Applied Econometrics Second edition

1. Applied EconometricsSecond edition Dimitrios Asteriou and Stephen G. Hall

2. Ετεροσκεδαστικότητα Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα Συνέπειες της ετεροσκεδαστικότητας Διάγνωση ετεροσκεδαστικότητας Επίλυση ετεροσκεδαστικότητας

3. Στόχοι μαθήματος 1. Κατανόηση της έννοια της ετεροσκεδαστικότητας και της ομοσκεδαστικότητας μέσω παραδειγμάτων. 2. Κατανόηση των συνεπειών της ετεροσκεδαστικότητας στους εκτιμητές OLS. 3. Διάγνωση ετεροσκεδαστικότητας μέσω μελέτης διαγράμματος. 4. Διάγνωση ετεροσκεδαστικότητας μέσω επίσημων οικονομετρικών test. 5. Διάκριση μεταξύ του ευρέους φάσματος των διαθέσιμων test για τη διάγνωση της ετεροσκεδαστικότητας. 6. Εκτέλεση ελέγχων ετεροσκεδαστικότητας με τη χρήση οικονομετρικού λογισμικού. 7. Επίλυση ετεροσκεδαστικότητας με τη χρήση οικονομετρικού λογισμικού.

4. Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα Ετερό- (διαφορετικός ή άνισος) είναι το αντίθετο του ομο- (ίδιος ή ίσος)… Σκέδαση είναι η διάδοση ή η διασπορά… Ομοσκεδαστικότητα= ίση διασπορά Ετερασκεδαστικότητα= άνιση διασπορά

5. Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα Η υπόθεση5 του CLRM δηλώνει ότι οι διαταραχές θα πρέπει να έχουν μια σταθερή (ίση) διακύμανση ανεξάρτητη τουt: Var(ut)=σ2 Συνεπώς, έχοντας μια ίση διακύμανση σήμαινει ότι οι διακυμάνσεις είναι ομοσκεδαστικές.

6. Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα Εάν παραβιάζεται η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας τότε: Var(ut)=σt2 Όπου η μόνη διαφορά είναι ο δείκτηςt, που προσαρτάται στο σt2, που σημαίνει ότι η διακύμανση μπορεί να αλλάξει για κάθε διαφορετική παρατήρηση του δείγματοςt=1, 2, 3, 4, …, n. Κοιτάξτε τα παρακάτω διαγράμματα…

7. Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα

8. Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα

9. Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα

10. Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα Πρώτα γράφημα:Ομοσκεδαστικά κατάλοιπα Δεύτερο γράφημα:πρότυπα εισοδήματος-κατανάλωσης, για χαμηλά επίπεδα εισοδήματος όχι πολλές επιλογές,ενώ συμβαίνει το αντίθετο για υψηλά εισοδήματα. Τρίτο γράφημα:βελτιώσεις στις τεχνικές συλλογής δεδομένων (μεγάλες «τράπεζες» δεδομένων) ή στα μοντέλα μάθησης σφάλματος (η εμπειρία μειώνει την πιθανότητα μεγάλων λαθών)

11. Συνέπειες της Ετεροσκεδαστικότητας • Οι εκτιμητές OLS εξακολουθούν να είναι αμερόληπτοι και συνεπείς. Αυτό συμβαίνει γιατί καμία από τις ερμηνευτικές μεταβλητές δεν συσχετίζεται με τον όρο του σφάλματος. Έτσι, μια σωστά προσδιορισμένη εξίσωση θα μας δώσει τιμές των εκτιμημένων συντελεστών που είναι πολύ κοντά στις πραγματικές παραμέτρους. • Επηρεάζεται η κατανομή των εκτιμημένων συντελεστών αυξάνοντας τις διακυμάνσεις των κατανομών και συνεπώς κάνοντας τους εκτιμητέςOLS αναποτελεσματικούς. • Υποεκτιμώνται οι διακυμάνσεις των εκτιμητών, οδηγώντας σε υψηλότερες τιμές των στατιστικώνt και F .

12. Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας Γενικά, υπάρχουν δύο τρόπο. Ο πρώτος είναι ο ανεπίσημος τρόπος, ο οποίος γίνεται μέσω διαγραμμάτων κι έτσι ονομάζεται γραφική μέθοδος. Ο δεύτερος είναι μέσω επίσημων testγια ετεροσκεδαστικότητα, όπως τα παρακάτω: • Το Breusch-Pagan LM Test • Το GlesjerLM Test • Το Harvey-Godfrey LM Test • ΤοPark LM Test • ΤοGoldfeld-QuandtTets • Το White Test

13. Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας Σχεδιάζουμε το τετράγωνο των καταλοίπων που λαμβάνονται απέναντι στο προσαρμοσμένοY και στα X και παρατηρούμε τα πρότυπα.

14. Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας

15. Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας

16. Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας

17. Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας

18. Το Breusch-Pagan LM Test Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα κατάλοιπα. Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική παλινδρόμηση: Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM=nR2, όπου nκαιR2προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση. Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεσηκαι συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.

19. ΤοGlesjer LM Test Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα κατάλοιπα. Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική παλινδρόμηση: Βήμα 3: ΥπολογίζουμεLM=nR2, όπουnκαιR2προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση. Βήμα 4: ΕάνLM-stat>χ2p-1απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.

20. Το Harvey-Godfrey LM Test Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα κατάλοιπα. Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική παλινδρόμηση: Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM=nR2, όπου nκαι R2προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση. Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.

21. ΤοPark LM Test Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα κατάλοιπα. Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική πανιδρόμηση: Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM=nR2, όπου nκαι R2προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση. Βήμα 4: ΕάνLM-stat>χ2p-1απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.

22. ΤοEngle’s ARCH Test Ο Engle εισήγαγε μια νέα έννοια, επιτρέπονταινα υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα στη διακύμανση των όρων σφάλματος, παρά στα ίδια τα σφάλματα. Η κεντρική ιδέα είναι ότι η διακύμανση τουutεξαρτάται από το μέγεθος του τετραγωνισμένου σφάλματος της προηγούμενης περιόδουςu2t-1για το μοντέλο πρώτης τάξης ή: Var(ut)=γ1+γ2u2t-1 Το μοντέλο μπορεί εύκολα να επεκταθεί και για μεγαλύτερες τάξεις: Var(ut)=γ1+γ2u2t-1+…+ γpu2t-p

23. ΤοEngle’s ARCH Test Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και παίρνουμε τα κατάλοιπα Βήμα 2: Παλινδρομούμε τα τετραγωνισμένα κατάλοιπα σε μια σταθερά και στους όρους των τετραγωνισμένων σφαλμάτων με χρονική υστέρηση, ο αριθμός των υστερήσεων θα καθορίζεται από την τάξη, που έχει υποτεθεί, για την τάξη των επιδράσεων ARCΗ. Βήμα 3: Υπολογίζουμε τοLM statistic = (n-ρ)R2από το μοντέλο LMκαι το συγκρίνουμε με την κριτική τιμή του Χ τετράγωνο. Βήμα4: Συμπέρασμα

24. Το Goldfeld-QuandtTest Βήμα 1: Διακρίνουμε μια μεταβλητή η οποία σχετίζεται στενά με την διακύμανση των διαταραχών, και ταξινομούμε τις παρατηρήσεις αυτής της μεταβλητής σε φθίνουσα σειρά. (από το υψηλότερο στο χαμηλότερο). Βήμα 2: Χωρίζουμε το ταξινομημένο δείγμα σε δύο ίσα δείγματα παραλείπονταςcκεντρικές παρατηρήσεις, έτσι ώστε τα δύο δείγματα να έχουν από½(n-c)παρατηρήσεις.

25. Το Goldfeld-QuandtTest Βήμα Παλινδρόμουμε την μεταβλητήY στην X που χρησιμοποιήσαμε στο βήμα1 για κάθε μικρότερα δείγμακαι λαμβάνουμε τοRSSγια κάθε εξίσωση. Βήμα 4: Υπολογίζουμε τοF-stat=RSS1/RSS2, όπου RSS1είναι τοRSSμε την υψηλότερη τιμή. Βήμα 5: Εάν F-stat>F-crit(1/2(n-c)-l,1/2(n-c)-k)απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση για ομοσκεδαστικότητα.

26. Το White’s Test Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα κατάλοιπα. Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική παλινδρόμηση: Βήμα 3: Υπολογίζουμε τοLM=nR2, όπου nκαιR2προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση. Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει σημαντική απόδειξη για ετεροσκεδαστικότητα.

27. Επίλυση Ετεροσκεδαστικότητας Έχουμε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις: • Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα (GLS) • Σταθμισμένα Ελάχιστα Τετράγωνα (WLS) • Ετεροσκεδαστικότητα-Μέθοδος συνεπής εκτίμησης

28. Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα Θεωρείστε το παρακάτω Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+…+βkXkt+ut όπου Var(ut)=σt2

29. Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα Εάν χωρίσουμε κάθε όρο με βάση την τυπική απόκλιση του όρου σφάλματοςσt, έχουμε: Yt=β1 (1/σt)+β2X2t/σt+β3X3t/σt+…+βkXkt/σt+ut/σt ή Y*t= β*1+ β*2X*2t+ β*3X*3t+…+ β*kX*kt+u*t Όπου τώρα έχουμε ότι: Var(u*t)=Var(ut/σt)=Var(ut)/σt2=1

30. Σταθμισμένα Ελάχιστα Τετράγωνα Η διαδικασία GLS είναι η ίδια όπως WLS όπου έχουμε βαρύτητες, wt, προσαρμόζοντας. Ορίζουμε wt=1/σt, και ξαναγράφουμε το αρχικό μοντέλο ως εξής: wtYt=β1wt+β2X2twt+β3X3twt+…+βkXktwt+utwt Όπου αν ορίζουμε ως wtYt-1=Y*t και Xitwt=X*it παίρνουμε ότι: Y*t= β*1+ β*2X*2t+ β*3X*3t+…+ β*kX*kt+u*t