TEMA 8.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. TEMA 8.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Apuntes de Matemáticas 2º ESO

2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS • MAXIMOS LOCALES • Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO LOCAL en un punto x=a cuando en dicho punto pasa de ser creciente a ser decrecientre. • f (a - h) < f (a) > f (a + h) • MINIMOS LOCALES • Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO LOCAL en un punto x=b cuando en dicho punto pasa de ser decreciente a ser crecientre. • f (b - h) > f (b) < f (b + h) • Nota: h es un número positivo. y=f (x) Máximo local f (a) f (b) Mínimo local x a b Apuntes de Matemáticas 2º ESO

3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Máximo absoluto • MAXIMOS RELATIVOS • Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO RELATIVO en un punto x=a cuando en dicho punto presenta un máximo local sin ángulos y h es muy pequeño. • MINIMOS RELATIVOS • Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO RELATIVO en un punto x=b cuando en dicho punto presenta un mínimo local sin ángulos y h es muy pequeño. • MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS • Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO/MÍNIMO ABSOLUTO en un punto cuando f(x) el mayor/menor valor de la función en dicho punto. y=f (x) Máximo relativo f (a) Mínimo relativo f (b) Mínimo absoluto x a b Apuntes de Matemáticas 2º ESO

4. Ejemplos de MÁXIMOS Y MÍNIMOS • Sea la función f(x) = a.x2 + b.x + c • Ejemplo 1 • Sea la función cuadrática f (x) = 2x2 – 2 • Como a = 2 > 0  Parábola cóncava • Presenta un Mínimo Local en el vértice: • Mín = V(0 , – 2) • Ejemplo 2 • Sea la función cuadrática f (x) = – x2 + 2.x • Como a = – 1 < 0  Parábola convexa • Presenta un Máximo Local en el vértice: • Mín = V(1 , 1) • Nota: En ambos casos los máximos y mínimos locales son también relativos y absolutos. V=Min V=Max Apuntes de Matemáticas 2º ESO

5. Ejercicio completo • En el siguiente ejercicio determinar: • Dominio de la función. • Tipo de funciones representadas e intervalos correspondientes. • Puntos de discontinuidad. • Valor de la función en dichos puntos. • Intervalos de discontinuidad. • Máximos y mínimos locales. • Coordenadas. • Máximos y mínimos absolutos. • Coordenadas • Máximos y mínimos relativos. • Coordenadas • Intervalos de crecimiento. • Intervalos de decrecimiento. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

6. Ejercicio y = f(x) G 5 4 3 2 1 - 1 B H D M A A F N J E I C L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x K Apuntes de Matemáticas 2º ESO

7. Ejemplo práctico • Compramos 50 kg de cierta mercancía a 5€ el kilo. • Cada día que pasa se deterioran 2 kg, que ya no podemos vender. • A su vez cada día que transcurre desde la compra el kg aumenta en 50 céntimos. ¿Cuánto tiempo debemos esperar a venderla para obtener el máximo beneficio?. • Si la vendemos muy pronto, vendemos más kg pero a un precio muy parecido al de compra, con lo cual los beneficios serán muy pequeños. • Si la vendemos muy tarde, vendemos cada kg a un precio muy elevado respecto al de compra, pero tendremos ya muy poco género para vender, con lo cual los beneficios, si les hay, serán muy pequeños. • Sea x el número de días que esperamos para vender el género. • Venta=Kilos x Precio • V=(50 – 2.x).(5 + 1.x)=250 – 10.x + 50.x – x2 = – x2 + 40.x + 250 • f(x)= – x2 + 40.x + 250  Función cuadrática  Parábola • El máximo beneficio se alcanzará en el vértice de la misma, siendo ésta convexa. Apuntes de Matemáticas 2º ESO