Chapitre 8 equations in quations
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CHAPITRE 8  Equations - Inéquations. Objectifs:. Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable. Résoudre l’équation x ² = a, où a est un nombre positif. Comparer des nombres en utilisant l’addition et la multiplication.

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Chapitre 8 equations in quations

CHAPITRE 8  Equations - Inéquations


Objectifs
Objectifs:

  • Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B

  • sont des expressions du 1er degré de la même variable.

  • Résoudre l’équation x² = a, où a est un nombre positif.

  • Comparer des nombres en utilisant l’addition et la multiplication.

  • Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.


La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le

perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)

consiste en:

- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3),

le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.

Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais

al Khwarizmi

s’attache à s’en débarrasser au plus vite.

Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.

- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits.

A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham

et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard

xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.


1) Les deux règles de résolution

Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes :

Règle n°1 : On ne change pas les solutions d’une équation en

ajoutant ou en retranchant un même nombre aux

deux membres d’une équation.

Règle n°2 : On ne change pas les solutions d’une équation en

multipliant ou en divisant ses deux membres par

un même nombre non nul.


Vocabulaire

Inconnue

c’est une lettre qui cache un nombre cherché →

c’est une opération « à trous » dont « les trous »

sont remplacés par une inconnue →

Equation

c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue.

Résoudre une équation

Solution

c’est le nombre caché sous l’inconnue  →

Vérification :

10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3 donc 0,625 est solution.


2) Quatre exemples

Résoudre les équations suivantes :

Le but est de réunir la « famille des x»

dans le membre de gauche et la « famille

des nombres » dans le membre de droite.

On élimine +4 à gauche en ajoutant

dans chaque membre -4 (Règle n°1 )

On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 )

La solution de cette équation est


Le but est de réunir la « famille des x »

dans le membre de gauche et la « famille

des nombres » dans le membre de droite.

On élimine -13 à gauche en ajoutant

dans chaque membre +13 (Règle n°1 )

On élimine -5x à droite en ajoutant

dans chaque membre +5x (Règle n°1 )

On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 )

La solution de cette équation est


On va d’abord développer et réduire

chaque membre de l’équation avant de

passer à la résolution.

On peut maintenant passer à la résolution

comme pour l’exemple n°2.

La solution de cette équation est


2x

x7

On va d’abord réduire chaque membre

de l’équation au même dénominateur, ici 14.

x7

2x

On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 )

On peut maintenant passer à la résolution

comme pour l’exemple n°1.

La solution de cette équation est


II. Equations du 2nd degré à une

inconnue

1) Equation produit nul

Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Exemple: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Soit 4x + 6 = 0 Soit 3 - 7x = 0

4x = -6

- 7x = -3

x = -6/4

x = -3/-7

x = 3/7

x = -3/2

Les deux solutions de l’équation sont : x = -3/2 et x = 3/7

Remarque : on peut noter aussi S= {-3/2 ; 3/7}


2) Equation du type x² = a

Les solutions de l’équation x² = a (avec a > 0) sont :

et

Remarque :

si a est négatif l’équation n’admet

pas de solution.

Exemples : - Résoudre l’équation

Les solutions de l’équation sont : et


- Résoudre l’équation

On a : et

Soit encore : et

Les solutions de l’équation sont :

et


1) Ordre et opérations

Exemples:

- Si x < 3, que peut-on dire

de 3x – 4 ?

-Si x > 1, que peut-on dire

de – 2x + 4 ?

x < 3

x > 1

x3

x3

x(– 2)

x(– 2)

3x < 9

<

-2x -2

– 4

– 4 

+ 4 

+ 4 

3x - 4 < 5

- 2x + 4 < 2


Règle n°3 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on

ajoute ou on retranche un même nombre (positif ou négatif)

aux deux membres d’une inéquation.

Règle n°4 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on

multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation

par un même nombre POSITIF.

Règle n°4 bis: On change le sens d’une inégalité si on

multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation

par un même nombre NEGATIF.


2) si on Résolution d’une inéquation

Inéquationinégalité qui contient une inconnue x.

Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs

de xqui vérifient cette inégalité.

il s’agit d’un ensemble de valeurs.

On résout une inéquation du 1er degré à une

inconnue de la même manière qu’une équation

du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien

appliquer les règles 3, 4 et 4bis.

Remarque :


Exemples : si on

Résoudre les inéquations suivantes et représenter

les solutions sur une droite graduée.

.

solutions

0

1

1/7

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à


On divise par un nombre négatif si on

donc on change le sens de l’inégalité.

solutions

-1

- 2

0

1

2

-3/2

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à


ad