διάστημα μήκους τ ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λτ

, όπου λ ο ρυθμός αφίξεων

poisson1
Ιδιότητες μιας διαδικασίας Poisson

Έστω tn ο χρόνος της n-στης άφιξης και τn=tn+1 – tn ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων (interarrival time)

Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο λ (μέση τιμή 1/λ και διασπορά 1/λ2)

(Memoryless property - Χωρίς μνήμη)

  • Για κάθε t και κάθε (αρκετά μικρό) δ

P{A(t+δ) – Α(t) = 0} = 1 – λδ + ο(δ)

P{A(t+δ) – Α(t) = 1} = λδ + ο(δ)

P{A(t+δ) – Α(t) 2} = ο(δ)

όπου

Αυτά εξάγονται από τον ορισμό :

slide4

Εαν A1(t), A2(t), .....,Ακ(t) είναι ανεξάρτητεςδιαδικασίες Poisson με ρυθμούς λ1,λ2,....λκ αντίστοιχα, τότε η Α1(t)+A2(t)+…+Aκ(t) είναι διαδικασία Poisson με ρυθμό λ1+λ2+...+λκ

  • Εαν κάθε άφιξη μιας διαδικασία Poisson αποστέλλεται ανεξάρτητα στο σύστημα 1 με πιθανότητα p και στο σύστημα 2 με πιθανότητα 1-p,τότε οι αφίξεις στο κάθε σύστημα είναι Poisson και ανεξάρτητες (random splitting).
slide5

Αφίξεις

Αναχωρήσεις

Η κατάσταση τη χρονική στιγμή t

Θεωρούμε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t:οιμελλοντικές αφίξεις δεν εξαρτώνται από οτιδήποτε έχει προηγηθεί και οι μελλοντικές αναχωρήσεις εξαρτώνται από το παρελθόν μόνο μέσω του αριθμού N(t) των πελατών στο σύστημα κατά τη χρονική στιγμή t.

Συγκεκριμένα, αφού οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικοί, δεν έχει καμία σημασία το χρονικό διάστημα εξυπηρέτησης που έχει ήδη λάβει ο τρέχων πελάτης. ο υπολειπόμενος χρόνος μέχρι την αναχώρηση παραμένει εκθετικός με τις ίδιες παραμέτρους.

Ο μελλοντικός αριθμός των πελατών στο σύστημα εξαρτάται από τους προηγούμενους αριθμούς μόνο μέσω του τρέχοντος αριθμού N(t) .

slide6

Επικεντρώνουμε στις χρονικές στιγμές 0, δ, 2δ, 3δ, ..., kδ, ....

(δ αρκούντως μικρό)

Νk Ν(kδ) =ο αριθμός των πελατών στο σύστημα τη στιγμή kδ

Pij = P{ Nk+1= j | Νk = i } (πιθανότητες μετάβασης)

P00 = 1 – λδ + ο(δ) (καμία άφιξη)

Pii = 1 – λδ – μδ + ο(δ) , i 1 (καμία άφιξη ή αναχώρηση)

Pi,i+1 = λδ + ο(δ), i0(μία άφιξη)

Pi,i-1 = μδ + ο(δ), i 0(μία αναχώρηση)

[Σημείωση: Για κάθε κατάσταση n1, ο εξυπηρετητής είναι απασχολημένος και η πιθανότητα αναχώρησης είναι

Pr(X δ) = 1-e-μδ = μδ + ο(δ)]

Pi,j = o(δ), (η πιθανότητα πολλαπλών αφίξεωνή αναχωρήσεων είναι αμελητέα)

slide7

Έστω pnη πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση n όταν το σύστημα είναι στηνσταθερή κατάσταση (“steady state probabilities”)

Σημείωση: Για ένα αυθαίρετα μεγάλο χρονικό διάστημα, ο αριθμός των μεταβάσεων από την n στην n+1 είναι ίδιος με τον αριθμό των μεταβάσεων από την n+1στην n (+/- 1).

Επομένως, για κάθεnισχύει:

pn-1λδ = pnμδ pn=(λ/μ) pn-1=(λ/μ)2pn-2=…=(λ/μ)n p0

Ορίζοντας ρ= λ/μ (utilization factor) έχουμε

pn=ρnp0 , n=1,2,3,….

Για να βρούμε το p0:

ρ = η πιθανότητα το σύστημα να έχει τουλάχιστον έναν πελάτη (1-p0)

= η πιθανότητα ο εξυπηρετητής να είναι απασχολημένος

Ο αναμενόμενος αριθμός πελατών (Ν) στο σύστημα είναι :

slide8

Ο αριθμός των πελατών στο σύστημα αυξάνεται δραματικά όταν ρ 1 οπότε Ν

(δηλ. όταν η τιμή του λ πλησιάζει την τιμή του μ)

Από το θεώρημα του Little, έχουμε ότι η μέση καθυστέρηση Τ ενός πελάτη είναι

ο μέσος χρόνος, W, στην ουράείναι:

και ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά, ΝQ, είναι :

slide9

Παράδειγμα 1ο : Επιτάχυνση ενός Μ/Μ/1 συστήματος

for

όπου ρ=λ/μ

Έστω ότι ο ρυθμός αφίξεων λ και ο ρυθμός εξυπηρέτησης μ πολλαπλασιάζονται με μια σταθερά k.

Τότε τα Ν,ΝQκαι pnπαραμένουν αμετάβλητα.

Τ=1/(μ-λ) καιW=ρ/(μ-λ)

Η καθυστέρηση στο σύστημα Τ, και η καθυστέρηση στην

ουρά W,μεταβάλλονται ως προς 1/k

Αριθμός αναχωρήσεων β(t)

Αριθμός αφίξεων α(t)

Επιταχυνθέν σύστημα

Αριθμός αναχωρήσεων β(t)

Αριθμός αφίξεων α(t)

slide10

Παράδειγμα 2ο: Στατιστική πολυπλεξία έναντι FDM

Θεωρήστε 100 συνόδους (sessions), με αφίξεις Poissonσυνολικού ρυθμού λ και εκθετικά κατανεμημένα μήκη πακέτων, οι οποίες μοιράζονται έναν σύνδεσμο με ρυθμό εξυπηρέτησης μ πακέτα/sec

Στατιστική Πολυπλεξία

ρυθμός

εξυπηρέτησης μ

Πολυπλεξία με διαίρεση συχνότητας (FDM)

Αν χρησιμοποιήσουμε FDM, τότε η κάθε σύνοδος έχει ρυθμό λ/100 και “βλέπει” ρυθμό εξυπηρέτησης μ/100

Η χωρητικότητα διαιρείται σε 100 ίσα μέρη

Τ= 100/(μ-λ)

ρυθμός εξυπηρέτησης μ/100 ανά σύνοδο

slide11

Μ/Μ/m Σύστημα Ουράς

Οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και υπάρχουν m το πλήθος εξυπηρετητές (servers). Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο μ.

m εξυπηρετητές

  • Δοθέντος ότι υπάρχουν n πελάτες μέσα στο σύστημα, με n m, μια νέα αναχώρηση θα συμβεί μέσα στο επόμενο χρονικό διάστημα δ με πιθανότητα nμδ.
  • Για n>m,μια αναχώρηση θα συμβεί με πιθανότητα mμδ.
slide12

Αν

Αν

Έστω

Η πιθανότητα ένας πελάτης, όταν φτάνει στο σύστημα, να βρει όλους τους εξυπηρετητές απασχολημένους είναι :

Erlang C formula : (χρησιμοποιείται στην τηλεφωνία)

slide13

Ο αναμενόμενος αριθμός πελατών στην ουρά είναι :

Ο χρόνος αναμονής W είναι :

Και ο συνολικός χρόνος στο σύστημα, είναι :

slide14

Μ/Μ/m/m Σύστημα Ουράς

Οι πελάτες που φτάνουν στο σύστημα όταν όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, απορρίπτονται και χάνονται οριστικά από αυτό.

Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει όλους τους εξυπηρετητές απασχολημένους είναι :

Erlang B Formula

Τα Ν,Τ είναι μικρότερα από ό,τι στο Μ/Μ/m σύστημα, αλλά δεν έχει τόσο νόημα να μιλάμε για μέση καθυστέρηση σε ένα σύστημα που χάνει πελάτες.

Σε ένα τηλεφωνικό δίκτυο, η συμπεριφορά των πελατών είναι κάτι το ενδιάμεσο μεταξύ των συμπεριφορών που επιδεικνύουν οι πελάτες σε ένα Μ/Μ/m και σε ένα M/M/m/m σύστημα. Κάποιοι φεύγουν όταν δε μπορούν να εξυπηρετηθούν και κάποιοι συνεχίζουν να προσπαθούν.

slide15

Παράδειγμα:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν m=100 σύνοδοι που μοιράζονται ένα σύνδεσμο. Επίσης υποθέτουμε ότι υπάρχουν 100 κανάλια συχνοτήτων με τα πακέτα να δρομολογούνται προς κάθε διαθέσιμο κανάλι. Αυτό είναι ένα Μ/Μ/100 σύστημα.

[Στατιστική πολυπλεξία με χρήση m καναλιών]

100 υποκανάλια με ρυθμό εξυπηρέτησης μ/100 το καθένα

Όταν το φορτίο είναι ελαφρύ το σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα FDM σύστημα.

slide16

Για μεγάλο φόρτο, το σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα σύστημα που χρησιμοποιεί στατιστική πολυπλεξία

[Στατιστική πολυπλεξία για ολόκληρο το κανάλι]

Ένα κανάλι με ρυθμό εξυπηρέτησης μ

Για μικρό λ :

Για μεγάλο λ ( ) :

slide17

Σύστημα Ουράς

Είναι παρόμοιο με ένα Μ/Μ/m σύστημα, μόνο που τώρα

Οι μαθηματικές εκφράσεις μπορούν να βρεθούν, αν πάρουμε το όριο

από τις αντίστοιχες εκφράσεις του Μ/Μ/m συστήματος.

=

Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα είναι :

και