森棟公夫 京都大学経済学部 45＝35+10

1. 日本経済学会　　2006年10月21日　 13：10-14：00 実現ボラティリティ 森棟公夫 京都大学経済学部 45＝35+10

2. アウトライン • ボラティリティとは何か？ • 収益率の分散（あるいは標準偏差） • なぜ分散の性質を研究するのか • 効率的な市場だと，対数価格はランダム･ウォークに従う。 　　(前期値に乱数が付加されるだけ） • 役に立つのか？？ • リスク管理 • オプション価格の決定要因 • ボラティリティの取引

3. 従来の研究は • ARCH （ノーベル賞） ,　GARCH　　　条件付き不均一分散モデル　，SVなど　(渡辺敏明　ボラティリティ変動モデル　朝倉書店） • 実現ボラティリティ(Realized Volatility: RV)とは？ • 高頻度データを使って計算したボラティリティ推定値，標本分散　（モデル不要） • 実現ボラティリティの長所と特徴 • モデルを使わなくて良い。モデルのスペックエラーを避けられる • 容易に計算できる • 実現ボラティリティの未解決大問題 • ノイズの影響 • 実現ボラティリティの将来性 • モデル依存型からモデルに依存しない実現ボラティリティへ：利用度高まる

4. ボラティリティ分析の基礎

5. ボラティリティに関する基礎知識 • 収益率の図

6. 時系列分析の基礎知識 • 自己相関係数：同一変数の，t期と(t-k)期の値の相関係数。無関係なら0，よく似ていると1に近い値を取る。 • 自分のt時点の体重と，一年前の体重の相関係数 • kを0とすれば，同じ値だから相関係数は1になる。（図の最初の棒） • 例えば，kとして50以下の正の整数をとり，相関係数をすべてのkについて計算する，これを自己相関関数という • 時系列の性質自己相関関数に集約 • 図は，収益率に時系列構造がないことを示している。つまり，効率的市場仮説が支持されている。

7. 収益率の自己相関関数（k次ラグの相関係数）収益率の自己相関関数（k次ラグの相関係数）

8. ところが，収益率の分散を見てみると，一定とは言えない。ところが，収益率の分散を見てみると，一定とは言えない。 • 収益率の図をみると理解できるように，収益率の散らばりの幅は時間と共に変化し，かつ，大きな散らばりは固まって現れる。これをボラティティ･クラスタリングという。

9. ボラティリティが観測できないので，収益率の二乗の自己相関関数を求めるボラティリティが観測できないので，収益率の二乗の自己相関関数を求める • 有意な相関がみつかる。自己相関係数に時系列構造が生じる。ボラティリティ･クラスタリングとは，このような時系列構造。

10. ボラティリティ推定法

11. ARCH, GARCH, SVモデルなど盛りだくさん。 • 収益率式とボラティリティ式の二式で構成 • 第一式は収益率式： • 収益率　 • 条件付き分散（ボラティリティ）　　 • 分散が1のホワイト･ノイズ（確率変数ということ）

12. もう1個の式はボラティリティ式 • 分散が，「過去」を所与とした上で，上式により表現できるとする。これを条件付き不均一分散 (CH)という。これは未知 　　過去への依存具合をモデル化する事が必要。 • 最もポピュラーなGARCH(1,1)モデルは， • ノーベル賞を貰ったEngleのARCH（アーチ）は

13. 二式を結びつけるのは条件付き期待値 • 過去を条件とした，収益率の条件付き分散は

14. ボラティリティをGARCHで推定 • ボラティリティーは観測不可能 先のGARCH(1,1)の推定をする。図の収益率上下の黒線は2シグマ線で，GARCH推定により得られる。通常2シグマ線は均一分散で，直線

16. ボラティリティ研究の新展開：実現ボラティリティ（Realized Volatility,RV）

17. 一日に数十個の日中観測値があれば，一日当たり収益率と，日中収益率の標本分散=RVが計算できる。モデル不要！！これが重要！！一日に数十個の日中観測値があれば，一日当たり収益率と，日中収益率の標本分散=RVが計算できる。モデル不要！！これが重要！！ • 理論的な根拠 • Merton (1980)、高頻度のデータから求まる標本分散によって，任意の時間の条件付き分散が正確に推定できる

18. 例：一日当たり収益率と標本標準偏差 • 収益率と2シグマ=　　　　　　の図

19. 実現ボラティリティの長所と短所 • 初等統計における標本分散だから，計算が容易。 • ボラティリティの性質を直接検討することができる • 従来は，収益率だけ観測可能→GARCH • 漸近分布なども利用可能で，実用性が非常に高い。 • 従来のARCH,GARCH,SVモデルのような高度の知識や複雑な計算法が不必要である • 問題は • データのavailabilityが低い。高価！！ • 原系列は使えないので，フィルターしないといけない。 • 観測誤差の影響が大

20. 実現ボラティリティの数値例 • データの基礎的な性質を求めるために便利 • 収益率は裾厚分布，ボラティリティは長期記憶性

21. 絵で見る収益率データ：基礎的な性質 • データ：N株に関する2843日分の60分足系列から求めた標準化日次収益率

22. N株　収益率：標準正規密度と比較すれば，ヒストグラムは裾厚、尖度過剰N株　収益率：標準正規密度と比較すれば，ヒストグラムは裾厚、尖度過剰

23. N株RVの時系列を見ると，クラスタリング 収益率の二乗ではなくRVを利用

24. N株　収益率をRVで標準化する 収益率を各日のRVで標準化すれば，分布は標準正規に近づく

25. N株　RVとlogRVの自己相関関数 • クラスタリング明らか。また長期記憶性も • 収益率に関しては自己相関関数は有意な値が無かった。収益率の2乗については，6次まで有意だった。RVに関しては，50次以上有意

26. 長期記憶性の検討 自己相関関数の形状から，長期記憶性が明らかになる。 長期記憶性：昔の影響が残る

27. 計算ツールの紹介：差分演算子 • ラグ：LXt=Xt-1 • 一階差分：(1-L)Xt=Xt-LXt =Xt-Xt-1　　 • 二階差分：(1-L)2Xt=(1-2L+L2)Xt =Xt-2LXt +L2Xt 　　　　　　　　　　　　　　= Xt-2Xt-1 +Xt-2 • 小数差分：dが小数だと，2項展開して 　　(1-L)ｄXt=Xt +

28. 定常性(Stationarity)のまとめ • {Xt}　t=1,2,….,T が定常: 原系列が定常 • ARMA　（後で紹介） • 定常性？Cov(Xt Xt-k)が，時間差kに依存，時点tに依存しない • {(Xt-Xt-1)} ＝{(1-L) Xt} t=1,2,….,T が定常：差分が定常 • ARIMA • ARIMA=ARMA×I • 小数和分　{(1-L)dXt} t=1,2,….,T が定常：小数差分が定常 • ARFIMA あるいは　FARIMA　(後で紹介） • ARFIMA=ARMA×FI • 全て分析法が異なる。検定によって調べる。

29. 1.　　通常の時系列は，原系列 {Xt} が定常。 　定常性とは，Cov(Xt Xt-k)が，kに依存し，時点tに依存しないといった性質。 • 2.　　1985-1995年に集中的に研究された単位根系列あるいは和分過程{Xt}は，(Xt-Xt-1)= (1-L) Xtが定常。ランダムウォーク 　　　　　一階の差分を取ると定常になる，といわれる。 Granger ノーベル賞 • 3.　　長期記憶過程{Xt}とは小数和分過程ともいわれるが，小数dに関して， {(1-L)dXt} が定常になる。小数差分が定常 　　　　特にd<0.5なら，定常な長期記憶過程となる。 • 参考：蓑谷千凰彦「金融データの統計分析」東洋経済新報社

30. 長期記憶性検定　（N株に関する検定結果:0<d<0.5）長期記憶性検定　（N株に関する検定結果:0<d<0.5） • 修正R/S検定: • RVは3.9で1%有意，対数RVに関しては5.3でやはり1%有意となる • GPH検定： • RVに関するdは0.36，検定統計量は3.6で1%有意，したがって定常な長期記憶となる • ハースト係数： • RVのハースト係数は0.70，対数RVは0.79となり，ともに定常な長期記憶という結果になる • 局所Whittle検定： • R/S検定の結果と変わらない • パラメトリックモデルの推定： • 定常な長期記憶という結果になる

31. GARCHなどとRVを比較する 　比較の基準：予測平均平方誤差(MSPE) 予測にはモデルが必要。

32. 比較のためのMSPE基準 • データ：RVデータは日次で2842個，その内最初の1842日を用いて推定を行い，まず1843日目だけの一日予測をする。 • 推定を日々アップデートし，一日予測を1000回繰り返す • RVについても，過去データを推定し，t期のRVを予測する。それをt期の観測値と比較。 • 比較の基準はMSPE（予測の平均平方誤差）

33. 予測のためのモデルの紹介 • GARCH（ボラティリティ　　観測不可） 収益率式 ボラティリティ式 • RVに関するARMA法　（古典的な時系列法） 収益率式　　使わない ボラティリティ式

34. RVに関するARFIMA(FARIMA) • 長期記憶を扱うためのARMAの改良 • ARFIMA=ARMA×FI（小数和分） • ARFIMAモデルが一番良いということになっている。ABDL論文 • Andersen, Bollerslev, Diebold, Labys (2003) ‘Modeling and Forecasting Realized Volatility’ Econometrica 71 529-626

35. RVに関するARFIMA(FARIMA) • ARFIMA • 収益率式使わない • ボラティリティ式 　　（ARMAの拡張）

36. このような諸推定法の比較を行った • EGARCH　(追加） • GARCH • ARMA • FARIMA • これらのモデルのMSPEを比較

37. 表1　　予測平均平方誤差(MSPE)の比較

38. 最初の４モデルの比較 結果： • GARCHよりRVを使うARFIMAがはるかに優れている • これはABDLの再確認 • しかし，RVだけの系列を使った一変数分析。収益率RETを利用していない。RETとRVの両方使うにはVAR(複数ARMA）が適切

39. VAR • VARモデル • VARを考えると，収益率とボラティリティ間の，Leverage効果も容易に分析できる。 Leverage ＝Causality，共相関関数の分析が利用できる。

40. レバレッジは？

41. VARFIMA • 収益率式とボラティリティ式のVAR（2式のARMA）。しかし，小数和分はどうするか？？小数差分を取る • 長期記憶を処理 • ボラティリティに小数差分表現を使う。簡単なモデルは

42. この式の推定は困難 • そこで，小数差分を展開して，有限項で近似する。 • 展開は • VAR式は

43. 各　　　　　　　　　を展開すると，

44. この式を整理して

45. 係数に関する制約 • 係数には制約が含まれる など，高次まで続く。 • 推定は，係数制約を無視して最小2乗法で行う。独立変数の数は211個，一日毎のupdate推定を1000回繰り返して，MSPEを求めた。

46. 表1　　予測平均平方誤差(MSPE)の比較 5 RV +収益率 VAR-FIMA RV=200, RET=10 132% 217

47. 結論 • この報告では，最近のボラティリティ研究を概説した • RVに関する計算例を示したが，長期記憶性に関する性質を含め，最近の諸結果を追認するものとなる • RVに関する応用は，ボラティリティ値が容易に推定可能になるため，ティックデータの利用可能性が高まるにつれ急速に広まっていくと予想される • 予測では，VARFIMA＝高次VARMAが最も優れている • RVを利用する際の最大問題は観測ノイズの処理だが，これは困難な諸問題を含む