1 / 52

บทที่ 7 การนับ (Counting)

บทที่ 7 การนับ (Counting). ภาพรวมของเนื้อหา. ทฤษฎีการนับ กฎการบวก กฎการคูณ หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) วิธีจัดหมู่ (Combination). การนับ (Counting). จงบอกจำนวนนับของรายการต่อไปนี้ มีกี่จำนวนจากจำนวนเต็ม 5 ถึง 12 5 6 7 8 9 10 11 12

shanta
Download Presentation

บทที่ 7 การนับ (Counting)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. บทที่ 7 การนับ (Counting) คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  2. ภาพรวมของเนื้อหา • ทฤษฎีการนับ • กฎการบวก • กฎการคูณ • หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) • วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) • วิธีจัดหมู่ (Combination) คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  3. การนับ (Counting) • จงบอกจำนวนนับของรายการต่อไปนี้ • มีกี่จำนวนจากจำนวนเต็ม 5 ถึง 12 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 ดังนั้น จำนวนเต็ม 5 ถึง 12 มีทั้งสิ้น 8 จำนวน • ถ้า m เป็นจำนวนเต็ม มีทั้งสิ้นกี่จำนวนจาก m ถึง m + 5m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 1 2 3 4 5 6 ดังนั้น จำนวนเต็มจาก m ถึง m+5 มีทั้งสิ้น 6 จำนวน คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  4. ทฤษฎีบท • ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ m <= n แล้ว • จะมีจำนวนสมาชิกระหว่างเลข 2 จำนวนนี้ (m ถึง n) เท่ากับ n – m + 1 จำนวน • เช่น จงหาว่าเลขจำนวนเต็ม 3 หลักจาก 100 ถึง 999 มีทั้งหมดกี่จำนวน m = 100 n = 999 ดังนั้น จำนวนสมาชิก = 999 – 100 + 1 = 900 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  5. ตัวอย่าง จงหาว่าจำนวนเต็ม 3 หลักจาก 100 ถึง 999 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว วิธีทำ เขียนเลขจำนวนเต็ม 100 – 999 ที่หารด้วย 5 ลงตัว ได้ดังนี้ 100 105 110 ... 985 990 995 1 2 3 5 * 20 5*21 5*22 5*199 เสมือนว่า เรากำลังหาว่าเลข 20 – 199 มีกี่จำนวน นั่นคือ = 199 – 20 + 1 = 180 จำนวน คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  6. ตัวอย่าง ถ้าจำนวนเต็มชุดนึงมี 32 จำนวน โดยค่าตัวเลขที่สูงสุดคือ 185 จงหาว่าจำนวนน้อยทีสุดคือเลขใด วิธีทำ จากทฤษฎีบทจำนวนข้อมูล = n – m + 1 แทนค่า 32 = 185 – m + 1 32 = 186 – m m = 186 – 32 = 154 ดังนั้น 154 คือ ตัวเลขที่น้อยที่สุดของข้อมูลชุดนี้ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  7. กิจกรรม จากตัวอย่างในหน้าที่แล้ว ตัวเลขลำดับที่ 20 ของข้อมูลชุดดังกล่าวคือเลขอะไร วิธีทำ เนื่องจากจำนวนแรกของข้อมูลคือ 154 (m) จะหาข้อมูลตัวที่ 20 เปรียบเหมือนหาค่าของ n แทนค่าตามทฤษฎีบทจะได้ n – 154 + 1 = 20 n – 153 = 20 n = 20 + 153 = 173 ดังนั้น จำนวนที่ 20 ในข้อมูลตัวเลขชุดนี้คือ 173 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  8. ทฤษฎีการนับ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  9. ทฤษฎีการนับ • กฎการบวก ทฤษฎีบท งานอย่างที่ 1 มีวิธีทำได้ n1วิธี งานอย่างที่ 2 มีวิธีทำได้ n2วิธี ... งานอย่างที่ k มีวิธีทำได้ nkวิธี ถ้าต้องการเลือกทำงานเพียง 1 งานจากงานทั้งหมดที่มี จำนวนวิธีที่จะเลือกได้เท่ากับ n1 + n2 + ... + nk วิธี คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  10. ตัวอย่าง โจทย์ นิสิตคณะวิทยาการสารสนเทศ มีจำนวนนิสิตใน • สาขาวิชา CS จำนวน 137 คน • สาขาวิชา IT จำนวน 140 คน • สาขาวิชา SE จำนวน 63 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนนิสิต 1 คนจากคณะนี้ จะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีในการเลือกตัวแทนนิสิตเท่ากับ 137 + 140 + 63 = 340 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  11. ทฤษฎีการนับ 2 • กฎการคูณ ทฤษฎีบท ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n1วิธี ในวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 2 ได้ n2วิธี ในวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก และอย่างที่ 2 มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 3 ได้ n3วิธี ... จำนวนวิธีทั้งหมดที่เลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n1 x n2 x n3 x … nk คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  12. ตัวอย่าง โจทย์ ต้องการสร้างสตริงที่มีความยาว 7 บิตโดยแต่ละบิตมีค่าที่เป็นไปได้คือ 0 และ 1 จงหาว่าจะมีวิธีสร้างสตริงได้กี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 1 = 2 จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 2 = 2 จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 3 = 2 … จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 7 = 2 ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างสตริงนี้คือ 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  13. กิจกรรมที่ 1 • โรงอาหารแห่งหนึ่งมีอาหาร 4 ชนิด และ เครื่องดื่ม 3 ชนิด จงหาวิธีที่นิสิตจะซื้ออาหารพร้อมเครื่องดื่มอย่างละชนิด • การเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มีเส้นทาง 4 เส้น จากเมือง B ไปเมือง C มี 3 เส้นทาง และ จากเมือง A ไปเมือง C ทั้งหมด 2 เส้นทาง จงหาว่า • มีกี่วิธีที่จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C โดยผ่านเมือง B ด้วย • มีกี่วิธีที่จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  14. วิธีทำ • โรงอาหารแห่งหนึ่งมีอาหาร 4 ชนิด และ เครื่องดื่ม 3 ชนิด จงหาวิธีที่นิสิตจะซื้ออาหารพร้อมเครื่องดื่มอย่างละชนิด มีวิธีในการเลือกซื้ออาหาร 4 วิธี แต่ละวิธีที่ซื้ออาหารมีวิธีในการเลือกซื้อเครื่องดื่ม 3 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะซื้ออาหารพร้อมเครื่องดื่ม = 4 x 3 = 12 วิธี คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  15. วิธีทำ การเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มีเส้นทาง 4 เส้น จากเมือง B ไปเมือง C มี 3 เส้นทาง และ จากเมือง A ไปเมือง C ทั้งหมด 2 เส้นทาง จงหาว่า • มีกี่วิธีที่จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C โดยผ่านเมือง B ด้วย วิธีเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มี 4 วิธี แต่ละวิธีดังกล่าวสามารถเดินทางจาก B ไป C ได้อีก 3 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีเดินทางจาก A ไป C = 4 x 3 = 12 วิธี • มีกี่วิธีที่จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C วิธีเดินทางจากเมือง A ไป C โดยผ่านเมือง B มี 12 วิธี วิธีเดินทางจากเมือง A ไป C โดยไม่ผ่านเมือง B มี 2 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ = 12 + 2 = 14 วิธี คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  16. หลักรังนกพิราบ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  17. หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) ทฤษฎีบท ถ้าต้องการจัดนกพิราบ n ตัว ไปยังรังนก m รัง โดยที่ n > m (จำนวนนกมากกว่าจำนวนรังนก) อย่างน้อยต้องมี 1 รังที่มีนกอยู่ 2 ตัว คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  18. ตัวอย่าง • มีคนอยู่ 6 คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องมีอย่างน้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน ตอบ ไม่จำเป็น เพราะจำนวนคน (6) น้อยกว่าจำนวนเดือน (12) • ถ้ามีคนอยู่ 13 คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องมีอย่างน้อย 2 คน เกิดในเดือนเดียวกัน ตอบ จำเป็น เพราะจำนวนคน (13) มากกว่าจำนวนเดือน (12) คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  19. กิจกรรมที่ 2 • จะต้องมีเด็กนักเรียนกี่คน จึงจะทำให้มีเด็กอย่างน้อย 2 คน ที่ได้คะแนนเท่ากัน สมมุติคะแนนสอบที่เป็นไปได้อยู่ในช่วง 0 – 100 คะแนน • จะต้องมีนิสิตที่เรียนวิชานี้อย่างน้อยกี่คน จึงจะทำให้มีนิสิตอย่างน้อย 6 คนที่ได้เกรดเดียวกัน ถ้ากำหนดเกรดที่เป็นไปได้คือ A, B, C, D และ F คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  20. วิธีทำ จะต้องมีเด็กนักเรียนกี่คน จึงจะทำให้มีเด็กอย่างน้อย 2 คน ที่ได้คะแนนเท่ากัน สมมุติคะแนนสอบที่เป็นไปได้อยู่ในช่วง 0 – 100 คะแนน ค่าของคะแนนที่เป็นไปได้มี 101 ค่า ดังนั้น จำนวนเด็กที่จะได้คะแนนซ้ำกันสองคน คือ 102 คน คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  21. วิธีทำ จะต้องมีนิสิตที่เรียนวิชานี้อย่างน้อยกี่คน จึงจะทำให้มีนิสิตอย่างน้อย 6 คนที่ได้เกรดเดียวกัน ถ้ากำหนดเกรดที่เป็นไปได้คือ A, B, C, D และ F จำนวนเกรดที่เป็นไปได้มี 5 ค่า กรณีที่ทุกเกรดมีเด็กได้เกรดนั้น 5 คน = 5 x 5 = 25 ดังนั้น จะต้องมีเด็ก 26 คน คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  22. บทขยายของหลักรังนกพิราบบทขยายของหลักรังนกพิราบ • ถ้ามีของอยู่ n สิ่ง จะใส่ลงไปใน m กล่อง โดยที่จำนวนสิ่งของมีมากกว่าจำนวนกล่อง จะได้ว่ามีบางกล่องที่บรรจุของอยู่อย่างน้อย n/m คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  23. ตัวอย่าง • ให้พิจารณาตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวแรกที่นำหน้าชื่อของคน 86 คน มีบางตัวอักษรหรือไม่ที่ถูกใช้ซ้ำกันอย่างน้อย 4 คน วิธีทำ ตัวอักษรภาษาอังกฤษมีทั้งหมด 26 ตัว จำนวนคนที่พิจารณามี 86 คน จำนวนคน มากกว่า จำนวนตัวอักษร ดังนั้น จะมีตัวอักษรบางตัวที่ถูกใช้อย่างน้อย 86/26 = 3.31 = 4 ดังนั้น คำกล่าวข้างต้นเป็นจริง นั่นคือ มีตัวอักษรบางตัวถูกใช้ซ้ำกัน 4 คน คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  24. กิจกรรมที่ 3 • ในลิ้นชักใบหนึ่งบรรจุถุงเท้าสีดำ 10 ข้าง และ สีขาว 10 ข้าง ให้นาย ก. หลับตาเพื่อสุ่มหยิบถุงเท้าออกมา จงหาจำนวนถุงเท้าที่น้อยที่สุดที่หยิบออกมาแล้วได้ถุงเท้าครบคู่ที่มีสีเดียวกัน • ให้ A = {1,2,3,4,5,6,7,8} • ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 5 ตัวจากเซต A จำเป็นหรือไม่ว่าจะต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ที่มีผลรวมเป็น 9 • ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 4 ตัวจากเซต A จำเป็นหรือไม่ว่าจะต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ที่มีผลรวมเป็น 9 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  25. วิธีทำ ในลิ้นชักใบหนึ่งบรรจุถุงเท้าสีดำ 10 ข้าง และ สีขาว 10 ข้าง ให้นาย ก. หลับตาเพื่อสุ่มหยิบถุงเท้าออกมา จงหาจำนวนถุงเท้าที่น้อยที่สุดที่หยิบออกมาแล้วได้ถุงเท้าครบคู่ที่มีสีเดียวกัน ตอบ 3 ครั้ง คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  26. วิธีทำ ให้ A = {1,2,3,4,5,6,7,8} • ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 5 ตัวจากเซต A จำเป็นหรือไม่ว่าจะต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ที่มีผลรวมเป็น 9 ตอบ จำเป็น เพราะจากชุดตัวเลขที่ให้มา สามารถจับคู่ตัวเลขที่รวมกันได้ 9 ดังนี้ 1 + 8 , 2 + 7, 3 + 6, 4 + 5 ได้ 4 คู่พอดี ดังนั้น ตัวเลขที่ 5 จะตรงกับคู่ใดคู่หนึ่ง • ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 4 ตัวจากเซต A จำเป็นหรือไม่ว่าจะต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ที่มีผลรวมเป็น 9 ตอบ ไม่จำเป็น คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  27. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  28. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือ การจัดลำดับหรือเรียงลำดับของบางสิ่งหรือทุกสิ่งจากจำนวนสิ่งของทั้งหมด โดยคำนึงถึงลำดับด้วย ทฤษฎีบท1 จำนวนวิธีจัดลำดับของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยจัดครั้งละ n คือ n! โดยที่ n! คือ ผลคูณของเลขจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ n ถึง 1 นั้นคือ n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  29. ตัวอย่าง • มีตัวอักษร 3 ตัว คือ a, b, c ต้องการนำตัวอักษร 3 ตัวนี้มาเรียงต่อกันเป็นข้อความ จะทำได้กี่วิธี วิธีทำ ตัวอักษร 3 ตัวจะมีวิธีเรียงได้ 3! วิธี นั้นคือ มีจำนวนเท่ากับ 3 x 2 x 1 = 6 วิธี คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  30. กิจกรรมที่ 4 • จากตัวอักษรคำว่า COMPUTER • สามารถนำมาจัดเรียงใหม่ได้กี่แบบ • ถ้ากำหนดว่าตัวอักษร CO ต้องอยู่ติดกันเสมอ จะจัดเรียงได้กี่แบบ • จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงที่ตัวอักษร CO ไม่อยู่ติดกันเสมอ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  31. วิธีทำ • จากตัวอักษรคำว่า COMPUTER • สามารถนำมาจัดเรียงใหม่ได้กี่แบบ ตอบ 8! • ถ้ากำหนดว่าตัวอักษร CO ต้องอยู่ติดกันเสมอ จะจัดเรียงได้กี่แบบ ตอบ7! • จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงที่ตัวอักษร CO ไม่อยู่ติดกันเสมอ จำนวนวิธีการจัดเรียงทั้งหมด = 8! จำนวนวิธีที่เรียงโดย CO ติดกัน = 7! ดังนั้น จำนวนวิธีที่ CO ไม่อยู่ติดกัน = 8! – 7! คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  32. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 2 ทฤษฎีบท 2 จำนวนวิธีจัดเรียงของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยนำมาจัดครั้งละ r สิ่ง เมื่อ r < n จะมีวิธีจัดได้ แทนด้วยสัญลักษณ์ nPrหรือ P(n,r) ข้อสังเกต เราสามารถใช้สูตรนี้ในการจัดของครั้งละ n สิ่งได้เช่นเดียวกัน นั้นคือ P(n,n) = = = n! คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  33. ตัวอย่าง • มีตัวอักษร 4 ตัวคือ a,b,c,dนำมาจัดคราวละ 2 ตัว ได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ มีของ 4 อย่าง นำมาจัดคราวละ 2 อย่าง จะได้ P(4,2) P(4,2) = = = = 4 x 3 = 12 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  34. กิจกรรมที่ 5 • จากคำว่า BYTES • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคำนี้ • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคำนี้ โดยกำหนดว่าต้องขึ้นต้นด้วย B • มีข้อสอบ 10 ข้อต้องการแจกให้นิสิต 8 คน คนละ 1 ข้อ จะแจกอย่างไรเพื่อให้ • นิสิตแต่ละคนได้ข้อสอบไม่ซ้ำกัน • นิสิตแต่ละคนทำข้อสอบข้อเดียวกันได้ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  35. วิธีทำ จากคำว่า BYTES • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคำนี้ ตอบP(5,3) = 5! / 2! • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคำนี้ โดยกำหนดว่าต้องขึ้นต้นด้วย B ตอบP(4,2) = 4! / 2! คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  36. วิธีทำ มีข้อสอบ 10 ข้อต้องการแจกให้นิสิต 8 คน คนละ 1 ข้อ จะแจกอย่างไรเพื่อให้ • นิสิตแต่ละคนได้ข้อสอบไม่ซ้ำกัน ตอบP(10,8) = 10! / 2! • นิสิตแต่ละคนทำข้อสอบข้อเดียวกันได้ ตอบ108 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  37. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 3 ทฤษฎีบท 3 จำนวนวิธีในการจัดลำดับของครั้งละ r สิ่ง จากของทั้งหมด n สิ่ง โดยอนุญาติให้ซ้ำกันได้ จะมีวิธีจัดเรียงทั้งหมด nr ตัวอย่าง มีข้อสอบ 10 ข้อต้องการแจกให้นิสิต 8 คน คนละ 1 ข้อ จะแจกอย่างไร ถ้านิสิตแต่ละคนทำข้อสอบข้อเดียวกันได้ วิธีทำ ข้อสอบมี 10 ข้อ แจกให้เด็ก 8 คน ดังนั้น จะมีวิธีในการแจกข้อสอบ = 108 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  38. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมวิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลม ทฤษฎีบท จำนวนวิธีในการจัดของ n สิ่งที่แตกต่างกัน เป็นวงกลม คือ (n-1)! ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลม วิธีทำ จำนวนวิธีที่จัดของเป็นวงกลมคือ (n-1)! ในที่นี้มีเด็ก 4 คน ดังนั้น จะได้จำนวนวิธี = (4-1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  39. กิจกรรมที่ 6 • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดหญิง 4 คน และ ชาย 4 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม • จากข้อ 1 มีกี่วิธีที่ชายและหญิงจะนั่งสลับที่กัน คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  40. วิธีทำ • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดหญิง 4 คน และ ชาย 4 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม ตอบ 7! • จากข้อ 1 มีกี่วิธีที่ชายและหญิงจะนั่งสลับที่กัน ตอบ 3! 4! คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  41. วิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด ทฤษฎีบท การจัดลำดับของ n สิ่ง ซึ่งมี n1สิ่งที่เหมือนกัน n2สิ่งที่เหมือนกัน ... nkสิ่งที่เหมือนกัน จะได้จำนวนวิธีจัดเท่ากับ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  42. ตัวอย่าง การจัดลำดับตัวอักษร 3 ตัว x , y , z โดยจัดทีละ 3 ตัวจะได้จำนวน 6 วิธี คือ x y z y x z z x y x z yy z x z y x ถ้าในกลุ่มของสิ่งเหล่านี้ มีบางสิ่งเหมือนกันเช่น y และ z เหมือนกัน การจัดรูปแบบจะเหลือแค่ 3 แบบ (แทน y และ z ด้วย w) x w w w x w w x w x w ww w x w w x สาเหตุเพราะ การสลับที่ของของที่ซ้ำกัน ไม่ถือเป็นวิธีใหม่ นั่นคือ วิธีการจัดลำดับตัวอักษรนี้คำนวณได้จาก 3! / 2! = 6/2 = 3 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  43. กิจกรรมที่ 7 • จากคำว่า INTELLIGENCE • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี ถ้าคำเหล่านั้นต้องเริ่มต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี ถ้ากำหนดว่า INT ต้องอยู่ติดกัน และ IG ต้องอยู่ติดกัน คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  44. วิธีทำ • จากคำว่า INTELLIGENCE • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี ตอบ12! / 2! 2! 3! 2! • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี ถ้าคำเหล่านั้นต้องเริ่มต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G ตอบ 10! / 2! 2! 3! 2! • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี ถ้ากำหนดว่า INT ต้องอยู่ติดกัน และ IG ต้องอยู่ติดกัน ตอบ 9! / 3! 2! คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  45. วิธีจัดหมู่ (Combination) คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  46. วิธีจัดหมู่ (Combination) คือ การจัดกลุ่มสิ่งของในเซต หรือการหาสับเซตใดๆของเซตที่กำหนด โดยไม่คำนึงถึงลำดับภายในสับเซตนั้น ตัวอย่าง มีตัวอักษร 3 ตัว คือ a,b,cต้องการจัดกลุ่มตัวอักษร กลุ่มละ 2 ตัวได้กี่วิธี วิธีทำ จัดได้ 3 วิธีคือ {a,b} , {a,c} , {b,c} ข้อสังเกต เมื่อไม่คำนึงถึงลำดับ {a,b} กับ {b,a} ถือเป็นกลุ่มเดียวกัน นับเป็นแค่ 1 วิธี คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  47. วิธีจัดหมู่ (Combination) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีจัดหมู่ของของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยนำมาจัดทีละ r สิ่ง คือ แทนด้วยสัญลักษณ์ nCrหรือ C(n,r) บทขยาย จำนวนวิธีจัดหมู่ของ n สิ่งที่ต่างกัน โดยจัดทีละ n-r สิ่ง ก็จะเท่ากับการจัดทีละ r สิ่ง นั้นคือ C(n, n-r) = C(n,r) = เช่น C(9 , 5) = C(9 , 4) C(12 , 4) = C(12 , 8) คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  48. ตัวอย่าง • มีกี่วิธีที่จะเลือกกรรมการ 3 คน จากสามีภรรยา 4 คู่ • ถ้าทุกคนมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน C(8,3) = 8! / 3!5! = 8 x 7 = 56 • ถ้ากรรมการต้องประกอบด้วย หญิง 2 คน ชาย 1 คน กรรมการหญิง 2 คน C(4,2) = 4! / 2!2! = 6 กรรมการชาย 1 คน C(4,1) = 4! / 3! = 4 ดังนั้น มีวิธีเลือกได้ทั้งหมด 6 . 4 = 24 คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  49. วิธีจัดหมู่ (Combination) 2 ตัวอย่าง มีตัวอักษร a และ b จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้เกิดเป็นข้อความที่มี 3 ตัวอักษร โดยอนุญาติให้ใช้ตัวอักษรซ้ำกันได้ ถ้าใช้การนับปกติจะได้ 4 แบบ a aa(a หมด) b bb(b หมด) a a b(a 2 b 1) b b a (a 1 b 2) หากจำนวนสิ่งของมากกว่านี้ การนับเองอาจยุ่งยาก จึงมีการสร้างสูตรขึ้นมาโดยใช้การพิจารณาจาก จำนวนประเภทของสิ่งของ และ จำนวนสิ่งของที่ต้องการจัดหมู่ ทฤษฎีบท 2 การจัดหมู่ของสิ่งของ r สิ่ง โดยเลือกจากสิ่งของทั้งหมดที่แบ่งออกเป็น n กลุ่ม (หรือ n ประเภท) โดยซ้ำกันได้ ทำได้ C(r+n-1 , r) วิธี คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

  50. ตัวอย่างที่ 1 จากกลุ่มตัวอักษร a, b ,c จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้ได้ตัวอักษร 2 ตัว โดยสามารถใช้ตัวอักษรซ้ำได้ วิธีทำ แทนค่าตามสูตรในทฤษฎีบทที่ 2 นั่นคือ C(r+n-1 , r) โดยที่ r หรือ จำนวนสิ่งของที่ต้องการจัดหมู่คือ 2 n หรือ จำนวนประเภทของสิ่งของคือ 3 ดังนั้น แทนค่าจะได้เป็น C(2+3-1,2) = C(4,2) = 4!/2!2! = 2 x 3 = 6 วิธี คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา

More Related