Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie - PowerPoint PPT Presentation

matematiken i per n rg rds o ndlighetsserie n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie PowerPoint Presentation
Download Presentation
Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie

play fullscreen
1 / 30
Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie
123 Views
Download Presentation
shawna
Download Presentation

Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Matematiken iPer Nørgårdsoändlighetsserie Matematikbiennalen 2014 Hans Thunberg thunberg@math.kth.se

  2. Per Nørgård • Dansk tonsättare , född 1932 • En av de ledande i Norden i sin generation • Nordiska rådets musikpris 1974 • Sibeliuspriset 2006 • Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012 Oändlighetsserienen metod att generera melodier- med överflöd på symmetrier och fraktal struktur- med i princip oändlig utsträckning utan exakt upprepning

  3. Konstruktion av en oändlighetsserie - Välj ett tonförråd (”skala”)t ex stamtonerna (”de vita tangenterna”) - Välj två inledande toner Nørgårds algoritm gör resten …..

  4. Nørgårds algoritm + 1 - 1 + 1 -2 + 2 - 2

  5. Nørgårds algoritm, forts. + 3 + 3 -3 - 1 - 1 + 1 Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n steg

  6. + 13 + 13 - 13

  7. Enkel formel – Rika egenskaper • Nya lägsta och högsta toner efter steg • Innehåller oändligt många transponerade kopior av sig själv i långsammare tempo • Innehåller oändligt många spegelvända (”upp-och-nervända”) transponerade kopior av sig själv • Har fraktal struktur

  8. Nya lägsta och högsta toner efter steg:

  9. Var fjärde ton ger tillbaks den ursprungliga melodin

  10. Var annan ton med start från andra tonen ger melodin transponerad - 1 + 5 - 2 + 1 - 2 + 3 - 1 - 5 + 2 + 1 - 3 + 1 + 2 - 1 Var annan ton ger melodin spegelvänd (”upp-och-ner”)

  11. Var 8:e ton med start från den sjunde ger en transponerad spegelbildVar 8:e ton med start från den åttonde ger ett transponat osv

  12. Klipp-och-Klistra Egenskapen

  13. ?

  14. Modell: Nørgårdföljder Talföljd , , , … } Välj begynnelsevärden och Välj två inledande toner för ges av där Differens efter n steg subtraheras och adderas efter 2n steg

  15. Exempel Välj t ex där osv …

  16. Om är en Nørgårdföljd gäller Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med Sats 2. Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av . Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av .Sats 3. Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.

  17. Modelltest ger 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, … Succesiva min och max: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, … Translat och translaterade speglingar: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, 1, -1, 3, -3, -1, 1, 5 -5, 3 -3, 1, -1, -3, 3, 7, -7, … 3, 5, 1, 7, 5, 3, -1, 9, 1, 7, 3, 5, 7, 1, -3, 11, … 5, 7, 3, 9, 7, 5, 1, … -3, -5, -1, -7, … Klipp-och-klistra: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7 3, 1, 7, -3, -7, 11, …

  18. Börja med specialfall (det enklaste!) osv …

  19. Påstående 1: Påstående 2: Bevis: , . Om Påstående 1 är sant för fås Påstående 2 bevisa på motsvarande sätt.

  20. En ekvivalent men enklare modell … ,

  21. , ,

  22. Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med Bevis:

  23. Sats 3. Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen. Bevis Induktion i det stora trädet …

  24. Bevis sats 3, steg I: Nästan alla likheter ärvs från raden ovanför

  25. Bevis sats 3, steg II: Bevis av likhet vid två nya positioner - trädklättring

  26. Sats 2. (i) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av . (ii) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av . Bevis: Induktivt bevis genom att använda rekursionsformlerna. Observera att för följer (i) ur , vilket också direkt ger att

  27. Generalisera till det generella fallet Om är den Nørgårdföljd som ges av och är en godtycklig Nørgårdföljd gäller att . (följer av att rekursionsekvationerna är linjära) Sats 1 - 3 gäller därmed för varje Nørgårdföljd.

  28. Thue-Morse följden Om istället där fås med den s k Thue-Morse följden 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 ….. … B B A A B A …

  29. Tack för er uppmärksamhet!